元函数微分学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

1 一元函数微分学第1页 1 函数极限几何解释 2 函数左极限 3 x 时极限 4 x+时极限 5 数列极限 6 无穷大 7 函数连续性 8 导数几何意义 9 微分几何意义 1017 弧微分ds几何意义对函数进行全方面讨论并画图：y=x 2arctan x111213141516主主 目目 录录（1 1 1818）18 曲率第2页xy0f(x)A当当该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.1.1.函数极限函数极限函数极限函数极限 A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,A+A 第3页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,当当第4页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,当当第5页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,当当第6页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,当当第7页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,当当 x0空心空心 邻域邻域,第8页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,当当 x0空心空心 邻域邻域,第9页Axy01.函数极限函数极限函数极限函数极限.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,当当第10页Axy0几何上：几何上：几何上：几何上：函数有极限函数有极限等价于这种等价于这种 邻域邻域与与空心空心 邻域邻域之间之间存存在着无限对应在着无限对应.1.函数极限函数极限函数极限函数极限所以，所以，函数函数极限定义也称极限定义也称函数函数极限极限 定义定义定义定义.f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点 x纵坐标纵坐标 f(x)落在落在A 邻域邻域 内，内，即对应点即对应点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域邻域,x0空心空心 邻域邻域,当当第11页xy0f(x)A该邻域内全部该邻域内全部点点x对应对应曲线上点曲线上点落在落在绿色绿色区域内区域内.2.2.函数函数函数函数左极限左极限左极限左极限 A 邻域，邻域，x0左半左半 邻域，邻域，A+A 第12页Axy0f(x)2.2.函数函数函数函数左极限左极限左极限左极限.该邻域内全部该邻域内全部点点x对应对应曲线上点曲线上点落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域，邻域，x0左半左半 邻域，邻域，第13页Axy0f(x)2.2.函数函数函数函数左极限左极限左极限左极限.该邻域内全部该邻域内全部点点x对应对应曲线上点曲线上点落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域，邻域，x0左半左半 邻域，邻域，第14页Axy0f(x)2.2.函数函数函数函数左极限左极限左极限左极限.该邻域内全部该邻域内全部点点x对应对应曲线上点曲线上点落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域，邻域，x0左半左半 邻域，邻域，第15页Axy0f(x)函数有函数有左极限左极限等价于等价于这种这种 邻域邻域与与左半左半 邻邻域域存在着无限对应存在着无限对应.2.2.函数函数函数函数左极限左极限左极限左极限.几何上：几何上：几何上：几何上：该邻域内全部该邻域内全部点点x对应对应曲线上点曲线上点落在落在绿色绿色区域内区域内.A 邻域，邻域，x0左半左半 邻域，邻域，第16页xy0f(x)AN N其对应曲线上点其对应曲线上点落在落在绿色绿色区域内区域内.3.3.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时极限时极限时极限时极限 A 邻域邻域,N 0,A+A 对满足对满足|x|N 一切点一切点 x,第17页xy0f(x)N NA其对应曲线上点其对应曲线上点 A 邻域邻域,N 0,.3.3.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足|x|N 一切点一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第18页xy0f(x)N NA其对应曲线上点其对应曲线上点 A 邻域邻域,N 0,.3.3.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足|x|N 一切点一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第19页xy0f(x)AN N其对应曲线上点其对应曲线上点 A 邻域邻域,N 0,.3.3.