实变函数直播课程t课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

直播课程一直播课程一第1页第2页第3页第4页第5页 正是在那个时候，数学家逐步发觉分正是在那个时候，数学家逐步发觉分析基础本身还存在着许多问题。比如，析基础本身还存在着许多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分什么是函数这个看上去简单而且十分主要问题，数学界并没有形成一致看主要问题，数学界并没有形成一致看法。以至长久争论问题这么和那样解法。以至长久争论问题这么和那样解答，这么和那样数学结果，弄不清终答，这么和那样数学结果，弄不清终究谁是正确。究谁是正确。第6页第7页第8页第9页比如，连续函数必定可积，不过比如，连续函数必定可积，不过含有什么性含有什么性 质不连续函数也可积质不连续函数也可积呢？假如改变积分定义，可积分条呢？假如改变积分定义，可积分条件又是什么样？连续函数不一定件又是什么样？连续函数不一定可导，那么可导充分必要条件又是可导，那么可导充分必要条件又是什么样？什么样？第10页第11页第12页第13页第14页什么什么是是测度呢？简单地说，测度呢？简单地说，线线段长度段长度,平面平面图形图形面积面积,空间空间立立体体体积体积就是它测度。就是它测度。测度概念测度概念对于实变函数论十分主要。集合测对于实变函数论十分主要。集合测度这个概念是由法国度这个概念是由法国 数学家勒贝格数学家勒贝格提出来。提出来。第15页第16页第17页第18页第19页第20页数学分析中最主要概念之一是黎曼积分。从数学分析中最主要概念之一是黎曼积分。从黎曼积分记号黎曼积分记号 能够看出，它含有能够看出，它含有两个要素两个要素及及一个运算一个运算（1）积分区间积分区间（2）被积函数被积函数 （3）积分运算积分运算 第21页R-积分不足积分不足可积性不易验证。可积性不易验证。积分与极限交换次序条件太苛刻。积分与极限交换次序条件太苛刻。积分不完全是微分逆运算积分不完全是微分逆运算。第22页本课程中心内容：本课程中心内容：推广黎曼积分为勒贝格积分推广黎曼积分为勒贝格积分记号：记号：注意注意 这里这里E E是欧几里德是欧几里德(Euclid)(Euclid)空间空间点集点集，无须是区间无须是区间，是是可测函数可测函数，而积分运，而积分运 算依赖所考虑算依赖所考虑测度测度。第23页主要内容主要内容v 集合论集合论v 空间点集论空间点集论v 测度论测度论v 可测函数可测函数v Lebesgue积分论积分论第24页第一章第一章 集集 合合 主要内容主要内容 集合及其运算集合及其运算 集对等及其基数集对等及其基数第25页 基本要求基本要求 1 了解集概念，分清集元与集归属关系，了解集概念，分清集元与集归属关系，集与集之间包含关系区分。集与集之间包含关系区分。2 掌握掌握集之间并、交、差、余运算。集之间并、交、差、余运算。3 掌握集列上、下限集概念及其交并表示。掌握集列上、下限集概念及其交并表示。4 了解集列收敛、单调集列概念。了解集列收敛、单调集列概念。5 掌握掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。映射，两集合对等及集合基数等概念。6 了解伯恩斯坦定理（不要求掌握证实），能利用了解伯恩斯坦定理（不要求掌握证实），能利用定义及伯恩斯坦定理证实两集合对等。定义及伯恩斯坦定理证实两集合对等。7 了解可数集，不可数集意义，了解可数集，不可数集意义，掌握掌握可数集、可数集、基数为基数为C集合性质，了解不存在最大基数定理集合性质，了解不存在最大基数定理意义。意义。第26页可数集性质可数集性质A.A.任何无限集必任何无限集必含有可数子集含有可数子集B.B.可数集子集可数集子集至多是可数。至多是可数即或为有限即或为有限集或为可数集。集或为可数集。C.C.可数个可数集并可数个可数集并集是可数集。集是可数集。第27页 A=nxxxa,21LL,()()()nkxxxkkk.,2,1;,21LL=则则 A A 为可数集。为可数集。D.D.可可数个可数集并集是可数集。若数个可数集并集是可数集。若A A中每中每个元素由个元素由n n个相互独立记号所决定个相互独立记号所决定，各记号各记号跑遍一个可数集跑遍一个可数集第28页例例1：证实：证实第29页第30页例例2第31页第32页例例3：证实：证实第33页第34页直播课程二直播课程二第35页例例4：第36页第37页第二章第二章 点点 集集 主要内容主要内容 度量空间、度量空间、n n 维欧氏空间介绍维欧氏空间介绍聚点、内点、界点等概念聚点、内点、界点等概念开集、闭集、完备集。开集、闭集、完备集。直线上开集、闭集及完备集结构。直线上开集、闭集及完备集结构。