地下水渗流基本方程及数学模型省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学2-1 2-1 渗流连续方程渗流连续方程渗流连续方程渗流连续方程一、一、含水层状态方程含水层状态方程含水层状态方程主要包含地下水状态方程和多孔介质状态方程。含水层状态方程主要包含地下水状态方程和多孔介质状态方程。1、地下水状态方程、地下水状态方程 Hooke定律：定律：式中：式中：E体积弹性系数（体积弹性模量），体积弹性系数（体积弹性模量），20时，时，E=2.1105N/cm2。其倒数为压缩系数。其倒数为压缩系数。等温条件下，水压缩系数等温条件下，水压缩系数(coef.of compressibility)为为第1页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学积分（积分（pp0，VV0）改写得：）改写得：体积：体积：密度：密度：按按Taylor级数展开，得到近似方程：级数展开，得到近似方程：和和 因因 （质量守恒），故有（质量守恒），故有第2页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学2、多孔介质状态方程、多孔介质状态方程 多孔介质压缩系数（多孔介质压缩系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在）表示多孔介质在压强改变时压缩性指标，用压强改变时压缩性指标，用 表示。表示。多孔介质压缩系数多孔介质压缩系数 表示式为：表示式为：式中，式中，VbVs+Vv多孔介质中所取单元体总体积；多孔介质中所取单元体总体积；Vs单元体中固体骨架（单元体中固体骨架（solid matrix）体积；）体积；Vv为其中孔隙（为其中孔隙（voids）体积。）体积。介质表面压强；介质表面压强；第3页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学VvnVb；Vs(1-n)Vb式中式中 多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固体颗粒本身压缩性指标，体颗粒本身压缩性指标，s p；多孔介质中孔隙压缩系数多孔介质中孔隙压缩系数（Compressibility of the pores of a porous medium），表示多孔介质中孔隙），表示多孔介质中孔隙压缩性指标。压缩性指标。n多孔介质孔隙度。多孔介质孔隙度。因因 ，故，故 。第4页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学3、贮水率和贮水系数贮水率和贮水系数 考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面考虑承压含水层受力情况，取一水平横截面AB，按，按Terzaghi（18831963）观点：）观点：式中式中 上覆荷重引发总应力（上覆荷重引发总应力（total stress）；）；作用在固体颗粒上粒间应力作用在固体颗粒上粒间应力(intergranular stress)；横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占水平面积比；横截面面积中颗粒与颗粒接触面积所占水平面积比；p 水压强。水压强。Terzaghi令令 =称为有效应力（称为有效应力（effective stress）。）。很小，很小，(1-)p p，所以有：，所以有：第5页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学图图11 一个可压缩承压含水层（一个可压缩承压含水层（J.Bear）第6页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 在水位下降为在水位下降为H时，有时，有 。即作用于固体骨架上力增加了即作用于固体骨架上力增加了H。作用于骨架上力增加会引发含水层压缩，而水压力降低将造成水膨作用于骨架上力增加会引发含水层压缩，而水压力降低将造成水膨胀。胀。含水层原来就充满了水，骨架压缩和水膨胀都会引发水从含水层中含水层原来就充满了水，骨架压缩和水膨胀都会引发水从含水层中释出，前者就象用手挤压充满了水海绵会挤出水释出，前者就象用手挤压充满了水海绵会挤出水样。样。第7页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学思索思索题1、在、在涣散散层覆盖岩溶地域，建立高楼群覆盖岩溶地域，建立高楼群时，出，出现地表塌陷，怎地表塌陷，怎样解解释这一一现象？象？2、一列火、一列火车经过一个一个涣散含水散含水层附近附近观察孔，察孔，该孔水位怎孔水位怎样改改变？3、我国不一、我国不一样地域因开地下水引地域因开地下水引发地面沉降怎地面沉降怎样了解？了解？第8页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学因因Vs=constant，故，故 只在垂直方向上有压缩，只在垂直方向上有压缩，故故上两式表示垂直厚度改变、孔隙度改变与水压强改变关上两式表示垂直厚度改变、孔隙度改变与水压强改变关系。