医用高数一元函数积分学不定积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

一、不定积分概念一、不定积分概念二、不定积分性质基本积分公式二、不定积分性质基本积分公式 三、换元积分法三、换元积分法 四、分部积分法四、分部积分法 五、有理函数积分五、有理函数积分第一节第一节 不定积分不定积分第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学第1页一、不定积分概念一、不定积分概念 定义3-1 若在某区间上若在某区间上 ,则称则称 为为 在该区间上一个在该区间上一个原函数原函数例例 第2页（为任意常数）为任意常数）分析分析（2）若）若 和和 都是都是 原函数原函数,则则（为任意常数）为任意常数）结论结论（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，都有都有（3）为为 原函数全体原函数全体问题问题(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联络？若不唯一它们之间有什么联络？(3)原函数全体怎样表示原函数全体怎样表示?第3页任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数被积表示式被积表示式 定义3-2 若函数若函数 是是 一个原函数一个原函数,则则 原函原函数全体数全体 称为称为不定积分不定积分.记为记为.积分变量积分变量 由此可知由此可知,求求 不定积分只需求出不定积分只需求出 一个原函数一个原函数,再加上任意常数再加上任意常数 .第4页例例3-1 求求解解例例3-2 求求解解第5页不定积分几何意义不定积分几何意义是积分曲线是积分曲线上、下平移所得到一上、下平移所得到一族积分曲线，称为族积分曲线，称为积积分曲线族分曲线族在点处有相在点处有相同斜率，同斜率，即这些切线相互即这些切线相互平行平行第6页二、不定积分性质和基本积分公式二、不定积分性质和基本积分公式 或或性质性质3-1或或性质性质3-2性质性质3-3性质性质3-4第7页基本积分公式基本积分公式 (3)(4)第8页第9页例例3-33-3 求求例例3-43-4 求求解解解解第10页例例3-53-5 求求解解第11页例例3-73-7 求求例例3-63-6 求求解解 解解 第12页例例3-83-8 求求解解 第13页不过不过处理方法处理方法 利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.问题提出三、换元积分法三、换元积分法 因为因为第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)第14页注意注意 使用此公式关键在于使用此公式关键在于定理定理3-13-1则有换元公式则有换元公式证实证实第15页解解例例3-93-9 求求第16页例例3-103-10 求求解解对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,无须写出中间变量无须写出中间变量例例3-113-11 求求解解第17页例例3-12 3-12 求求解解例例3-133-13 求求解解第18页例例3-143-14 求求解解第19页同理可得同理可得例例3-153-15 求求解解第20页解解例例3-163-16 求求例例3-173-17 求求解解第21页解法解法1例例3-183-18 求求解法解法2解法解法3第22页凑微分常见类型凑微分常见类型第23页第24页第一类换元法是经过变量替换第一类换元法是经过变量替换 将积分将积分 下面介绍第二类换元法是经过变量换下面介绍第二类换元法是经过变量换 将积分将积分2第二类换元法第二类换元法定理定理3-23-2设设 单调、可导，且，若单调、可导，且，若含有原函数含有原函数 ，则有，则有第25页证实证实 注意注意 使用此公式关键在于经过变量替换使用此公式关键在于经过变量替换 将将 换成一个轻易求得积分换成一个轻易求得积分 来计算来计算第26页例例3-193-19 求求解解 令令第27页 对被积函数中含有没有理根式积分，经过适当变换对被积函数中含有没有理根式积分，经过适当变换去掉根式后再积分，也称去掉根式后再积分，也称根式代换根式代换.例例3-203-20 求求解解 令令第28页 若被积函数中含有若被积函数中含有 时时,可采取三角替可采取三角替换方法化去根式换方法化去根式,这种方法称为这种方法称为三角代换三角代换.三角代换常有以下规律三角代换常有以下规律可令可令可令可令可令可令第29页解解 设设例例3-213-21 求求第30页解解 令令例例3-223-22 求求第31页解解 令令例例3-233-23 求求第32页注注 倒数代换倒数代换 也是惯用代换之一也是惯用代换之一 解解 令令例例3-243-24 求求第33页考虑积分考虑积分处理思绪处理思绪利用利用分部积分法分部积分法 四、分部积分法四、分部积分法 定理定理3-33-3证实证实由导数公式由导数公式即即两边求不定积分两边求不定积分分部积分公式分部积分公式所以所以第34页解解 令令假如令假如令显然，显然，选择不妥，积分更难进行选择不妥，积分更难进行.例例3-253-25 求求更复杂了更复杂了!第35页 选择注意以下两点选择注意以下两点 若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）乘积若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）乘积,设幂函数为设幂函数为 .例例3-263-26 求求解解第36页解解例例3-273-27 求求例例3-283-28 求求解解第37页解解 令令例例3-293-29 求求 若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）乘若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）乘积，设对数函数或反三角函数为积，设对数函数或反三角函数为 .第38页解解例例3-303-30 求求 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可二者皆可作为作为 ,但作为但作为 函数类型不变函数类型不变.第39页例例3-313-31 求求解解 设设 ,则则第40页有理函数有理函数 两个多项式商表示函数两个多项式商表示函数.五、有理函数积分五、有理函数积分其中其中 、都是非负整数；都是非负整数；及及 都都是实数是实数,而且而且 ，.假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是这有理函数是真分式真分式；这有理函数是这有理函数是假分式假分式.第41页例例注意注意 (1)(1)利用多项式除法利用多项式除法,假分式能够化成一个多项式和假分式能够化成一个多项式和一个真分式之一个真分式之和和.(2)在实数范围内真分式总可认为几个最简分式之和.最简分式是下面两种形式分式最简分式是下面两种形式分式其中其中 都是待定常数都是待定常数.第42页分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为(3)(3)有理函数化为部分分式之和普通规律有理函数化为部分分式之和普通规律分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为则分解后为其中其中,为待定常数为待定常数 .其中其中 为待定常数为待定常数.第43页 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时同时要把上面待定常数确定要把上面待定常数确定,这种方法叫这种方法叫待定系数法待定系数法例例3-32 求求解解 设设下面确定系数下面确定系数A、方法方法1：去分母去分母,两端同乘以两端同乘以 ,得得比较两端比较两端 同次幂系数同次幂系数,得得第44页解方程组解方程组,得得方法方法2：在恒等式中在恒等式中 ,令令 ,得得 ;令令 ,得得 .第45页例例3-33 求求解解 设设第46页解解 设设例例3-34 求求第47页第48页解解 例例3-35 求求 分析分析:被积函数分母被积函数分母 在实数范围内不能因在实数范围内不能因式分解式分解,可用凑微分法求解可用凑微分法求解.第49页 1原函数概念不定积分概念不定积分性质基原函数概念不定积分概念不定积分性质基本积分公式本积分公式主要内容主要内容2两类换元法两类换元法3分部积分法分部积分法 （1）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）若被积函数是幂函数和指数函数（或三角函数）乘积乘积,设幂函数为设幂函数为 .(2)若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）若被积函数是幂函数和对数函数（或反三角函数）乘积，设对数函数或反三角函数为乘积，设对数函数或反三角函数为 .(3)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆二者皆可作为可作为 ,但作为但作为 函数类型不变函数类型不变.第50页