1、第二类换元积分法第二类换元积分法分部积分法分部积分法第1页第一换元法第一换元法第二换元法第二换元法注：注：单调、可导，且单调、可导，且 凑微分凑微分第2页则则对于对于则则则则对于对于对于对于 普通地：第二类换元法主要是利用三角关系式普通地：第二类换元法主要是利用三角关系式化根式化根式 为三角函数有理式，为三角函数有理式，再积分。再积分。令令令令令令上式中，均假设上式中，均假设 为各对应反三角函数为各对应反三角函数主值区间主值区间。第3页解解 令令 则则例例1 求不定积分求不定积分 原式原式辅助三角形辅助三角形公式公式 第4页解解 令令 则则例例2求不定积分求不定积分 原式原式 辅助三角形辅助三
2、角形公式公式 第5页解解 令令 则则 例例3 求不定积分求不定积分 原式原式 辅助三角形辅助三角形第6页解解 令令 例例4 求不定积分求不定积分 则则原式原式 辅助三角形辅助三角形偶次方化倍角偶次方化倍角 第7页基本积分公式基本积分公式P106-P107第8页公式直接应用公式直接应用 例例1例例2例例3第9页解解 令令 则则 原式原式例例1求不定积分求不定积分 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式第10页解解 例例2求不定积分求不定积分 令令 则则原式原式 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式第11页解解 则则 例例3求不定积分求不定积分 令令 原式原式
3、 P107公式（公式（20）直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式第12页解解 原式原式例例4 求不定积分求不定积分 则则 令令 直接令根式为直接令根式为u，化根式为有理式化根式为有理式第13页例例5 求不定积分求不定积分 解解 则则 令令 原式原式第14页由由得得即即或或 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 第15页解解 则则例例1求不定积分求不定积分 令令 原式原式 若令若令 则则原式原式 比比 更难求更难求失败！失败！与与 选择标准选择标准1、可求；可求；2、可求，可求，或较易求或较易求第16页解解 例例2求不定积分求不定积分 令令 则则原式原式 求不定积分求
4、不定积分 解答解答 原式原式 两次使用两次使用分部积分公式分部积分公式第17页解解 例例3求不定积分求不定积分 原式原式原式原式第18页解解 例例4求不定积分求不定积分 原式原式原式原式第19页解解 例例5求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 第20页解解 例例6求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 第21页解解 例例7求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 所以所以所以所以 第22页普通规律普通规律普通规律普通规律令幂函数为令幂函数为令幂函数为令幂函数为 令幂函数为令幂函数为令幂函数为令幂函数为 两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解
5、两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解两次使用分部积分公式，返回到原积分，变形，得解 注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，注意：第一次使用分部积分公式时，u u与与与与dvdv可任选，但可任选，但可任选，但可任选，但第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，第二次使用分部积分公式时，u u与与与与dvdv选择，必须与第一次选选择，必须与第一次选选择，必须与第一次选选择，必须与第一次选择同类择同类择同类择同类。第23页解解 例例8求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 所以所以所以所以 第24
6、页解解 例例9求不定积分求不定积分 原式原式原式原式 所以所以所以所以 第25页解解 令令 例例10 求不定积分求不定积分 则则原式原式原式原式 第26页求不定积分方法小结求不定积分方法小结求不定积分方法小结求不定积分方法小结直接积分法直接积分法直接积分法直接积分法变形、用公式（变形、用公式（变形、用公式（变形、用公式（2424条）条）条）条）第一类换元积分法第一类换元积分法第一类换元积分法第一类换元积分法 凑微分凑微分凑微分凑微分 第二类换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法 利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式利用三角代换，化无理根式为有理式
7、利用三角代换，化无理根式为有理式 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法 第27页有理分式积分有理分式积分 真分式性质真分式性质 将真分式将真分式 分解为部分分式之和分解为部分分式之和 上面等式两边乘以上面等式两边乘以，则，则令令令令故故第28页解解 因为因为 例例例例1 1 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分 所以所以所以所以 第29页解解 由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和由待定系数法，把被积函数分解为部分分式之和例例例例2 2 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分 所以所以所以所以 第30页万能公式万能公式三角函数有理式积分三角函数有理式积分 第31页则则原式原式例例例例3 3 求不定积分求不定积分求不定积分求不定积分 解解解解 第32页再见！再见！第33页
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