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电网络分析与综合 第四章与第五章第四章与第五章一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程 【4-4】、【4-5】二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程 【4-6】、【4-7】三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程 【4-8】、【4-9】第四章 网络分析的状态变量法一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程步骤：一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程步骤：1.选取规范树 包含网络中的全部电压源、尽可能多的电容、尽可能少的电感和必要的电阻，但不包含任何电流源；2.选取状态变量；3.根据选的规范树写出基本割集矩阵；4.由基本割集矩阵写出基本子阵的各分块阵；5.写出网络元件的参数矩阵；6.计算各系数矩阵；7.消去中间的非状态变量，写出状态方程的矩阵形式。4-4 4-4 系统公式法建立如图所示网络的状态方程系统公式法建立如图所示网络的状态方程解：解：先确定系统网络的阶数 1）由图可知网络有5个储能元件()2）确定独立纯电容回路数 3）确定独立纯电感割集数 故系统网络的阶数为（储能元件个数-独立纯电容回路数-独立纯电感割集数），即5-0-1=4阶。2 2）确定独立纯电容回路数（见）确定独立纯电容回路数（见P P147）将电阻、电感、电流源断开后得到的一个仅由电容和电压源构成的子网络，非常态网络中的独立纯电容回路数等于该子网络的独立回路数，即该子网络的基本回路数（连支数）。如图，没有基本回路，故原系统网络的独立纯电容回路数为0。3 3）确定独立纯电感割集数（）确定独立纯电感割集数（P P147）将电阻、电容、电压源短路，从而得到一个仅由电感元件与电流源构成的子网络，非常态网络中独立纯电感割集数等于该子网络的独立割集数，即该子网络的基本割集数（树支数）。如图可知，树支数为1，故原网络的独立纯电感割集数为1。第一步：作网络的线形图，选取一个规范数，如图所示，再对第一步：作网络的线形图，选取一个规范数，如图所示，再对规范树按先树支后连支的顺序对各支路编号。规范树按先树支后连支的顺序对各支路编号。对于树支再按电压源、电容、电导和倒电感的顺序编号；对于树支再按电压源、电容、电导和倒电感的顺序编号；对于连支再按倒电容、电阻、电感和电流源的顺序编号。对于连支再按倒电容、电阻、电感和电流源的顺序编号。第二步：选取状态变量第二步：选取状态变量 以规范树中的树支电容电压以规范树中的树支电容电压 和连支电感电流和连支电感电流 作作为网络的状态变量。为网络的状态变量。第三步：写出基本割集矩阵：第三步：写出基本割集矩阵：由由P153P153式式4-4-34-4-3第五步：根据第五步：根据P154列写并计算出网络的元件参数矩阵为：列写并计算出网络的元件参数矩阵为：第四步：可得基本子阵第四步：可得基本子阵 的各分块阵为：的各分块阵为：第六步：根据第六步：根据P156P156计算各系数矩阵的分块阵：计算各系数矩阵的分块阵：第七步：由第七步：由P157P157式式4-4-404-4-40可写出：可写出：化简后得该系统网络的状态方程为：化简后得该系统网络的状态方程为：4-5 4-5 系统公式法建立如图所示网络的状态方程系统公式法建立如图所示网络的状态方程解：该网络中有七个储能元件、一个纯电容回路、两个纯电感解：该网络中有七个储能元件、一个纯电容回路、两个纯电感割集，故网络的复杂性阶数为割集，故网络的复杂性阶数为7-7-（1+21+2）=4=4。作网络的线形图，选一规范数，支路作网络的线形图，选一规范数，支路1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6为树支，为树支，如图中实线所示。状态变量为树支电容电压如图中实线所示。状态变量为树支电容电压Uc2Uc2、Uc3Uc3和连支电和连支电感电流感电流iL8iL8、iL9iL9。