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第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词
(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断

p
q
p∧q
p∨q
¬p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称命题和特称命题
(1)全称量词和存在量词

量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
(2)全称命题和特称命题

　　名称
形式　　

全称命题
特称命题
结构
对M中任意一个x，

有p(x)成立
存在M中的一个x0，

使p(x0)成立

简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，¬p(x0)
∀x∈M，¬p(x)

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　　)
(2)命题p和¬p不可能都是真命题．(　　)
(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)
(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)
(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√
命题“∃x0∈R，x－x0－1>0”的否定是(　　)
A．∀x∈R，x2－x－1≤0
B．∀x∈R，x2－x－1>0
C．∃x0∈R，x－x0－1≤0
D．∃x0∈R，x－x0－1≥0
解析：选A.依题意得，命题“∃x0∈R，x－x0－1>0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.
已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0，给出下列结论：
② 命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(¬q)”是假命题；
③ 命题“(¬p)∨q”是真命题；
④ 命题¬p)∨(¬q)”是假命题．
其中正确的是(　　)
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
解析：选A.因为>1，所以命题p是假命题．又因为x2＋x＋1＝＋≥>0，所以命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A.
(教材习题改编)命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为________________________________________________________________________．
答案：“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”
若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：因为0≤x≤，所以0≤tan x≤1，
又因为∀x∈，tan x≤m，故m≥1，
即m的最小值为1.
答案：1

　　　　　　全称命题、特称命题(高频考点)
全称命题与特称命题是高考的常考内容，多和其他数学知识相结合命题，常以选择题、填空题的形式出现．高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：
(1)全称命题、特称命题的否定；
(2)判断全称命题、特称命题的真假性．
[典例引领]
角度一　全称命题、特称命题的否定
已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则¬p是(　　)
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
【解析】　根据“全称命题q：∀x∈M，q(x)的否定是¬q：∃x0∈M，¬q(x0)”可知“¬p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
【答案】　C
角度二　判断全称命题、特称命题的真假性
(2018·长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)＝x，则(　　)
A．∃x0∈R，f(x0)<0
B．∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
【解析】　幂函数f(x)＝x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立，选B.
【答案】　B

(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
(2)全、特称命题的真假判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．　
(2018·河南商丘模拟)已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　)
A．p是假命题，¬p：∀x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，¬p：∃x∈，f(x)≥0
C．p是真命题，¬p：∀x∈，f(x)≥0
D．p是真命题，¬p：∃x∈，f(x)≥0
解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0，故选C.

　　　　　　含有逻辑联结词的命题的真假判断
[典例引领]
(1)(2017·高考山东卷)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a＞b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q　 B．p∧¬q
C．¬p∧q D．¬p∧¬q
(2)已知命题p：对于任意的非零向量a，b都有a·b≤|a|·|b|；命题q：对于任意的非零实数x，都有x＋≥2.则下列命题：①p∧q，②p∨q，③p∧(¬q)，④(¬p)∨q，⑤(¬p)∧(¬q)，⑥(¬p)∨(¬q)中正确的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】　(1)当x＞0时，x＋1＞1，因此ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，因此q为假命题．易知B为真命题．
(2)对于任意的非零向量a，b，都有a·b≤|a·b|＝|a|·|b||cos|≤|a|·|b|，即命题p为真命题，故¬p为假命题；当x<0时，x＋≤－2，即命题q为假命题，故¬q为真命题．从而p∨q、p∧(¬q)、(¬p)∨(¬q)为真命题，故选B.
【答案】　(1)B　(2)B

“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断命题p，q的真假；
(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“ ¬p”形式命题的真假．　
[通关练习]
1．(2018·贵州省适应性考试)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝x是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∨(¬q) B．p∧q
C．(¬p)∨q D．(¬p)∧(¬q)
解析：选A.命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此¬p为假命题；命题q：y＝x在定义域上是增函数，故命题q是假命题，¬q是真命题．因此选项A是真命题，选项B是假命题，选项C是假命题，选项D是假命题，故选A.
2．(2018·南昌市第一次模拟测试)已知命题p：函数f(x)＝|cos x|的最小正周期为2π；命题q：函数y＝x3＋sin x的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是(　　)
A．p∧q B．p∨q
C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)
解析：选B.因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．

　　　　　　由命题的真假确定参数的取值范围
[典例引领]
(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(－∞，] D．(－∞，－]
(2)(分类讨论思想)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
【解析】　(1)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，
g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥，故选A.
(2)当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立”⇔a＝0或
所以0≤a<4.
当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p，q一真一假．
所以若p真q假，则0≤a<4，且a>，
所以题的真假求参数的方法
(1)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．如本例(1)及互动探究．
(2)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围，在求解过程中要注意分类讨论思想的应用，如本例(2)中，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．　
[通关练习]
1．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，4] B．[0，4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析：选D.因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：∃x0∈R，ax＋ax0＋1<0，则a<0或解得a<0或a>4.
2．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．[1，4]
C．[e，4] D．(－∞，－1)
解析：选C.由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.综上可知e≤a≤4.

