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第二章 角平分线四大模型
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作
PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA。
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例
（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是 ；
（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP平分∠BAC。
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1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点
P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON
上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
模型分析
利用角平分线
3、图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例
（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；
（2）如图②所示， AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较
PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。
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1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC的长。
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2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。
求证：BC=AB+CD。
3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
模型分析
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三
5、角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
1.如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，
CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。
2．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。
求证：∠2=∠1+∠C。
3．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E。
求证：BE=（AC-AB）。
4.（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、
AE⊥CE，
6、垂足分别为D、E，连接DE。
求证：(1)AB+AC+BC=MN
（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？ 成立请说明理由，若不成立，那MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。
（3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。
模型4 角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点
P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
模型分析
7、 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例
解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF
8、与BE、CF有什么数量关系？
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1． 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB 的平分线交
于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC
于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为 。
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，
且DE=CD。求证：EF=AC。
3． 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：AD=AB-BC。
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