基本割集矩阵基本割集矩阵 ：由此可得基本子阵由此可得基本子阵Q QL L 的各分块阵为：的各分块阵为：网络的元件参数矩阵为：网络的元件参数矩阵为：计算各系数矩阵的分块阵：计算各系数矩阵的分块阵：由式（由式（4-4-404-4-40）可写出：）可写出：由于网络是时不变的，且：由于网络是时不变的，且：可得状态方程为：可得状态方程为：一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程 【4-4】、【4-5】二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程 【4-6】、【4-7】三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程 【4-8】、【4-9】第四章 网络分析的状态变量法二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程的步骤：二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程的步骤：1.选取规范树；2.选取状态变量；3.根据选的规范树写出基本割集矩阵；4.由基本割集矩阵写出基本子阵的各分块阵；5.写出网络元件的参数矩阵；6.计算各系数矩阵；7.消去中间的非状态变量，写出状态方程的矩阵形式。4-6 4-6 用系统公式法建立如图所示网络的状态方程用系统公式法建立如图所示网络的状态方程解：做出网络的线形图，选一规范树。为简化起见，假定支路解：做出网络的线形图，选一规范树。为简化起见，假定支路的编号数为元件的参数值，有助于列写割集矩阵。其中受控源的编号数为元件的参数值，有助于列写割集矩阵。其中受控源VCCSVCCS的两条支路的两条支路5 5，8 8均为连支，选取均为连支，选取12341234作为树支，如下图实作为树支，如下图实线所示：线所示：基本割集矩阵为：基本割集矩阵为：可得基本子阵可得基本子阵 的各分块阵为的各分块阵为:电阻支路的电压电流关系方程为电阻支路的电压电流关系方程为:由此可得到参数矩阵：由此可得到参数矩阵：各系数矩阵为：各系数矩阵为：将以上各式分别代入方程中可得：将以上各式分别代入方程中可得：整理可得：整理可得：化简可得：化简可得：网络中元件的参数矩阵：网络中元件的参数矩阵：则式：则式：中的参数矩阵为：中的参数矩阵为：将（将（9 9）（）（1010）带入（）带入（7 7）（）（8 8）整理化简可得：）整理化简可得：整理可得：整理可得：4-7 4-7 用系统公式法建立如图所示网络的状态方程用系统公式法建立如图所示网络的状态方程解：因为含有解：因为含有CCVS,CCVS,根据规范树的选取方法，选受控源的两条根据规范树的选取方法，选受控源的两条支路为树支。网络的树支为支路为树支。网络的树支为1,2,3,4,51,2,3,4,5。可写出基本割集矩阵为：可写出基本割集矩阵为：由基本割集矩阵得基本子阵的各分块阵：由基本割集矩阵得基本子阵的各分块阵：网络的元件参数矩阵为：网络的元件参数矩阵为：计算各系数矩阵的分块阵：计算各系数矩阵的分块阵：将算出的系数矩阵代入公式得：将算出的系数矩阵代入公式得：网络中受控源：网络中受控源：消去中间变量消去中间变量u u，整理得标准状态方程：，整理得标准状态方程：一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程一、用系统公式法对不含受控源网络建立状态方程 【4-4】、【4-5】二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程二、用系统公式法对含受控源网络建立状态方程 【4-6】、【4-7】三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程三、用多端口公式法对系统网络建立状态方程 【4-8】、【4-9】第四章 网络分析的状态变量法三、用多端口公式法对网络建立状态方程的步骤：三、用多端口公式法对网络建立状态方程的步骤：1.选规范树：包含网络中的全部电压源、尽可能多的电容、尽可能少的电感和必要的电阻，但不包含任何电流源；2.根据选的规范树写出基本割集矩阵；3.由基本割集矩阵写出基本子阵分块阵 和 ；4.