微积分05导数应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

高等数学高等数学微积分微积分西南财经大学经济数学系西南财经大学经济数学系孙疆明孙疆明市市精精光光第1页第十讲第十讲 微分中值定理微分中值定理一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理二、罗尔二、罗尔(Rolle)定理定理三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理第2页一、费尔马一、费尔马(Fermat)定理定理（一）极值定义：（一）极值定义：第3页极值研究是微积分产生主要动力之一极值研究是微积分产生主要动力之一第4页（二）费尔马定理（二）费尔马定理 (极值必要条件极值必要条件)第5页第6页证证第7页第8页微分中值定理引入微分中值定理引入(第9页第10页第11页第12页二、罗尔二、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理第13页三、拉格朗日三、拉格朗日(Lagrange)定理定理第14页四、柯西四、柯西(Cauchy)定理定理第15页怎样证实罗尔定理怎样证实罗尔定理？先利用形象思维先利用形象思维去找出一个去找出一个C点来！点来！想到利用闭区间上连续函数想到利用闭区间上连续函数最大最小值定理！最大最小值定理！第16页罗尔定理证实：罗尔定理证实：第17页第18页怎样证实拉格朗日定理怎样证实拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加条件拉格朗日定理若添加条件:则收缩为罗尔定理；则收缩为罗尔定理；罗尔定理若放弃条件罗尔定理若放弃条件:则推广为拉格朗日定理。则推广为拉格朗日定理。知识扩张所遵照规律之一就是将欲探知识扩张所遵照规律之一就是将欲探索索新问题新问题转化为已掌握转化为已掌握老问题老问题。即。即 寻求未知事物通向已知领域寻求未知事物通向已知领域“桥桥”！所以想到利用罗尔定理！所以想到利用罗尔定理！第19页满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件桥桥第20页拉格朗日定理证实：拉格朗日定理证实：结构辅助函数结构辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式第21页拉格朗日公式各种形式拉格朗日公式各种形式第22页第23页推论推论1：证证第24页推论推论2：推论推论3：推论推论4：第25页柯西中值定理证实：柯西中值定理证实：结构辅助函数结构辅助函数第26页费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理第27页零点问题零点问题以下证实恰好以下证实恰好有三个根有三个根该方程实根个数该方程实根个数就是两条曲线就是两条曲线第28页首先证实最少有三个根首先证实最少有三个根计算表明计算表明依据介值定理依据介值定理所以方程最少有三个根所以方程最少有三个根然后证实方程最多有三个根然后证实方程最多有三个根用反证法用反证法 第29页依据洛尔定理依据洛尔定理矛盾！矛盾！总而言之，方程恰好有三个实根总而言之，方程恰好有三个实根第30页直观观察能直观观察能够启发思绪够启发思绪在第一个情形在第一个情形,都不是最小值都不是最小值所以最小值一定在区间内部到达所以最小值一定在区间内部到达第31页证证第32页第33页证实思绪直观分析证实思绪直观分析例例第34页证证依据连续函数最依据连续函数最大最小值定理大最小值定理第35页证证第36页第37页证证第38页第39页证证第40页第41页第42页证证第43页第44页证证第45页第46页第47页证证第48页第49页第50页第51页第52页第53页第54页第55页第56页第57页第58页第59页第60页第61页第62页极值与凸性极值与凸性函数极值函数极值函数凸性函数凸性渐近线渐近线函数作图函数作图最值最值曲率曲率第63页一、极值与最值一、极值与最值第64页极值第一充分条件极值第一充分条件(导数形式导数形式)定理定理1：第65页（二）极值第二充分条件（二）极值第二充分条件定理定理2：证证 (1)第66页第67页第68页（二）函数最大、最小值（二）函数最大、最小值第69页第70页(B)(B)最大、最小值应用问题最大、最小值应用问题第71页解解第72页 一个可口可乐饮料罐详细测量一一个可口可乐饮料罐详细测量一下下:它顶盖直径和从顶盖到底它顶盖直径和从顶盖到底部高部高(约为约为6厘米和厘米和12厘米厘米),胖部胖部分直径约为分直径约为6.6厘米厘米,胖部分高约胖部分高约为为10.2厘米厘米.怎样测量比较简捷怎样测量比较简捷？(用一条窄薄纸条用一条窄薄纸条,绕饮料罐相绕饮料罐相关部分一圈测得周长关部分一圈测得周长,再换算得再换算得半径和直径半径和直径).可口可乐饮料罐上可口可乐饮料罐上标明净含量为标明净含量为 355 毫升毫升(即即355 立方厘米立方厘米)。饮料罐中数学饮料罐中数学第73页唯一驻点唯一驻点第74页第75页第76页第77页第78页第79页返回第80页返回第81页返回第82页返回第83页返回第84页第85页第86页第87页 解解 第88页第89页 解解 第90页第91页第92页第93页二、函数凸性二、函数凸性第94页第95页（一）（一）凸性定义：凸性定义：第96页（二）（二）凸性判定凸性判定定理定理1：(用一阶导数判定函数凸性用一阶导数判定函数凸性)证证 必要性必要性第97页返回第98页第99页返回定理定理2：(用二阶导数判定函数凸性用二阶导数判定函数凸性)定理定理3：(用切线位置判定函数凸性用切线位置判定函数凸性)切线位于切线位于曲线下方曲线下方第100页（三）（三）拐点拐点定理：定理：（拐点必要条件）（拐点必要条件）第101页x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)-0+0-y拐点拐点第102页三、曲线渐近线三、曲线渐近线第103页 曲线渐近线求法曲线渐近线求法第104页第105页定理：定理：第106页 证证 必要性必要性第107页第108页 证证 充分性充分性 假设以下两个条件同时成立假设以下两个条件同时成立第109页四、函数作图四、函数作图第110页解解第111页拐点拐点拐点拐点极大极大第112页第113页x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+无无-0+y”-定定+y义义极小极小值值 e第114页第115页第116页第117页第118页第119页第120页第121页第122页第123页第124页第125页返回第126页x(-,-1)-1(-1,0)(0,1)1(-,-1)y+0-0+y极大极小返回第127页x(-,0)(0,1)1(1,+)y+-0+y极小返回第128页返回第129页解解返回第130页返回第131页解解返回第132页返回第133页返回第134页返回第135页返回第136页返回第137页返回第138页