系。水头降低时含水层释出水特征，取面积为水头降低时含水层释出水特征，取面积为1m2、厚度为、厚度为l m(即体积为即体积为l m3)含水层，含水层，考查当水头下降考查当水头下降1m时释放水量。此时，有效应力增加了时释放水量。此时，有效应力增加了H g1=g。介质压缩体积降低所释放出水量（介质压缩体积降低所释放出水量（dVb）为）为与水体积膨胀所释放出水量（与水体积膨胀所释放出水量（dV）之和）之和第9页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学上述二者之和所释放出水量为上述二者之和所释放出水量为或或式中式中 s 贮水率贮水率释水率释水率（specific storativity），量纲），量纲 L-1，为弹性，为弹性释水释水贮水贮水；式中式中 M含水层厚度含水层厚度(m)；*贮水系数（贮水系数（storativity）。）。*=sM贮水系数贮水系数*和贮水率和贮水率 s都是表示含水层弹性释水能力参数，在地下水动力都是表示含水层弹性释水能力参数，在地下水动力学计算中含有主要意义。学计算中含有主要意义。第10页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学贮水率贮水率 表示含水层水头改变一个单位时，从单位体积含表示含水层水头改变一个单位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架压缩（或伸长）而释放（或储存）水层中，因水体积膨胀（压缩）以及骨架压缩（或伸长）而释放（或储存）弹性水量。单位弹性水量。单位1/L。贮水系数贮水系数又称又称释水系数或储水系数释水系数或储水系数，为含水层水头改变一个单位时，从底，为含水层水头改变一个单位时，从底面积为一个单位，高度等于含水层厚度柱体中所释放（或贮存）水量；指面积为一个单位，高度等于含水层厚度柱体中所释放（或贮存）水量；指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M含水层柱体中，当水头改变一个含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存水量，无量纲。既适合用于承压含水层，也适合用单位时弹性释放或贮存水量，无量纲。既适合用于承压含水层，也适合用于潜水含水层。于潜水含水层。贮水率贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中水文地质参数，既适合是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中水文地质参数，既适合用于承压水也适合用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究用于承压水也适合用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整个含水层厚度上释水情况时，用贮水系数来表达。整个含水层厚度上释水情况时，用贮水系数来表达。第11页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学第12页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学第13页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 *范围值：范围值：n10-3 n10-5；范围值：范围值：0.05 0.30。实际测出值往往小于理论值。实际测出值往往小于理论值。上述两参数之间不一样，还在于潜水含水层存在上述两参数之间不一样，还在于潜水含水层存在滞后疏干滞后疏干现象。现象。弹性释水与重力给水弹性释水与重力给水:对于含水层而言，因为受埋藏条件限制，抽水时，水给出存对于含水层而言，因为受埋藏条件限制，抽水时，水给出存在着不一样。在着不一样。潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（饱水带）和包气带两部分，因为包气带存在，使得饱水带中水释放存在延滞和滞后现（饱水带）和包气带两部分，因为包气带存在，使得饱水带中水释放存在延滞和滞后现象。象。当水头下降时，可引发二部分水排出。在上部潜水面下降部位引发重力排水，用给当水头下降时，可引发二部分水排出。在上部潜水面下降部位引发重力排水，用给水度水度 表示表示重力排水重力排水能力；在下部饱水部分则引发能力；在下部饱水部分则引发弹性释水弹性释水，用贮水率，用贮水率*表示这一部表示这一部分释水能力。分释水能力。必须区分二者之间不一样，潜水含水层还存在滞后疏干现象。必须区分二者之间不一样，潜水含水层还存在滞后疏干现象。第14页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 承压含水层抽水时，水释放是因为压力降低造成，这一过程是瞬时完承压含水层抽水时，水释放是因为压力降低造成，这一过程是瞬时完成。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引发含水层弹性释成。