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足|x|N 一切点一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第20页xy0f(x)AN NN NN NN NN NN N 这类极限定义也称这类极限定义也称函数极限函数极限 N N定义定义定义定义其对应曲线上点其对应曲线上点 A 邻域邻域,N 0,.3.3.x x 趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大趋于无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足|x|N 一切点一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.第21页xy0f(x)AN其对应曲线上其对应曲线上点点 落在落在绿色绿色区区域内域内.4.x x 趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足 x N一切点一切点 x,(f(x)A情况情况)第22页xy0f(x)AN.4.x x 趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足 x N一切点一切点 x,(f(x)A情况情况)其对应曲线上其对应曲线上点点 落在落在绿色绿色区区域内域内.第23页xy0f(x)AN.(普通情况普通情况)4.x x 趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大趋于正无穷大时极限时极限时极限时极限对满足对满足 x N一切点一切点 x,其对应曲线上其对应曲线上点点 落在落在绿色绿色区区域内域内.第24页当当 x=n,则则对应点对应点都落都落在在绿色绿色区域内区域内nf(n)0AN123N+1N+25.5.数列数列数列数列极限极限极限极限对一切对一切 n N 自然数自然数 N A 邻域邻域第25页当当 x=n,则则nf(n)0AN N123N+1N+25.5.数列数列数列数列极限极限极限极限.对应点对应点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A 邻域邻域第26页当当 x=n,则则nf(n)0AN N123N+1N+25.5.数列数列数列数列极限极限极限极限.对应点对应点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A 邻域邻域第27页当当 x=n,则则nf(n)0AN123N+1N+2.对应点对应点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A 邻域邻域5.5.数列数列数列数列极限极限极限极限第28页当当 x=n,则则nf(n)0A123NNNNN NN+1N+2所以，所以，数列数列极限定义也称极限定义也称数列数列极限极限 N N定义定义定义定义.对应点对应点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A 邻域邻域5.5.数列数列数列数列极限极限极限极限第29页f(x)xy0MM该邻域内全部该邻域内全部点点对应对应曲线上点落在曲线上点落在绿绿色色区域内区域内.6.6.6.6.无穷大无穷大无穷大无穷大 M 0，0，当当 0|x x0|M.M邻域，邻域，x0 空心空心 邻域，邻域，第30页x0f(x)MM6.6.6.6.无穷大无穷大无穷大无穷大.y该邻域内全部该邻域内全部点点对应对应曲线上点落在曲线上点落在绿绿色色区域内区域内.M 0，0，当当 0|x x0|M.M邻域，邻域，x0 空心空心 邻域，邻域，第31页x0MMf(x)MMMMMMMMMM6.6.6.6.无穷大无穷大无穷大无穷大.y该邻域内全部该邻域内全部点点对应对应曲线上点落在曲线上点落在绿绿色色区域内区域内.M 0，0，当当 0|x x0|M.M邻域，邻域，x0 空心空心 邻域，邻域，第32页xy0f(x)MM6.6.6.6.无穷大无穷大无穷大无穷大.该邻域内全部该邻域内全部点点对应对应曲线上点落在曲线上点落在绿绿色色区域内区域内.M 0，0，当当 0|x x0|M.M邻域，邻域，x0 空心空心 邻域，邻域，第33页xy0f(x)MM6.6.6.6.无穷大无穷大无穷大无穷大所以，无穷大所以，无穷大定义也称定义也称无穷大无穷大MM 定义定义定义定义.该邻域内全部该邻域内全部点点对应对应曲线上点落在曲线上点落在绿绿色色区域内区域内.M 0，0，当当 0|x x0|M.M邻域，邻域，x0 空心空心 邻域，邻域，第34页xy0f(x)该邻域内全部该邻域内全部点点对应曲线上对应曲线上点落在点落在绿色绿色区域区域内内问题问题：函数在点函数在点x0 0连续与连续与存在极限区分存在极限区分？1 x=x0必须取到必须取到.7.函数连续性函数连续性2 A=f(x0)f(x0)f(x0)+f(x0)而且而且A=f(x0)f(x)在在x0连续连续第35页xy0y=f(x)M xN y.x0令令 x08.导数几何意义导数几何意义第36页xy0y=f(x)M xN yx0令令 x08.导数几何意义导数几何意义.第37页xy0y=f(x)M=tan.x0令令 x0.8.导数几何意义导数几何意义.第38页xyoMN.f(x)dy x 微分是函数局部线性化微分是函数局部线性化微分是函数局部线性化微分是函数局部线性化.用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？在图上是哪条线段？=tan x9.9.微分微分几何意义几何意义即：即：.y问题：何时问题：何时dy y?