写出网络元件的部分参数矩阵 ，；5.计算二次参数矩阵：6.用电压源替代树支电容和树支电感，用电流源替代连支电感和连支电容,简化原电路图；7.求8个混合参数 ；（1）在树支电容电压 单独作用下，其他独立电源置零（电压源、电流源短路）求 和 。（2）在连支电感电流 单独作用下，其他独立电源置零（电压源、电流源短路）求 和 。（3）在独立电压源 作用下，其他独立电源置零（电压源、电流源短路）求 和 。（4）在独立电流源 作用下，其他独立电源置零（电压源、电流源短路）求 和 。8.将上述所求系数矩阵带入（4-6-3）中，并写成矩阵形式；9.写出网络状态方程。4-8 4-8 用多端口公式列写如图所示网络的状态方程用多端口公式列写如图所示网络的状态方程解：网络的规范树如图，解：网络的规范树如图，选支路选支路 为树枝，为图中实线所为树枝，为图中实线所示。状态变量为树枝电容电压示。状态变量为树枝电容电压 和连支电感电流和连支电感电流 ：由此可得基本子阵由此可得基本子阵 的分块阵：的分块阵：可得二次参数矩阵为：可得二次参数矩阵为：用电压源代替树枝电容和树支电感，用电流源代替连枝电容和用电压源代替树枝电容和树支电感，用电流源代替连枝电容和连支电感。如下图所示：连支电感。如下图所示：（1 1）在树枝电容电压）在树枝电容电压 单独作用下求单独作用下求 和和 ,如下图所示：如下图所示：由公式由公式：(2)(2)在连支电感端口电流在连支电感端口电流 单独作用下求单独作用下求 和和 ，如下图所示：，如下图所示：由公式由公式：（3 3）在独立电压源）在独立电压源 单独作用下求单独作用下求 和和 ，如下图所示：，如下图所示：由公式由公式：(4)(4)在独立电流源在独立电流源 单独作用下求单独作用下求 和和 ，如下图所示：，如下图所示：由公式由公式：将以上系数代入公式（将以上系数代入公式（4-6-34-6-3）：）：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：网络的状态方程为：网络的状态方程为：4-94-9 用多端口公式列写下图所示网络的状态方程用多端口公式列写下图所示网络的状态方程解：网络的规范树如下，选支路解：网络的规范树如下，选支路b1,b2,b3,b4b1,b2,b3,b4为树支，如下图实为树支，如下图实线所示，状态变量为树支电容电压线所示，状态变量为树支电容电压 和连支电感电流和连支电感电流 。写出基本割集矩阵：写出基本割集矩阵：由此可得部分基本子阵分块：由此可得部分基本子阵分块：网络元件的参数矩阵为：网络元件的参数矩阵为：二次参数矩阵为：二次参数矩阵为：用电压源替代树支电容和树支电感，用电流源替代连支电感和连支用电压源替代树支电容和树支电感，用电流源替代连支电感和连支电容，如下图所示：电容，如下图所示：(1)(1)在树支电容电压在树支电容电压 单独作用下求单独作用下求 和和 ,如下图所示：如下图所示：(2)(2)在连支电感端口电流在连支电感端口电流 单独作用下求单独作用下求 和和 ,如下图所示如下图所示:(3)(3)在独立电压源在独立电压源 单独作用下求单独作用下求 和和 ,如下图所示如下图所示:(4)(4)在独立电流源在独立电流源 单独作用下求单独作用下求 和和 ,如下图所示：如下图所示：将以上系数代入公式，并写成矩阵形式：将以上系数代入公式，并写成矩阵形式：网络的状态方程为：网络的状态方程为：第五章 线性网络的信号流图分析法l信号流图l信号流图的变换规则lMason公式l线性网络的SFG分析信号流图 信号流图（SFG）是表示线性代数方程组变量关系的加权有向图，它由节点和联接在节点之间的有向支路构成。SFG用图的方法表示出线性代数方程组所包含的数学运算。描述了物理系统中各变量间的因果关系，直观地表现出系统中信号传输的情况，特别是对反馈过程给予了形象的表示。信号流图的变换规则同方向并联：同方向级联信号流图的变换规则节点消去：自环消去：倒向规则：=（1 1）从源节点出发的支路可以倒向；不是源节点出发的单支）从源节点出发的支路可以倒向；不是源节点出发的单支路不能倒向。路不能倒向。