多元函数微分法及其应用偏导数与全微分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一一 偏导数偏导数二二 全微分全微分1 1第1页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用一一 偏导数偏导数函数对函数对x偏增量偏增量定义定义在点在点存在存在,偏导数偏导数，记为，记为某邻域内某邻域内则称此极限为函数则称此极限为函数假如极限假如极限设函数设函数1 偏导数及其计算偏导数及其计算注意注意:有定义，有定义，2 2第2页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用函数对函数对 y 偏增量偏增量一样可定义对一样可定义对则该偏导数称为则该偏导数称为偏导函数偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数,记为记为偏导数偏导数或或若函数若函数在区域在区域 内每一点内每一点处对处对 偏导数存在，偏导数存在，3 3第3页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用比如比如,三元函数三元函数 u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对 x 偏导数概念能够推广到二元以上函数偏导数概念能够推广到二元以上函数.偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)4 4第4页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解5 5第5页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用证证原结论成立原结论成立6 6第6页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解7 7第7页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用不存在不存在8 8第8页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用例例4 4 设设求求解解9 9第9页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用例例5 5 求求偏导数偏导数.解解:1010第10页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用相关偏导数几点说明：相关偏导数几点说明：、求分界点、不连续点处偏导数要用定求分界点、不连续点处偏导数要用定义求；义求；解解1111第11页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用2 2 偏导数存在与连续关系偏导数存在与连续关系所以函所以函数在该点处并不连续数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，因为因为不存在不存在1212第12页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用3 3 偏导数几何意义偏导数几何意义是曲线是曲线在点在点 M0 处切线处切线对对 x 轴斜率轴斜率.在点在点M0 处切线处切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴轴1313第13页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用4 4 高阶偏导数高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续偏导数内存在连续偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)二阶偏导数二阶偏导数.按求导次序不一样按求导次序不一样,有以下四个二阶有以下四个二阶偏导偏导数数:二阶混和偏导数二阶混和偏导数1414第14页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用二阶及二阶以上偏导数统称为二阶及二阶以上偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.类似能够定义更高阶偏导数类似能够定义更高阶偏导数.比如，比如，z=f(x,y)关于关于 x 三阶偏导数为三阶偏导数为z=f(x,y)关于关于 x n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 一阶一阶偏导数为偏导数为1515第15页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解1616第16页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解1717第17页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用例例8 8设设求求解解1818第18页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解1919第19页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用例例10 10 设设求求解解2020第20页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样条件才相等？则则定理定理.比如比如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),说明说明:本定理对本定理对 n 元函数高阶混合导数也成立元函数高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续函数在其定义区域内是连续,故求初等函数高阶导故求初等函数高阶导数能够选择方便求导次序数能够选择方便求导次序.因为初等函数偏导数仍为初等函数因为初等函数偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等(证实略证实略)2121第21页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用1 1 全微分定义全微分定义二二 全微分全微分函数函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，即即 =为这邻域内任意一点，为这邻域内任意一点，并设并设记为记为为函数在点为函数在点P P 对应于自变量增量对应于自变量增量全增量全增量，称这两点函数值之差称这两点函数值之差 则则二元函数对二元函数对偏增量偏增量二元函数对二元函数对偏增量偏增量2222第22页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 相关，相关，若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,则称函数则称函数 f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，假如函数假如函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 内点内点(x,y)可表示成可表示成处全增量处全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微.称为函数称为函数在点在点(x,y)全微分全微分,定义定义记作记作2323第23页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用实际上实际上 假如函数假如函数在点在点可微分可微分,则则函数在该点连续函数在该点连续.故函数故函数在点在点处连续处连续.2424第24页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用2 可微条件可微条件定理定理1 1（必要条件）（必要条件）在点在点可微分，可微分，假如函数假如函数偏导数偏导数必存在，必存在，则该函数在点则该函数在点在点在点全微分为全微分为 且函数且函数一样可证一样可证证证:由全增量公式由全增量公式得到对得到对 x 偏增量偏增量所以有所以有 2525第25页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用一元函数在某点导数存在一元函数在某点导数存在 微分存在微分存在多元函数各偏导数存在多元函数各偏导数存在 全微分存在全微分存在比如，比如，在点在点处有处有一样可得一样可得2626第26页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用则则当当 时，时，2727第27页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用 说明说明：多元函数各偏导数存在并不能确保全微分：多元函数各偏导数存在并不能确保全微分存在，存在，证证2828第28页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用（依偏导数连续性）（依偏导数连续性）同理同理2929第29页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用习惯上，当习惯上，当全微分定义可推广到三元及三元以上函数全微分定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数全微分等于它两个偏微分之通常我们把二元函数全微分等于它两个偏微分之和这件事称为二元函数微分符合和这件事称为二元函数微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理也适合用于二元以上函数情况叠加原理也适合用于二元以上函数情况全微分写为全微分写为自变量时，记自变量时，记比如比如3030第30页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解所求全微分所求全微分3131第31页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解3232第32页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解所求全微分所求全微分3333第33页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用例例14 14 说明函数说明函数3434第34页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用证证令令则则同理同理3535第35页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用不存在不存在.3636第36页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用3737第37页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数连续、可导、可微关系多元函数连续、可导、可微关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导3838第38页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用全微分在近似计算中应用全微分在近似计算中应用也可写成也可写成3939第39页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用解解由公式得由公式得4040第40页第二节第二节第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分偏导数与全微分第八章第八章第八章第八章 多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用多元函数的微分法及其应用4141第41页