空间点线面的位置关系(优质课).ppt

空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间图形是很重要的.4 空间图形的基本关系与公理 观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、地面之间的关系吗？以及侧面、地面之间的关系吗？长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内的直线等等的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题空间中的点、直线、平面之间有什么位置关系，是我们接下来要讨论的问题.常常把水平的平面画成锐角为常常把水平的平面画成锐角为45450 0，横边长等于其邻边长横边长等于其邻边长2 2倍的平行四边形倍的平行四边形.如果一个平面被另一个平面挡住，如果一个平面被另一个平面挡住，如果一个平面被另一个平面挡住，如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡的部分用虚线画出来则这遮挡的部分用虚线画出来则这遮挡的部分用虚线画出来则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。也可以不画。.平面的概念与画法平面的概念与画法几何里的平面是无限延展的几何里的平面是无限延展的.表示表示平面平面、平面、平面、平面、平面；用表示平行四边形的四个顶点用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示，或两个相对顶点的字母来表示，如平面如平面ABCDABCD或平面或平面ACAC、平面、平面BD.BD.1.空间点与直线点与直线的位置关系有两种：点A在直线上点B在直线外AB2.空间点与平面的位置关系有两种：点B在平面内点A在平面外记作：BA记作：记作：记作：3.空间直线与平面的位置关系有三种：空间直线与平面的位置关系有三种：直线直线a与平面与平面有无数多个公共点有无数多个公共点1 1、直线在平面内、直线在平面内直线与平面只有一个公共点直线与平面只有一个公共点2 2、直线与平面相交、直线与平面相交A a记作记作：直线直线aa平面平面=点点A A 直线与平面没有公共点直线与平面没有公共点3 3、直线与平面平行、直线与平面平行a a记作记作：记作记作：（2）两个平面相交）两个平面相交-两个平面不两个平面不重合，并且有公共点重合，并且有公共点4.空间平面与平面的位置关系有两种：（1）两个平面平行）两个平面平行-没有公共没有公共点的两个平面点的两个平面记作：记作：记作：记作：5.空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：平行直线平行直线相交直线相交直线异面直线异面直线在同一个平面内，没有公共点的两条直线。在同一个平面内，没有公共点的两条直线。在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。abab记作：记作：a/bbaO记作：记作：点、线、面之间的位置关系及语言表达点、线、面之间的位置关系及语言表达点点A A在直线在直线a a上上AaAa点点A A不在直线不在直线a a上上AaAa点点A A在平面在平面上上AA点点A A不在平面不在平面上上A A A A文字语言表达文字语言表达图形语言表达图形语言表达符号语言表达符号语言表达A Aa aa aA AA A直线直线a a在平面在平面内内a a直线直线a a在平面在平面外外a aA Aa abbA A aa小结小结 1 1、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系、如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系alABalPb（1）（2）2.2.观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系(1)过一点可以做几条直线？两点呢？过一点可以做几条直线？两点呢？(2)过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？思考：思考：backABC公理公理1：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：3.平面的基本性质平面的基本性质推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面有且只有一个平面.ABCa已知点已知点A a，求证过点，求证过点A和直线和直线a可以确定一个平面可以确定一个平面.3.平面的基本性质平面的基本性质推论推论2 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论推论3 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面.baab推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外一点经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面有且只有一个平面.ABCa注注3：公理公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据，是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.3.平面的基本性质平面的基本性质思考：思考：(1)不共面的四点可以确定多少个平面不共面的四点可以确定多少个平面?(2)共点的三条直线可以确定多少个平面共点的三条直线可以确定多少个平面?4 个个1个或个或3个个图形语言：图形语言：AB公理公理2：若一条直线上的两点在一个平面内，：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内则这条直线在此平面内.符号符号语言：语言：3.平面的基本性质平面的基本性质思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？不会！因为平面是无限延展的不会！因为平面是无限延展的.因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点，并且这些公共点在一条直线上且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本性质平面的基本性质P公理公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，：若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线则它们有且只有一条过该点的公共直线.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：该公理反映了平面与平面的位置关系：该公理反映了平面与平面的位置关系：3.平面的基本性质平面的基本性质3.填空填空:(1)_的三点确定一个平面的三点确定一个平面;(2)两条两条 或或 直线确定一个平面直线确定一个平面;(3)有一个公共点的两个平面交于有一个公共点的两个平面交于 的一条直线的一条直线.不在同一直线上不在同一直线上平行平行相交相交唯一唯一4.下列命题正确的是下列命题正确的是()A.经过三点确定一个平面经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D5.判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确:(1)平面平面与平面与平面相交相交,它们只有有限个公共点它们只有有限个公共点.(2)经过一条直线和这条直线外的一点经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个有且只有一个平面平面.(3)经过两条相交直线经过两条相交直线,有且只有一个平面有且只有一个平面.(4)如果两个平面有三个不共线的公共点如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个那么这两个平面重合平面重合.练习练习backabced我们知道我们知道,在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢在空间这一规律是否还成立呢?观察观察:将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边则各折痕及边 a,b,c,d,e,之间有何关系？之间有何关系？a b c d e 3.