只要水头下降不低到隔水顶板以下，水头降低只引发含水层弹性释水，可用贮水系数水，可用贮水系数*表示这种释水能力。表示这种释水能力。4、导压系数、导压系数 描述含水层水头改变传导速度参数，其数值等于含水层导水系数与贮描述含水层水头改变传导速度参数，其数值等于含水层导水系数与贮水系数之比或渗透系数与贮水率之比。水系数之比或渗透系数与贮水率之比。第15页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学二、二、渗流连续方程渗流连续方程连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程水均衡基本思想：水均衡基本思想：对某一研究对象，对某一研究对象，流入流入 流出流出V 研究对象能够是大区域，也能够是微分单元体。研究对象能够是大区域，也能够是微分单元体。u 大区域水均衡计算经惯用于区域水资源评价。大区域水均衡计算经惯用于区域水资源评价。u 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。为反应含水层地下水运动普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质为反应含水层地下水运动普遍规律，我们选定在各向异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。中建立地下三维不稳定流动连续性方程。第16页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 因为渗流场中各点渗流速度大小、方向都不一样，为了反应液体运动质因为渗流场中各点渗流速度大小、方向都不一样，为了反应液体运动质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表示连续性方程。量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表示连续性方程。在渗流场中任意取一点在渗流场中任意取一点P(x,y,z)，以，以P为中心沿直角坐标轴取一微小六面为中心沿直角坐标轴取一微小六面体，体积为体，体积为 ，称为，称为特征单元体特征单元体，设单元体无限小，但确保单元体穿，设单元体无限小，但确保单元体穿过介质骨架和空隙。过介质骨架和空隙。设vx x，vy y，vz z分别为该点在X、Y、Z方向上渗流速度。Abcd面中点 。沿X轴方向流入：第17页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学流出：流出：利用利用Taylor级数展开，略去二阶导数以上高次项，有：级数展开，略去二阶导数以上高次项，有：单元体本身水质量在单元体本身水质量在t时间内改变量时间内改变量 为液体密度。为液体密度。由质量守恒定律由质量守恒定律,得到得到渗流连续性方程渗流连续性方程:=同理 第18页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学或或 上式即为非稳定流渗流连续方程，表明渗流场中任意体上式即为非稳定流渗流连续方程，表明渗流场中任意体积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于该体积中水质量改变量。它表示了渗流区内任何一个该体积中水质量改变量。它表示了渗流区内任何一个“局局部部”所必须满足质量守恒定律。所必须满足质量守恒定律。若把含水层看作刚体，若把含水层看作刚体，=constant，n不变，即水和介质不变，即水和介质没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为第19页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 上式表明，在同一时间内流入单元体水体积等于流出水体积，上式表明，在同一时间内流入单元体水体积等于流出水体积，即即体积守恒。体积守恒。连续性方程连续性方程是研究地下水运动基本方程，各种研究地下水运动是研究地下水运动基本方程，各种研究地下水运动微分方程都是依据连续性方程和反应质量守恒定律方程建立起来。微分方程都是依据连续性方程和反应质量守恒定律方程建立起来。第20页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学2-2 2-2 渗流基本微分方程渗流基本微分方程渗流基本微分方程渗流基本微分方程一、一、承压水运动基本微分方程承压水运动基本微分方程基本假设：基本假设：（1）单元体体积无限小，为承压含水层；）单元体体积无限小，为承压含水层；（2）含水层侧向受到限制，）含水层侧向受到限制，x、y为常量为常量,z为变量为变量,存在垂向压缩，水密度存在垂向压缩，水密度、孔隙度、孔隙度n和随压力和随压力p而改变；而改变；（3）由）由 引发改变引发改变 远小于单元体内液体质量改变量（含远小于单元体内液体质量改变量（含），可忽略不计；，可忽略不计；（4）水流服从）水流服从Darcys Law；第21页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学（5）K不因不因 改变而改变；改变而改变；（6）s和和K也不受也不受n改变（因为骨架变形）影响。