第38页1 明确明确 n 维欧氏空间中极限概念主要依维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中作用。限理论中作用。2 了解聚点，孤立点、内点、外点、界了解聚点，孤立点、内点、外点、界点意义，掌握相关性质。点意义，掌握相关性质。3 了解开集、闭集、完备集意义，掌了解开集、闭集、完备集意义，掌握其性质。握其性质。4 了解直线上开集、闭集、完备集构了解直线上开集、闭集、完备集构造。造。5 了解康托集结构、特征。了解康托集结构、特征。基本要求基本要求第39页例例1第40页第41页例例2第42页第43页 主要内容主要内容 外测度及其性质。外测度及其性质。Lebesgue可测集及其性质。可测集及其性质。基本要求基本要求 了解测度意义。了解测度意义。了解外测度意义，了解外测度意义，掌握掌握其相关性质。其相关性质。了解可测集定义，了解可测集定义，掌握掌握可测集性质可测集性质。了解并掌握不可测集存在性这一结论。了解并掌握不可测集存在性这一结论。第三章测第三章测 度度 论论第44页例例1 1例例2 2第45页第46页例例3第47页第48页例例4 4第49页第50页例例5 5第51页第52页例例6 6第53页第54页例例7 7第55页第56页例例8 8第57页第四章第四章 可可 测测 函函 数数 主要内容主要内容可测函数及其性质。可测函数及其性质。叶果洛夫定理。叶果洛夫定理。可测函数结构。可测函数结构。依测度收敛。依测度收敛。第58页 基本要求基本要求 1 1 掌握掌握可测函数定义及等价定义。可测函数定义及等价定义。2 2 掌握掌握可测函数相关性质。可测函数相关性质。3 3 了解简单函数定义，了解简单函数定义，掌握掌握可测函数可测函数与简单函数关系。与简单函数关系。4 4 掌握掌握可测函数列收敛点集和发散点可测函数列收敛点集和发散点集表示集表示方法。方法。5 5 掌握掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。叶果洛夫定理，鲁津定理。6 6 了解依测度收敛意义，了解依测度收敛意义，掌握掌握依测度收依测度收敛与敛与 a ae e 收敛联络与区分。收敛联络与区分。第59页第60页例例1 1第61页第62页例例2 2第63页第64页例例3 3第65页第66页第五章第五章积积 分分 论论 主要内容主要内容 黎曼积分简单回顾。黎曼积分简单回顾。勒贝格积分建立和性质。勒贝格积分建立和性质。积分极限定理。积分极限定理。有界变差函数。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。不定积分与绝对连续函数。第67页 基本要求基本要求 1 1 了解黎曼可积充要条件是被积函数几乎处处了解黎曼可积充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证实）。连续（不要求掌握证实）。2 2 了解勒贝格积分定义及其建立过程。了解勒贝格积分定义及其建立过程。3 3 了解了解R R 积分与积分与 L L 积分关系。积分关系。4 4 了解了解 L L 积分性质，尤其是掌握积分性质，尤其是掌握L L 积分绝对积分绝对可积性和绝对连续性。可积性和绝对连续性。5 5 掌握掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分可数可加性定理，法都引理。分定理、积分可数可加性定理，法都引理。6 6 了解有界变差函数及全变差定义，掌握其性了解有界变差函数及全变差定义，掌握其性质。质。7 7 了解有界变差函数导数性质。了解有界变差函数导数性质。8 8 了解不定积分与绝对连续函数意义。了解不定积分与绝对连续函数意义。第68页例例 1、设设 ()=有理数有理数，是是无理数无理数，是是10102xxxxxf问问()10，在在xf上上 是是 否否 黎曼黎曼可可 积积？是是 否否 勒贝格可勒贝格可积积？若可积，则计算其？若可积，则计算其积积 分值。分值。第69页答：答：()10，在在xf上不黎曼可积，上不黎曼可积，因为因为)(xf不连续点集为不连续点集为)1,0(，不是零测集。但，不是零测集。但上有界可测。从而勒贝格上有界可测。从而勒贝格可积。可积。()10，在在xf第70页记记1E为为 1,0有理数，有理数，2E为为 1,0无理数，则无理数，则()210.1021,021221=+=+=+=dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxfEEEEE 第71页例例 2 2 计算：计算：xdxexnnxxn51022cos1lim-+第72页解解L,2,1,1,0,cos1)(522=+=-nxxexnnxxfxn则则1|)(|xfn且对任何且对任何 1,0 x都都有有0)(lim=xfnn。显然显然()xfn可测，可测，由由Lebesgue控制收敛定理，控制收敛定理，第73页