平面点集与多元函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数推广,它保留着一元函数许多性质,同时又因自变量增多而产生了许多新性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数能够方便地推广到普通多元函数中去.返回返回返回返回一、平面点集 二、R2 上完备性定理 三、二元函数 第1页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、平 面 点 集 平面点集一些基本概念平面点集一些基本概念 因为二元函数定因为二元函数定坐标平面上满足某种条件坐标平面上满足某种条件 P 点集合点集合,称为平称为平对对 与平面上全部点之间建立起了一一对应与平面上全部点之间建立起了一一对应.在平面上确立了直角坐标系之后在平面上确立了直角坐标系之后,全部有序实数全部有序实数 义域是坐标平面上点集义域是坐标平面上点集,所以在讨论二元函数所以在讨论二元函数之前，有必要先了解平面点集一些基本概念之前，有必要先了解平面点集一些基本概念.面点集面点集,记作记作第2页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页比如：比如：(2)(3)第3页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 16 1 (a)圆圆 C (b)矩形矩形 S 图图 16 2 (a)圆邻域圆邻域 (b)方邻域方邻域 第4页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为点因为点 A 任意圆邻域能够包含在点任意圆邻域能够包含在点 A 某一某一方邻域之内方邻域之内(反之亦然反之亦然),所以通惯用所以通惯用“点点 A 邻邻用记号用记号 或或 来表示来表示.点点 A 空心邻域空心邻域是指是指:或或并用并用记记号号 来表示来表示.域域”或或“点点 A 邻域邻域”泛指这两种形状邻域泛指这两种形状邻域,并并第5页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意注意:不要把上面空心方不要把上面空心方邻邻域域错错写成写成:(请请指指出出 点和点集之间关系点和点集之间关系以下三种关系之一以下三种关系之一:任意一点任意一点 与任意一个点集与任意一个点集 之间必有之间必有 是是 E 内点内点;由由 E 全体内点所全体内点所组组成集合称成集合称为为(i)内点内点若若则称点则称点 A E 内部内部,记作记作 int E.错在何处错在何处?)第6页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii)外点外点若若 则则称称 点点 A 是是 E 外点；由外点；由 E 全体外点所组成集合全体外点所组成集合(iii)界点界点 若若 恒有恒有 (其中其中 ),则称点则称点 A 是是 E 界点界点;由由 E 全体界点所组成集合称为全体界点所组成集合称为 E 边界边界;记作记作注注 E 内点必定属于内点必定属于 E;E 外点必定不属于外点必定不属于 E;E 界点可能属于界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.并请注意并请注意:称为称为 E 外部外部.第7页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只有当只有当时时,E 外部与外部与 才是两才是两个相同个相同集合集合.图图 16 3例例1 设平面点集（见图设平面点集（见图 16 3）于于D;满足满足 一切点也一切点也是是 D 内点内点;满足满足 一切点是一切点是 D 界点界点,它们都属它们都属满足满足 一切点都一切点都是是 D 界点界点,但它们都不属于但它们都不属于 D.第8页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页点点 A 与点集与点集 E 上述关系是按上述关系是按“内内-外外”来区分来区分.另外，还可按另外，还可按疏疏-密密”来区分，即在点来区分，即在点 A 近旁近旁是否密集着是否密集着 E 中无穷多个点而组成另一类关系中无穷多个点而组成另一类关系:(i)聚点聚点 若在点若在点 A 任何空心任何空心邻邻域域内都内都 含有含有 E 中点，则称点中点，则称点 A 是点集是点集 E 聚点聚点注注1 聚点本身可能属于聚点本身可能属于E，也可能不属于，也可能不属于E.注注2 聚点上述定义等同于聚点上述定义等同于:“在点在点 A 任何邻域任何邻域 内都含有内都含有 E 中无穷多个点中无穷多个点”.注注3 E 全体聚点所组成集合称为全体聚点所组成集合称为 E 导集导集,记记 第9页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作作 又称又称 为为 E 闭包闭包,记作记作 比如比如,对于例对于例1 中点集中点集 D,它导集与闭包同为它导集与闭包同为其中其中满满足足 那些聚点不属于那些聚点不属于D,而其余而其余 全部聚点都属于全部聚点都属于 D.(ii)孤立点孤立点 若若点点,但不是但不是 E 聚点（即聚点（即 有有某某 0,使得使得 则则称点称点 A 是是 E 孤立点孤立点.注注 孤立点必为界点孤立点必为界点;内点和不是孤立点界点必内点和不是孤立点界点必 第10页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为聚点为聚点;既非聚点既非聚点,又非孤立点又非孤立点,则必为外点则必为外点.例例2 设设点集点集 显显然然,E 中全部点中全部点(p,q)全为全为 E 孤立点孤立点;并有并有 一些主要平面点集一些主要平面点集 依据点集所属点所含有特殊性质依据点集所属点所含有特殊性质,可来定义一可来定义一 些主要点集些主要点集.开集开集 若若 E 所属每一点都是所属每一点都是 E 内点内点(即即E=int E),则称则称 E 为开集为开集.第11页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页E 为闭集为闭集.比如前面列举点集中比如前面列举点集中,(2)式所表示式所表示 C 是开集是开集;(3)式所表示式所表示 S 是闭集是闭集;(4)式所表示式所表示 D 既非开集既非开集,又又 非闭集非闭集;而而(1)式所表示式所表示 R2 既是开集又是闭集既是开集又是闭集.在在 平面点集中平面点集中,只有只有 R2 与与 是既开又闭是既开又闭.