改变（因为骨架变形）影响。流体质量：流体质量：因为含水层侧向受到限制，可假设因为含水层侧向受到限制，可假设 x、y为常量，只考虑垂向压缩。于为常量，只考虑垂向压缩。于是，只有水密度是，只有水密度.孔隙度孔隙度n和单元体高度和单元体高度 z三个量随压力而改变，于是有：三个量随压力而改变，于是有：由含水层状态方程，由含水层状态方程，=第22页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学因为因为 所以有所以有 ，Z为定值，则为定值，则 则可得到：则可得到：于是于是连续性方程连续性方程变为：变为：又又则则 第23页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学令令 则则依据连续性原理有：依据连续性原理有：则有：则有：即：即：将将 代入整理得：代入整理得：第24页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学所以有所以有上式为上式为三维流微分方程三维流微分方程，也可写成：，也可写成：物理意义：物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体积渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体积含水层中弹性水量改变量，即单位体积含水层水量均衡方程。含水层中弹性水量改变量，即单位体积含水层水量均衡方程。第25页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学基本微分方程基本微分方程(Basic Differential Equation)是研究承压含水层中地下水运动是研究承压含水层中地下水运动基础。它反应了承压含水层中地下水运动质量守恒关系，表明单位时间内基础。它反应了承压含水层中地下水运动质量守恒关系，表明单位时间内流入、流出单位体积含水层水量差（左端）等于同一时间内单位体积含水流入、流出单位体积含水层水量差（左端）等于同一时间内单位体积含水层弹件释放层弹件释放(或弹性贮存或弹性贮存)水量（右端）。它还经过应用水量（右端）。它还经过应用Darcy定律反应了地定律反应了地下水运动中能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表示了渗流区中任下水运动中能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表示了渗流区中任何一个何一个“局部局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。都必须满足质量守恒和能量守恒定律。数学意义：数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻渗流规律。表示渗流空间内任一点任一时刻渗流规律。在柱坐标系中，基本微分方程为：在柱坐标系中，基本微分方程为：第26页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学或或由地下水流基本微分方程，在均质各向同性介质中，方程简化为：由地下水流基本微分方程，在均质各向同性介质中，方程简化为：对于各向异性介质，若把坐标轴方向和各向异性介质主方向定为一致，则对于各向异性介质，若把坐标轴方向和各向异性介质主方向定为一致，则有有在二维流情况下，基本微分方程可表示为：在二维流情况下，基本微分方程可表示为：第27页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 上式即为上式即为承压水平面二维流微分方程承压水平面二维流微分方程，该方程是研究承压水含水层中，该方程是研究承压水含水层中地下水运动基础，反应了承压水含水层中地下水运动质量守恒关系，表明地下水运动基础，反应了承压水含水层中地下水运动质量守恒关系，表明单位时间流入、流出单位体积含水层水量差等于同一时间内单位体积含水单位时间流入、流出单位体积含水层水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或贮存）水量。层弹性释放（或贮存）水量。在实际渗流问题中若存在抽、注水及越流影响，只要在微分方程中左在实际渗流问题中若存在抽、注水及越流影响，只要在微分方程中左端中经过加、减端中经过加、减W项，通常把该项称为源汇项。所谓源项表示在垂直方向项，通常把该项称为源汇项。所谓源项表示在垂直方向上有水流入含水层，此时上有水流入含水层，此时W为正；汇指在垂直方向上有水流出含水层，此为正；汇指在垂直方向上有水流出含水层，此时时W为负。为负。此时微分方程变成：此时微分方程变成：第28页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学二维流情况下：二维流情况下：在二维流情况下，令压力传导系数（导压系数），则在二维流情况下，令压力传导系数（导压系数），则均质各向同性含水层均质各向同性含水层基基本微分方程为：本微分方程为：非均质各向同性含水层中稳定流运动：非均质各向同性含水层中稳定流运动：均质各向同性含水层中稳定流运动：均质各向同性含水层中稳定流运动：上式也称上式也称Laplace方程。