（2 2）将两节点之间的支路倒向后，支路的传输值为原支路传）将两节点之间的支路倒向后，支路的传输值为原支路传输值的倒数；输值的倒数；（3 3）将原来终结在被倒向支路末端节点的其他支路全部改为）将原来终结在被倒向支路末端节点的其他支路全部改为终结在倒向后支路末端节点上，其传输值为原支路传输值乘终结在倒向后支路末端节点上，其传输值为原支路传输值乘以倒向支路传输值的负倒数。以倒向支路传输值的负倒数。Mason公式Mason图增益公式（简称Mason公式）是求SFG图增益（传输值）的公式，它与用克莱姆法则求线性方程组解的方法相当。MasonMason公式：Mason公式其中：表示第k个一阶回路的传输值，求和 是对全部一阶回路进行的；表示第k组i阶回路的传输值，是对全部i阶回路进行的。在SFG中，定义n个互不接触回路的集合为n阶回路，它的传输值就是这n个互不接触回路传输值之积。一个一阶回路就是一个回路。为从源节点到汇节点的第m条前向路径的传输值；而 则是和第m条前向路径不接触的子图的图行列式，又称 为第m条前向路径的路径因子。求和是对从源节点到汇节点的所有前向路径进行的。线性网络的SFG分析无论列写什么方程组，要能正确分析线性网络，必须足：（1）方程组的方程数与变量数相同；（2）方程组中的方程是相互独立的。在常态网络中，将每一个独立源均作为一条支路，选择一树，树中包含网络中所有的电压源、但不含任何电流源，并按先树支后连支的顺序对支路编号。将它们按树支和连支分块为:式中下标t、l分别表示树支、连支，下标a表示全部。再将电压、电流向量的树支、连支分块分别按非源支路和独立源支路分块，即：式中下标V、I分别表示电压源、电流源。Ut、It代表树支中非源支路的电压向量、电流向量。根据KCL方程可得上式中Ql为基本割集矩阵中对应于连支的分块，将该式分块展开为：（5-4-35-4-3）同理，根据KVL方程可得式中Bt为基本回路矩阵的树支分块，展开式得:（5-4-65-4-6）写出非源支路的混合变量形式的支路电流电压关系，使方程右端向量中的元素为连支电压和树支电流，左端向量中的元素为连支电流和树支电压，即再将式（5-4-3）中的It和式（5-4-6）中的Ul代入式（5-4-7）中，即得关系:式（5-4-8）就是一组因果形式的混合变量方程。5-4 5-4 已知某二端口网络的传输参数矩阵已知某二端口网络的传输参数矩阵T T，用，用SFGSFG分析法求该网络的混合参数矩阵分析法求该网络的混合参数矩阵H H。解：写出用传输参数矩阵解：写出用传输参数矩阵T T表示的二端口网络方程：表示的二端口网络方程：和用混合参数矩阵和用混合参数矩阵H H表示的二端口网络方程：表示的二端口网络方程：（1 1）（2 2）式（式（1 1）、（）、（2 2）所对应的）所对应的SFGSFG分别如图所示：分别如图所示：（b b）（a a）比较图（比较图（a a）、（）、（b b），两图中由），两图中由 到到 的支路方向是相同的，的支路方向是相同的，而而 、两节点间支路方向是相反的。为了用传输参数表示混合两节点间支路方向是相反的。为了用传输参数表示混合参数，对（参数，对（a a）图进行转换，考虑到（）图进行转换，考虑到（a a）图中）图中 是源节点，可是源节点，可以实施倒向。倒向后的以实施倒向。倒向后的SFGSFG如图（如图（a a）所示。）所示。倒向后再对比（c c）（a a）（a a）比较（比较（a a）、（）、（c c）两图，节点）两图，节点 与与 之间缺少一条支路，而之间缺少一条支路，而节点节点 、之间的支路是不希望存在的。所以设置新节点之间的支路是不希望存在的。所以设置新节点 ,令令 =，再消去，再消去 ，得图（，得图（d d）通过化简得到（）通过化简得到（e e）所示的）所示的SFGSFG图。图。消去化简（e e）（d d）（a a）比较图（比较图（e e）与（）与（b b）可得：）可得：对比解得：解得：5-5 5-5 已知如图（已知如图（a a）所示）所示T T型网络的参数，型网络的参数，试用，试用SFGSFG分析法求出其等效分析法求出其等效型网络如图（型网络如图（b b）所示的参数所示的参数 、。