开域开域若非空开集若非空开集 E 含有连通性含有连通性,即即 E 中任意两中任意两 点之间都可用一条完全含于点之间都可用一条完全含于 E 有限折线相连接有限折线相连接,闭闭集集若若 E 全部聚点都属于全部聚点都属于 E 则则称称 E 为闭为闭集集.若若 E 没有聚点没有聚点这时也称这时也称 第12页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页则称则称 E 为开域为开域.简单地说简单地说,开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集.闭域闭域 开域连同其边界所成集合称为闭域开域连同其边界所成集合称为闭域.区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所开域、闭域、开域连同其一部分界点所成集合成集合,统称为区域统称为区域.不难证实不难证实:闭域必为闭集闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域.在前述诸例中在前述诸例中,(2)式式 C 是开域是开域,(3)式式 S 是闭是闭 域域,(1)式式 R2 既是开域又是闭域既是开域又是闭域,(4)式式 D 是区是区 域域(但既不是开域又不是闭域但既不是开域又不是闭域).又如又如 第13页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它是它是 I、III 两象限之并集两象限之并集.即使它是开集即使它是开集,但因但因不含有连通性不含有连通性,所以它既不是开域所以它既不是开域,也不是区域也不是区域.有界点集有界点集对于平面点集对于平面点集 E,若若使得使得 其中其中 O 是坐标原点是坐标原点(也能够是其它固定点也能够是其它固定点),则称则称 E 为有界点集为有界点集.不然就为无界点集不然就为无界点集(请详细写出定义请详细写出定义).前面前面(2),(3),(4)都是有界集都是有界集,(1)与与(5)是无是无界集界集.E 为有界点集另一等价说法是为有界点集另一等价说法是:存在矩形区域存在矩形区域 第14页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页另外，点集有界性还能够用点集直径来反应另外，点集有界性还能够用点集直径来反应,所谓点集所谓点集 E 直径直径,就是就是 其中其中(P1,P2)是是 P1(x1,y1)与与 P2(x2,y2)之间距之间距 离离,即即 于是于是,当且仅当当且仅当 d(E)为有限值时为有限值时,E为有界点集为有界点集.依据距离定义依据距离定义,不难证实以下三角形不等式不难证实以下三角形不等式:第15页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、R2上完备性定理 平面点列收敛性定义及柯西准则平面点列收敛性定义及柯西准则 反应实数反应实数 系完备性几个等价定理系完备性几个等价定理,组成了一元函数极限理组成了一元函数极限理 论基础论基础.现在把这些定理推广到现在把这些定理推广到 R2,它们一样是它们一样是 二元函数极限理论基础二元函数极限理论基础.第16页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定定义义1 设设 为为一列点一列点,为为一固定点一固定点.则称点列则称点列 Pn 收敛于点收敛于点 P0,记作记作 一样地有一样地有 第17页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为点列极限这两种等价形式都是数列极限因为点列极限这两种等价形式都是数列极限,因因 此马上得到下述关于平面点列收敛原理此马上得到下述关于平面点列收敛原理.定理定理16.1(柯西准柯西准则则)收收敛敛充要条件是充要条件是:证证（必要性）（必要性）第18页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应用三角形不等式应用三角形不等式,立刻得到立刻得到(充分性充分性)当当(6)式成立时式成立时,同时有同时有 这说明这说明 xn 和和 yn 都满足关于数列柯西准则都满足关于数列柯西准则,所以它所以它们们都收都收敛敛.由点列收敛概念由点列收敛概念,推知推知Pn收敛于点收敛于点 P0(x0,y0).第19页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(这是一个主要命题这是一个主要命题,证实留作习题证实留作习题.)第20页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定定义义2 设设平面点集平面点集 ,若按照某对应法则若按照某对应法则 f,D 中每一点中每一点 P(x,y)都有惟一确定实数都有惟一确定实数 z 与之与之 对应对应,则称则称 f 为定义在为定义在 D 上二元函数上二元函数(或称或称 f 为为 D 到到 R 一个映射一个映射),记作记作 也记作也记作 或点函数形式或点函数形式 第21页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与一元函数相类似与一元函数相类似,称称 D 为为 f 定义域定义域;而称而称 为为 f 在点在点 P 函数值函数值;全体函数值集合为全体函数值集合为 f 值值域域,记记作作 .通常把通常把 P 坐标坐标 x 与与 y 称称为为 f 自变量自变量,而把而把 z 称为因变量称为因变量.当把当把 和它所和它所对应对应 一起一起组组成成 三维数组三维数组(x,y,z)时时,三维点集三维点集 便是二元函数便是二元函数 f 图象图象.通常该图象是一空间曲通常该图象是一空间曲 第22页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页面面,f 定义域定义域 D 是该曲面在是该曲面在 xOy 平面上投影平面上投影.例例7 函数函数图象是图象是 R3 中一个平面中一个平面,其定义域是其定义域是 R2,值域是值域是 R.例例8 定义域是定义域是 xOy 平面上平面上 单单位位圆圆域域 ,值域为区间值域为区间 0,1,它图象是以原点为中心单位球面上半部分它图象是以原点为中心单位球面上半部分 (图图16 9).例例9 是定义在是定义在 R2 上函数上函数,它图象是过它图象是过 原点双曲抛物面原点双曲抛物面(图图 16 10).第23页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图16 9 图图16 10 图图16 11 第24页