稳定运动方程右端都等于零，意味着同一时间内流入单方程。稳定运动方程右端都等于零，意味着同一时间内流入单元体水量等于流出水量。这个结论不但适合用于承压含水层，也适合用于潜水含水元体水量等于流出水量。这个结论不但适合用于承压含水层，也适合用于潜水含水层和越流含水层。层和越流含水层。第29页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学二、潜水运动基本微分方程二、潜水运动基本微分方程 1、Dupuit 假设假设在潜水面上任意取一点在潜水面上任意取一点P，有：，有：图图1-16 Dupuit假设假设第30页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 该点流速该点流速v方向与潜水面相切，则由达西定律有：方向与潜水面相切，则由达西定律有：vs=-KJ=-Ksin。当当很小时，很小时，tg=sin。此时，。此时，(1)潜水面比较平缓，等水头面呈铅直，潜水面比较平缓，等水头面呈铅直，水流基本水平，可忽略渗流速度垂直分量水流基本水平，可忽略渗流速度垂直分量vZ；图图 tg 、sin 与角度与角度 关系关系第31页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学（2）隔水底板水平，铅垂剖面上各点水头都相等，各点水力坡度和渗）隔水底板水平，铅垂剖面上各点水头都相等，各点水力坡度和渗流速度都相等，能够近似地用代替，此即著名流速度都相等，能够近似地用代替，此即著名Dupuit 假设。假设。渗流速度：渗流速度：，H=H(x)经过宽度经过宽度B铅直平面流量为铅直平面流量为 ，H=H(x)式中式中Qxx方向流量；方向流量；h潜水含水层厚度；潜水含水层厚度；h=H（隔水层水平时）。（隔水层水平时）。第32页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学对于更普通情况，对于更普通情况，H=H(x，y)有：有：则得：则得：因为因为Dupuit假设引入，将垂直方向水流速度忽略，降低了假设引入，将垂直方向水流速度忽略，降低了z变量，简化变量，简化了计算，但会产生一定误差，经验证实当了计算，但会产生一定误差，经验证实当 时，产生误差很时，产生误差很小，误差表示式为：小，误差表示式为：第33页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学Dupuit假设无效地域：假设无效地域：(1)存在入渗潜水分水岭地段；存在入渗潜水分水岭地段；(2)渗出面附近。渗出面渗出面附近。渗出面(seepage surface)是在下游边界面上，潜水面以下、是在下游边界面上，潜水面以下、下游水面以上地段。渗出面上潜水面往往和边界面相切，有较大垂向分下游水面以上地段。渗出面上潜水面往往和边界面相切，有较大垂向分速度。速度。(3)垂直隔水边界附近。垂直隔水边界附近。图图1-17 Dupuit假设无效地域假设无效地域第34页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学2）Boussinesq方程方程 依据依据Dupuit假设，可建立相关潜水含水层中地下水流方程。假设，可建立相关潜水含水层中地下水流方程。图图1-18 潜水非稳定运动潜水非稳定运动第35页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学（1）潜水一维流方程（沿）潜水一维流方程（沿x方向运动）方向运动）在在t时间内，上、下游流入、流出单元体水量差为：时间内，上、下游流入、流出单元体水量差为：在该段时间内，垂直方向补给量为在该段时间内，垂直方向补给量为0，故，故t时段水量总改变量为时段水量总改变量为 因为水量改变引发潜水面升降，设其改变速率为因为水量改变引发潜水面升降，设其改变速率为 ，则在，则在t时段，因时段，因为潜水面改变而引发小土体内水体积增量为为潜水面改变而引发小土体内水体积增量为 则有则有第36页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学将将 （均质各向同性）代入上式，能够得到有入渗补给潜水（均质各向同性）代入上式，能够得到有入渗补给潜水含水层中地下水非稳定运动一维流方程，又称为含水层中地下水非稳定运动一维流方程，又称为Boussinesq方程：方程：式中式中K、潜水含水层渗透系数、给水度；潜水含水层渗透系数、给水度；W含水层单位时间、单位面积上垂向补排量，补给为正，含水层单位时间、单位面积上垂向补排量，补给为正，排泄为负。排泄为负。第37页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学(2)潜水二维流方程潜水二维流方程均质各向同性含水层均质各向同性含水层，Boussinesq方程为：方程为：式中式中h=H-Z，Z=0时，时，h=H。非均质含水层，非均质含水层，Boussinesq方程为：方程为：在推导潜水基本微分方程时应用了在推导潜水基本微分方程时应用了Dupuit假设，忽略了弹性储存，假设，忽略了弹性储存，所选单元体是一个包含了整个含水层厚度在内土柱，这与承压水非稳所选单元体是一个包含了整个含水层厚度在内土柱，这与承压水非稳定运动时选取无限小单元体不一样。