含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真．
(5)¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．
全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
易错防范
(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
(3)复合命题的否定
①“¬p”的否定是“p”；②“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”；③“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设两个命题p：对所有整数x，x2－1＝0，q：对所有整数x，5x－1是整数．则(　　)
A．p是真命题，q是真命题
B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p是假命题，q是假命题
解析：选C.因为当x＝0时，x2－1＝－1≠0，所以p是假命题；因为q是真命题，所以选C.
2．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　)
A．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题¬q：∃x∈R，x2≤0为假命题
D．命题¬q：∃x∈R，x2≤0为真命题
解析：选D.全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题，故选D.
3．(2018·湖北武汉调研)命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是(　　)
A．∃x∈M，f(－x)＝－f(x)
B．∀x∈M，f(－x)≠－f(x)
C．∀x∈M，f(－x)＝－f(x)
D．∃x∈M，f(－x)≠－f(x)
解析：选D.命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是∃x∈M，f(－x)≠－f(x)，故选D.
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
解析：选B.A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
5．(2018·南昌模拟)已知命题p：“∀x∈R，x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x＋1<0”；命题q：函数y＝x－3是幂函数．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q　 B．p∨q
C．¬q D．p∧(¬q)
解析：选B.易知命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∨q是真命题．
6．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(綈q)表示(　　)
A．甲、乙两人的数学成绩都低于100分
B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分
C．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分
D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分
解析：选D.由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此¬q：乙的数学成绩不低于100分．所以p∨(¬q)：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分，故选D.
7．已知命题p：函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上是增函数，命题q：loga2＋log2a≥2(a>0且a≠1)，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(¬p)∧q D．p∨(¬q)
解析：选D.当02＋log2a＝－2<2，因此q假，¬q真．从而命题p∨(¬q)为真命题．
8．若命题“∃x∈R，使得sin xcos x>m”是真命题，则m的值可以是(　　)
A．－ B．1
C. D.
解析：选A.因为sin xcos x＝sin 2x∈，所以m<.故选A.
9．已知命题p：∀x∈R，2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(¬p)∧q为真命题，则x的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选D.因为¬p：∃x∈R，2x≥3x，要使(¬p)∧q为真，所以¬p与q同时为真．由2x≥3x得≥1，所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2，又x≤0，所以x＝－2.
10．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则00恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.
11．(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝，则f(f(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
解析：选B.因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，所以命题p为假命题；当m＝时，因为f(－1)＝3－1＝，
所以f(f(－1))＝f＝－＝0，
所以命题q为真命题，
逐项检验可知，只有(¬p)∧q为真命题，故选B.
12．(2018·郑州市第二次质量预测卷)下列命题是真命题的是(　　)
A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
B．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β
C．向量a＝(2，1)，b＝(－1，0)则a在b的方向上的投影为2
D．“|x≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要条件
解析：选B.选项A，当φ＝时，f(x)＝cos 2x，其为偶函数，故A为假命题；选项B，令α＝，β＝－，则cos(α＋β)＝cos(－)＝，cos α＋cos β＝＋0＝，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B为真命题；选项C，设a与b的夹角为θ，则a在b的方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；选项D，|x|≤1，－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D为假命题．
13．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为____________________．
解析：因为p是¬p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
14．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“¬q”同时为假命题，则x＝________．
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“¬q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3x2＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝22－4m<0，即m>1，故a＝1.
答案：1
16．已知下列命题．
①∃x0∈，sin x0＋cos x0≥；
②∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1；
③∀x∈R，2x＋>2；
④∃x∈，tan x>sin x.
其中真命题为________．(填所有真命题的序号)
解析：对于①，当x＝时，sin x＋cos x＝，
所以此命题为真命题；
对于②，当x∈(3，＋∞)时，
x2－2x－1＝(x－1)2－2>0，
所以此命题为真命题；
因为2x>0，所以＋2x≥2＝2，
当且仅当＝2x即x＝0时等号成立．
所以此命题为假命题；

对于④，当x∈时，tan x<00的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　)
A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∧q
解析：选D.命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得00解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题．故(¬p)∧q是真命题．故选D.
2．(2018·湖北黄冈模拟)下列四个命题：
①若x>0，则x>sin x恒成立；
②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；
③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y＝x－sin x在R上递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；
对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；
对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④错误．
综上，正确命题的个数为3，故选C.
3．已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0；命题q：∀x∈R，－x2＋x－1<0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(¬q)是假命题；
③命题“(¬p)∨q”是真命题；
④命题“p∨(¬q)”是假命题．
其中所有正确结论的序号为________．
解析：对于命题p，取x＝10，则有10－2>lg 10成立，故命题p为真命题；对于命题q，方程－x2＋x－1＝0，即x2－x＋1＝0，Δ＝1－4×1<0，故方程无解，所以命题q为真命题．综上“p∧q”是真命题，“p∧(¬q)”是假命题，“(¬p)∨q”是真命题，“p∨(¬q)”是真命题，即正确的结论为①②③.
答案：①②③
4．下列说法：
①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．
其中正确说法的序号为________．(把你认为正确说法的序号都填上)
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：①③
5．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，则≥2，所以0p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2－a＋m>0，若r是綈t的必要不充分条件，求正数m的值．
解：(1)若p为真，则3a≤9，得a≤2.
若q为真，则函数f(x)无极值点，所以f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0恒成立，
得Δ＝9(3－a)2－4×9≤0，解得1≤a≤5.
因为“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
所以p与q只有一个命题是真命题．
若p为真命题，q为假命题，则⇒a<1；
若q为真命题，p为假命题，则⇒20，
所以(a－m)>0，所以am＋，
即t：am＋，从而綈t：m≤a≤m＋，
因为r是¬t的必要不充分条件，所以¬t⇒r，r⇒/¬t，
所以(两个不等式不能同时取等号)，
解得1≤m≤，又因为m∈N*，所以m＝1.