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侨中数学博客：侨中数学博客：http:/ 确定圆位置确定圆位置半径半径 确定圆大小确定圆大小问题问题1:在平面直角坐标系中，怎样确定一个圆呢？圆能在平面直角坐标系中，怎样确定一个圆呢？圆能够用方程表示吗？圆方程怎样来求呢？够用方程表示吗？圆方程怎样来求呢？坐标和斜率坐标和斜率一点和倾斜角一点和倾斜角斜率公式斜率公式直线方程直线方程建立坐标系建立坐标系2第2页一个圆最基本要素是一个圆最基本要素是圆心和半径，圆心和半径，xOyA在直角坐标系中，在直角坐标系中，圆心圆心A 坐标坐标(a,b)(a,b)即将几何元素代数表示即将几何元素代数表示建立圆方程建立圆方程就是寻找圆上任意点横纵坐标所满足关就是寻找圆上任意点横纵坐标所满足关系式。系式。r半半 径径 rM(x,y)设圆上任意点设圆上任意点M(x,y)3第3页 圆上任意点与圆心满足什么样等量关系？你能圆上任意点与圆心满足什么样等量关系？你能用描述法来表示这个集合吗？用描述法来表示这个集合吗？找等量关系找等量关系问题问题2:xOyA(a,b)Mr(x,y)圆上任意点圆上任意点M(x,y)与圆心与圆心A(a,b)之间距离能用之间距离能用什么公式表示？什么公式表示？问题问题3:4第4页 圆上任意点圆上任意点M(x,y)与圆心与圆心A(a,b)之间距离能用之间距离能用什么公式表示？什么公式表示？依据两点间距离公式：依据两点间距离公式：则点则点M、A间距离为：间距离为：问题问题3:（1）（2）5第5页 是否在圆上点都适合这个方程？是否适合这个是否在圆上点都适合这个方程？是否适合这个方程坐标点都在圆上？方程坐标点都在圆上？把这个方程称为圆心为把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为，半径长为r 圆方圆方程，把它叫做程，把它叫做圆标准方程圆标准方程（standard equation of circle）.问题问题4:（1）（2）6第6页 圆标准方程圆标准方程尤其地：圆心在原点，半径为尤其地：圆心在原点，半径为r r圆方程是什么？圆方程是什么？含有三个参数含有三个参数ab br r问题问题5:5:有什么特征有什么特征?明确给出了圆心坐标和半径明确给出了圆心坐标和半径；确定圆方程必须具备三个独立条件。确定圆方程必须具备三个独立条件。7第7页回顾圆方程推导过程经历了以下四个步骤：回顾圆方程推导过程经历了以下四个步骤：找等量关系找等量关系建系设点建系设点（几何元素代数化）（几何元素代数化）代换列式代换列式化简方程化简方程在直角坐标系中，在直角坐标系中，圆上任意点圆上任意点 M(x,y)圆心圆心A A 坐标坐标(a,b)；半径；半径 r r求曲线方程普通步骤8第8页 1 1、圆心为、圆心为 ，半径长等于，半径长等于5 5圆方程为（圆方程为（）A.B.C.D.变式：圆变式：圆 圆心坐标圆心坐标 为为 ,半径半径 r=。B2 2、圆、圆 圆心坐标为圆心坐标为 ,半径半径r=r=（2，0）29第9页 解解：把把 坐标代入方程坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 坐标适合圆方程，所以点坐标适合圆方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；例例1.1.已知圆已知圆 ，判断点，判断点 ，中哪些点在圆上？中哪些点在圆上？把把 ，坐标分别代入方程坐标分别代入方程 ，左右两边不相等，点，左右两边不相等，点 和点和点 坐标不适合圆方坐标不适合圆方程，所以点程，所以点 和和 都不在这个圆上；都不在这个圆上；10第10页 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？问题问题6:11第11页 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？还是在圆外呢？内呢？还是在圆外呢？问题问题6:图图 示示几何关系几何关系Axyo 点点P P在在圆内圆内=点点P P在在圆外圆外代数表示代数表示点点P P在在圆上圆上（设点（设点P P到圆心到圆心A A距离为距离为d d）12第12页在圆在圆；在圆在圆。例例1 1拓展：拓展：求圆心是求圆心是 ，且经过原点圆方程。，且经过原点圆方程。例例1 1变式变式：yxor内内外外13第13页变式变式：已知两点已知两点，求以线段，求以线段为直径圆方程为直径圆方程 xoyr课后思索：课后思索：已知两点已知两点，求以线段，求以线段为直径圆方程为直径圆方程 14第14页 例例2 2 三个顶点坐标分别三个顶点坐标分别A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2,(2,8)8)，求它外接圆方程，求它外接圆方程 分析分析：不在同一条直线上三个点能够确定一个圆，三角形：不在同一条直线上三个点能够确定一个圆，三角形有唯一外接圆有唯一外接圆xoy15第15页 例例2 2 三个顶点坐标分别三个顶点坐标分别A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2,(2,8)8)，求它外接圆方程，求它外接圆方程 解解：设所求圆方程是：设所求圆方程是 （1）因为因为A(5,1),B(7,3)，C(2,8)都在圆上，所以它们坐都在圆上，所以它们坐标都满足方程（标都满足方程（1）于是）于是xoy解得：解得：所以，所以，外接圆方程外接圆方程 设设列列解解16第16页例例2 2变式变式：三个顶点坐标分别三个顶点坐标分别A A(4,0),(4,0),B B(0,3)(0,3)，C C(0,0)(0,0)，求它，求它外接圆方程外接圆方程xoy17第17页 已知圆心为已知圆心为C圆经过点圆经过点A(1,1)和和B(2,2)，且圆心，且圆心C在在直线上直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C圆标准方程圆标准方程例例2 2变式变式：xoyl18第18页线段线段AB垂直平分线垂直平分线 方程是：方程是：即即圆心圆心C坐标是方程组坐标是方程组解解 已知圆心为已知圆心为C圆经过点圆经过点A(1,1)和和B(2,2)，且圆心，且圆心C在在直线上直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C圆标准方程圆标准方程 解解：例例2 2变式变式：xoyl19第19页所以圆心所以圆心C坐标是坐标是圆心为圆心为C圆半径长圆半径长所以，圆心为所以，圆心为C圆标准方程是圆标准方程是解此方程组，得解此方程组，得 例例3 已知圆心为已知圆心为C圆经过点圆经过点A(1,1)和和B(2,2)，且圆心，且圆心C在在直线上直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C圆标准方程圆标准方程 解解：20第20页求圆标准方程方法有：求圆标准方程方法有：解题方法小结解题方法小结待定系数法待定系数法定义法定义法（借助图象，利用平面几何知识如：圆性质，数形结合借助图象，利用平面几何知识如：圆性质，数形结合）21第21页(1)(1)圆心为圆心为A(a,b)，半径长为，半径长为 r 圆标准方程为圆标准方程为 (4)(4)求圆标准方程方法求圆标准方程方法.数学思想方法。数学思想方法。ab br r当圆心在原点时当圆心在原点时 ，圆标准方程为：，圆标准方程为：(2)(2)推导圆标准方程方法与步骤推导圆标准方程方法与步骤;(3)(3)点与圆位置关系判断点与圆位置关系判断;22第22页 P P124124练习中第练习中第3 3、4 4、5 5题题 23第23页1.1.把圆标准方程展开后是什么？把圆标准方程展开后是什么？2.2.方程方程 表示什么图形？表示什么图形？24第24页侨中数学博客：侨中数学博客：http:/