所以，应用潜水运动基本方程得定运动时选取无限小单元体不一样。所以，应用潜水运动基本方程得到到H(x，y，t)只能代表该点整个含水层厚度上平均水头近似值，不能只能代表该点整个含水层厚度上平均水头近似值，不能用来计算同一垂直剖面上不一样点水头改变。用来计算同一垂直剖面上不一样点水头改变。第38页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学(3)潜水三维流方程潜水三维流方程若不用若不用Dupuit假设，假设，Boussinesq方程普通形式：方程普通形式：在上面潜水基本运动微分方程中右端项为在上面潜水基本运动微分方程中右端项为贮水率贮水率而不是而不是给水度给水度，其，其原因在于，当不考虑原因在于，当不考虑Dupuit假设时，单元体位于渗流区内部，其贮存量假设时，单元体位于渗流区内部，其贮存量改变只能是弹性释水而不是疏干排水，所以推导出潜水非稳定运动方程改变只能是弹性释水而不是疏干排水，所以推导出潜水非稳定运动方程和承压水非稳定运动方程形式一样。在这种情况下，地下水非稳定运动和承压水非稳定运动方程形式一样。在这种情况下，地下水非稳定运动特点由边界条件来反应。特点由边界条件来反应。第39页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学对于对于各向异性介质各向异性介质，坐标轴方向同主方向，有：，坐标轴方向同主方向，有：假设固体骨架是不可压缩，假设固体骨架是不可压缩，同时假设忽略水压缩性，同时假设忽略水压缩性,即即 常数，常数，有：有：或：或：第40页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学（4）潜水稳定运动微分方程）潜水稳定运动微分方程没有入渗和蒸发时，潜水稳定运动方程式为：没有入渗和蒸发时，潜水稳定运动方程式为：非均质非均质或或均质均质（5）地下水运动基本微分方程统一形式：）地下水运动基本微分方程统一形式：Z含水层底板标高。含水层底板标高。第41页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学三、越流含水层中地下水运动基本微分方程三、越流含水层中地下水运动基本微分方程 在自然界中，存在以下情况，承压含水层上、下岩层并不是绝对隔水，在自然界中，存在以下情况，承压含水层上、下岩层并不是绝对隔水，其中一个或两个可能是其中一个或两个可能是弱透水层弱透水层(Aquitard)。即使含水层会经过弱透水层和相邻含水层发生水力联络，但它还是处即使含水层会经过弱透水层和相邻含水层发生水力联络，但它还是处于承压状态，将其称为于承压状态，将其称为半承压含水层半承压含水层(Semi-confined aquifer)。当该含水层和相邻含水层间存在水头差时，地下水就会从高水头含水当该含水层和相邻含水层间存在水头差时，地下水就会从高水头含水层经过弱透水层流向低水头含水层。这种现象称为层经过弱透水层流向低水头含水层。这种现象称为越流越流(Leakage)。半承压含水层称为半承压含水层称为越流含水层越流含水层(Leakage aquifer)。第42页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 假设：假设：主含水层渗透系数主含水层渗透系数K远远大于若透水层渗透系数远远大于若透水层渗透系数K1；主含水层；主含水层弹性释放水量、弱透水层越流量远远大于弱透水层弹性释放水量。主含水层弹性释放水量、弱透水层越流量远远大于弱透水层弹性释放水量。主含水层中水流近似地看作二维流问题，中水流近似地看作二维流问题，对于均衡单元体，依据水均衡原理能够写出以下形式连续性方程对于均衡单元体，依据水均衡原理能够写出以下形式连续性方程(continuty equation)：第43页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学第44页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型地下水渗流微分方程及数学模型 地地地地 下下下下 水水水水 动动动动 力力力力 学学学学 式中，式中，v1，v2分别为经过上部和下部弱透水层垂直越流速率或越流强度，分别为经过上部和下部弱透水层垂直越流速率或越流强度，即即 其中，其中，H1(x,y,t)和和H2(x,y,t)分别为上含水层和下含水层中水头，如分别为上含水层和下含水层中水头，如T表示主含水层导水系数，则得到不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各表示主含水层导水系数，则得到不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动基本微分方程：向同性越流含水层中非稳定运动基本微分方程：对于均质各向同性介质来说，有：对于均质各向同性介质来说，有：第45页安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地