1、第四节第四节 对弧长曲线积分对弧长曲线积分一、弧微分一、弧微分二、对弧长曲线积分计算二、对弧长曲线积分计算（第十章（第十章 第一节）第一节）第1页G 表示几个表示几个几何形体以及其上积分几何形体以及其上积分：D闭区间闭区间a,bL(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲（有限曲 面片）面片）(空间有界空间有界 闭区域闭区域)(空间有限空间有限 曲线段曲线段)二重积分三重积分对弧长曲线积分对面积曲面积分第2页几何形体上积分几何形体上积分重积分重积分对弧长（第一型）曲线积分对弧长（第一型）曲线积分对面积（第一型）曲面积分对面积（第一型）曲面积分第3页当当G为平
2、面或空间有限光滑为平面或空间有限光滑(或分段光滑或分段光滑)曲线曲线(L或或 )时，积分称为时，积分称为对弧长曲线积分对弧长曲线积分或或第一型曲线积分第一型曲线积分,即即当当L(或或 )为为简单闭曲线简单闭曲线时时,对弧长积分记为对弧长积分记为第4页计算思绪：计算思绪：化为定积分来计算化为定积分来计算点在点在L L上改变上改变 复习弧长微分概念复习弧长微分概念第5页(1)(1)直角坐标情形直角坐标情形对对有有弧长微分弧长微分公式公式 斜边取取以直代曲以直代曲一、弧长微分一、弧长微分第6页(2)(2)参数方程情形参数方程情形曲线弧为曲线弧为且在且在上含有连续导数上含有连续导数弧长微分弧长微分第7
3、页(化为定积分化为定积分)（1 1）参数方程情形）参数方程情形其中其中且且设曲线设曲线二、对弧长二、对弧长曲线积分计算曲线积分计算1.1.平面曲线积分平面曲线积分第8页(化为对化为对t t 定积分定积分)所以所以计算公式计算公式第9页计算公式计算公式注注1 1:故右端定积分存在故右端定积分存在.第10页注注2 2:在第一型曲线积分计算中在第一型曲线积分计算中,定积分定积分下限一定要小于上限下限一定要小于上限.第11页（2 2）直角坐标情形）直角坐标情形化成化成参数方程参数方程若若第12页例例1 1计算计算其中其中L方程是方程是解解第13页第14页例例2 2 计算计算其中其中是以是以为顶点为顶点
4、三角形边界三角形边界.是分段光滑是分段光滑弧段弧段,解解第15页在在OA上，上，故故在在AB上，上，故故第16页故故在在BO上，上，所以所以第17页2.2.空间对弧长曲线积分计算空间对弧长曲线积分计算(参数情形参数情形)曲线曲线平面情形推广平面情形推广第18页例例3 3计算计算其中其中是螺线是螺线第一圈第一圈解解第19页第20页以圆弧圆心为坐标原点以圆弧圆心为坐标原点,例例4 4 有一段铁丝成半圆形有一段铁丝成半圆形L，半径为半径为R，其上任一点线密度大小等于该点其上任一点线密度大小等于该点到其到其两端点连线距离，两端点连线距离，求其质量求其质量.L对称轴为对称轴为y 轴轴,则则建立坐标系建立
5、坐标系(如图如图).).解解第21页 L 参数方程为参数方程为第22页小小 结结对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算-化为定积分化为定积分1.把积分路径把积分路径L代入被积函数；代入被积函数；2.依据积分路径依据积分路径L不一样表示形式，不一样表示形式，求出弧微分求出弧微分.3.定出定积分上下限，下限小于上限定出定积分上下限，下限小于上限.第23页(1)(1)曲线弧为曲线弧为参数方程参数方程计算计算(2)(2)曲线弧方程为曲线弧方程为显函数方程显函数方程计算计算将将显函数方程化为显函数方程化为参数形式：参数形式：第24页思索题思索题1.1.以下两式正确否？以下两式正确否？区域区域则则(错误错误
6、)曲线曲线则则(正确正确)第25页 2.2.若有不均匀椭圆若有不均匀椭圆形构件，形构件，其上一点其上一点线密度线密度 则此椭圆形构件则此椭圆形构件平均线密度是平均线密度是 提醒：平均线密度提醒：平均线密度=质量质量M/曲线长曲线长L L平均线密度平均线密度第26页平均线密度平均线密度第27页讨论题 由此给出对弧长曲线积分由此给出对弧长曲线积分几何意义几何意义.已知一柱面准线（平面曲线）和高，能已知一柱面准线（平面曲线）和高，能够利用积分求出它面积吗？够利用积分求出它面积吗？提醒：由定积分几何意义推广提醒：由定积分几何意义推广.答：柱面侧面积答：柱面侧面积（y=y(x)为底边，为底边，z=f(x,y)为高面积）为高面积）第28页平面上对弧长曲线积分几何意义：平面上对弧长曲线积分几何意义：第29页作 业P.131 第30页
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