第39页xyody x 用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量用切线增量近似曲线增量dy y9.9.微分微分几何意义几何意义.dy y微分是函数局部线性化微分是函数局部线性化微分是函数局部线性化微分是函数局部线性化哪条线段是哪条线段是哪条线段是哪条线段是dy？.第40页列表列表曲线过点曲线过点(0,0)12(1,2)00+xyy+驻点：驻点：x=1x=210.10.函数作图函数作图 极大值极大值(拐点拐点)故故 y=0为水平渐近线为水平渐近线因因第41页图形图形：X0y1渐进线渐进线：y=0(0,0)2.10.(x +)第42页列表列表xyy.对函数进行全方面讨论并画图：对函数进行全方面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 x=0=00(拐点拐点)+因因（牛顿三叉戟线）（牛顿三叉戟线）00+3极小值极小值+11.11.0.间断点间断点第43页0 xy3 牛顿三叉戟线牛顿三叉戟线11.11.第44页列表列表xyy.对函数进行全方面讨论并画图：对函数进行全方面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=0=0，因因+0因因 y(x)=y(x)，图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+及及 x=1，x=1x=012.12.第45页0 xy11 12.12.第46页列表列表xyy 对函数进行全方面讨论并画图：对函数进行全方面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=00最小值最小值+因因图形关于图形关于y轴对称轴对称.=2 0 0=2.第47页0 xyarctan213.13.对函数进行全方面讨论并画图：对函数进行全方面讨论并画图：第48页列表列表xyy+.对函数进行全方面讨论并画图：对函数进行全方面讨论并画图：解解(在定义域内在定义域内)所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y=1及及 x=-1=-110最小值最小值+因因+0114.第49页0 xy111渐进线渐进线 y=1(1,0)渐进线渐进线 y=1图形图形:.14.第50页列表列表xyy.解解故曲线有渐近线故曲线有渐近线 y=x+和和 y=x.因因+0因因 y(x)=y(x)，图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)极大值极大值极小值极小值+00+.对函数进行全方面讨论并画图对函数进行全方面讨论并画图:y=x 2arctan xx=015.15.第51页0 xy 11y=x 2arctan x15.15.对函数进行全方面讨论并画图对函数进行全方面讨论并画图:第52页列表列表+xyy0解解无实根无实根所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 1极大值极大值因因函数是周期函数，函数是周期函数，而且是偶函数。而且是偶函数。周期为周期为2 2 ；只须讨论只须讨论00+1极小值极小值.对函数进行全方面讨论并画图对函数进行全方面讨论并画图:x=0,16.16.第53页0 xy 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.对函数进行全方面讨论并画图对函数进行全方面讨论并画图:第54页0 xy 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.-3 对函数进行全方面讨论并画图对函数进行全方面讨论并画图:第55页xyoMNMN.f(x)用切线长用切线长用切线长用切线长ds近似曲线长近似曲线长近似曲线长近似曲线长 sss=s(x)AB.dyds sdx=s17.17.弧微分弧微分d ds s几何意义几何意义第56页比如，铁轨曲率就是个关键问题：比如，铁轨曲率就是个关键问题：18.18.曲率曲率曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度第57页 18.18.曲率曲率曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度.再看同一条曲线再看同一条曲线第58页M1M2M318.18.曲率曲率曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度.第59页M1M2M3 18.18.曲率曲率曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度.第60页M1M2M3 1 1 与切线转角与切线转角与切线转角与切线转角 成正比成正比成正比成正比18.18.曲率曲率曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度.第61页ABB1 1 与切线转角与切线转角与切线转角与切线转角 成正比成正比成正比成正比 S S 2 2 与曲线弧长与曲线弧长与曲线弧长与曲线弧长 S S成反比成反比成反比成反比 S S故定义曲线故定义曲线AB平均曲率平均曲率平均曲率平均曲率.曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度曲线弯曲程度18.18.曲率曲率.=.A第62页谢谢使用谢谢使用返回首页返回首页.第63页