(a)(b)解：列写（解：列写（a a）图）图Z Z参数和参数和(b)(b)图图T T参数方程的因果方程式：参数方程的因果方程式：（a a）图）图（b b）图）图根据线性方程组画出图（根据线性方程组画出图（a a）、（）、（b b）对应的）对应的SFGSFG图如图（图如图（c c）、）、（d d）所示：）所示：（c c）（d d）由由SFGSFG分析法知将分析法知将U2U2和和I1I1倒向，根据倒向原则得到下图：倒向，根据倒向原则得到下图：通过节点消去规则可消去通过节点消去规则可消去 到到 的支路并得到的支路并得到 到到 的支路如图的支路如图（e e）所示）所示,并与图（并与图（d d）比较：）比较：（e e）（d d）可得：可得：5-9 5-9 对如图所示网络选一适当树，写出其因果形式的混合变量方程，对如图所示网络选一适当树，写出其因果形式的混合变量方程，绘出相应绘出相应SFGSFG，求图中以电流，求图中以电流IxIx为输出的转移函数为输出的转移函数 。解：（解：（1 1）按每一个元件一条支路画出网络的图，选一树，如图）按每一个元件一条支路画出网络的图，选一树，如图所示；实线表示树支，虚线表示连支。所示；实线表示树支，虚线表示连支。（2 2）根据已知网络和选择的树，以连支电流）根据已知网络和选择的树，以连支电流I4I4、I5I5、I6I6和树支和树支电压电压U1U1、U2U2、U3U3作为网络变量，写出因果形式的方程：作为网络变量，写出因果形式的方程：连支电流：连支电流：树支电压：树支电压：（3 3）根据以上方程组画）根据以上方程组画SFGSFG，为计算方便，从，为计算方便，从UiUi到到UsUs添一条传添一条传输值为输值为(-B)(-B)的支路，形成闭合的的支路，形成闭合的SFGSFG，如下图所示：，如下图所示：（4 4）用）用MasonMason公式计算图增益，一阶回路共有公式计算图增益，一阶回路共有6 6个，二阶回路共个，二阶回路共有有2 2组：组：一阶回路：一阶回路：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）二阶回路：二阶回路：（1 1）（2 2）闭合闭合SFGSFG的图行列式为：的图行列式为：（注：由书上知识：在添加（注：由书上知识：在添加(-B)(-B)后，使得修改后的后，使得修改后的SFGSFG称为闭合称为闭合SFGSFG。将闭合。将闭合SFGSFG的图行列式中所有的项按是否含有的图行列式中所有的项按是否含有B B来划分为两来划分为两部分，对含部分，对含B B各项之和提出因子各项之和提出因子B B后，剩余部分便等于后，剩余部分便等于MasonMason公式公式的分子，而不含的分子，而不含B B的各项之和则等于的各项之和则等于MasonMason公式的分母公式的分母 。这样。这样便可以同时得到便可以同时得到MasonMason公式的分子和分母。）公式的分子和分母。）由题意得：由题意得：且且则则5-10 5-10 对如图所示网络选一适当的树，写出因果形式的网络方程，对如图所示网络选一适当的树，写出因果形式的网络方程，画出相应的画出相应的SFGSFG。用闭合。用闭合SFGSFG求增益求增益 。解：解：（1 1）按每一个元件一条支路画出网络的图，选一树，其中）按每一个元件一条支路画出网络的图，选一树，其中电压源为树支。由表电压源为树支。由表5-15-1，VCVSVCVS的控制支路的控制支路8 8为连支，受控支路为连支，受控支路3 3为树支，其他支路按需要选定。为树支，其他支路按需要选定。（2 2）根据已知网络和选择的树，以连支电流）根据已知网络和选择的树，以连支电流I I5 5、I I6 6、I I7 7和和树支电压树支电压U1U1、U2U2、U3U3作为网络变量，写出因果形式的方程：作为网络变量，写出因果形式的方程：连支电流：连支电流：树支电压：树支电压：（3 3）根据以上方程组画）根据以上方程组画SFG,SFG,为计算方便，从为计算方便，从UiUi到到UsUs添一条传输添一条传输值为值为(-B)(-B)的支路，形成闭合的的支路，形成闭合的SFGSFG，如下图所示：，如下图所示：为了便于观察，计算方便，将上图进一步整理变换，如下图所示：为了便于观察，计算方便，将上图进一步整理变换，如下图所示：（4 4）用）用MasonMason公式计算图增益，一阶回路共有公式计算图增益，一阶回路共有1010个，二阶回路共有个，二阶回路共有7 7组，三阶回路组，三阶回路1 1组：组：一一阶阶回回路路二二阶阶回回路路三三阶阶回回路路闭合闭合SFGSFG的图行列式为：的图行列式为：故转移函数为：故转移函数为：请张老师和各位同学批评指正！请张老师和各位同学批评指正！