平面的基本性质平面的基本性质符号表示符号表示:caabc c(4)公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行.a平行具有传递性；平行具有传递性；注注4：该公理是判断空间两条直线平行的方法之一该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条即要证明两条直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.3.平面的基本性质平面的基本性质例例 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，直线中，直线ABAB与与C C1 1D D1 1，ADAD1 1与与BCBC1 1是什么位置关系？为什么？是什么位置关系？为什么？解：解：C1ABCDA1B1D11）ABA1B1，C1D1 A1B1，AB C1D1 2）AB C1D1，且，且AB=C1D1 ABC1D1为平行四边形为平行四边形故故AD1 BC1 练习：上例中，练习：上例中，AA1与与CC1，AC与与A1C1的位置是什么关系？的位置是什么关系？例例 已知已知ABCDABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E E，F F，G G，H H分别是分别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点，连结的中点，连结EFEF，FGFG，GHGH，HEHE，求，求证：证：EFGHEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形.问问1:若上例加上条件若上例加上条件AC=BD，则四边形，则四边形EFGH是一个什么图形？是一个什么图形？“见中点找中点见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法构造三角形的中位线是证明平行的常用方法 EH是是ABD的中位线，的中位线，EH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明证明：连结连结BD，同理，同理，FG BD且且FG=BD EH BD且且EH=BDAB DEFGHC菱形菱形“见中点找中点见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法构造三角形的中位线是证明平行的常用方法EFGback4.点线共面问题点线共面问题(1)(1)证明的主要依据：公理证明的主要依据：公理1 1；公理；公理2 2及其三个推论及其三个推论.(2)(2)证明的常用方法：证明的常用方法：纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的点、线在此平面内；点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元，再证明其余元素确定平面素确定平面，最后证明平面，最后证明平面、重合重合.例例 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求证：直线求证：直线AB，BC，AC共面共面.证明：证明：因为因为ABAC=A，所以直线所以直线AB，AC确定一个平面确定一个平面.（推论（推论2）因为因为BAB，CAC，所以，所以B，C，故故BC .（公理（公理1）因此直线因此直线AB，BC，CA共面共面.确定一个面，再确定一个面，再证明其余线在该证明其余线在该面内面内.4.点线共面问题点线共面问题4.点线共面问题点线共面问题证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：已知：a/b，ac=A，bc=B.求证：直线求证：直线a，b，c共面共面.证明：证明：因为因为a/b，所以直线所以直线a，b确定一个平面确定一个平面 .（推论（推论3）因为因为Aa，Bb，所以，所以A，B.又因为又因为Ac，Bc.故故AB .（公理（公理1）因此直线因此直线a，b，c共面共面.4.点线共面问题点线共面问题思考思考 已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面已知一条直线与三条平行直线都相交，证明这四条直线共面.已知：已知：a/b/c，al=A，bl=B,cl=C.求证：直线求证：直线l与与a，b，c共面共面.证明：证明：a/b，直线直线a，b确定一个平面确定一个平面.（推论（推论3）l a=A，l b=B，A，B.又又Al，Bl，故，故l .同理，同理，直线直线b，c确定一个平面确定一个平面，且，且l .平面平面 与与 都过两相交直线都过两相交直线b，l.又又两相交直线确定一个唯一的平面两相交直线确定一个唯一的平面.与与 重合重合.故故l与与a，b，c共面共面.证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.4.点线共面问题点线共面问题练练 已知已知a，b，ab=A，Pb，PQ/a.求证：求证：PQ .4.点线共面问题点线共面问题(1)(1)证明的主要依据是公理证明的主要依据是公理3 3：如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点必在这两个平面的交线上必在这两个平面的交线上.(2)(2)证明的常用方法：证明的常用方法：首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点；选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个面的公共点）；面的公共点）；证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共点的问题例例1 1 已知三角形已知三角形ABCABC的三条边的三条边ABAB、BCBC、ACAC与平面与平面分别交于分别交于P P、Q Q、R.R.求证：求证：P、Q、R共线共线.BAQRCP证明：证明：同理同理Q、R也为公共点，也为公共点，所以所以P、Q、R共线共线.要证明各点共线，只要证明各点共线，只要证明他们是两个相要证明他们是两个相交平面的公共点交平面的公共点.5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共点的问题空间四边形空间四边形ABCD中，中，E，F分别是分别是AB和和CB上的点，上的点，G，H分别分别是是CD和和AD上的点，且上的点，且EH与与FG相交于相交于K.求证：求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点三条直线相交于同一点.分析：分析：已知已知EHFG=K，要证，要证EH，BD，FG共点共点.即要证明即要证明B，D，K三点共线三点共线.而而BD是面是面ABD和面和面CBD的交线的交线.所以往证所以往证K面面ABD面面CBD.而显然，由而显然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD.5.证明三点共线、三线共点的问题证明三点共线、三线共点的问题FEABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找两平面的两个公共点找两平面的两个公共点例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）Q即交线为即交线为QN例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）拓展形状形状特殊情形特殊情形三角形三角形锐锐角角三三角角形形等等腰腰三三角角形形等等边边三三角角形形四边形四边形平平行行四四边边形形长长方方形形正正方方形形梯梯形形不可能是直角梯形不可能是直角梯形五边形五边形注意：该五边形注意：该五边形必有两组分别平必有两组分别平行的边，且不可行的边，且不可能是正五边形能是正五边形六边形六边形注意：该六边形注意：该六边形必有分别平行的必有分别平行的边，且可以是正边，且可以是正六边形六边形例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）正方体中，试画出过其中三条棱的中点正方体中，试画出过其中三条棱的中点P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方体的截面形状截得正方体的截面形状back正方体中，试画出过其中三条棱的中点正方体中，试画出过其中三条棱的中点P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方体的截面形状截得正方体的截面形状S即交线为即交线为RS交交AA1于中点于中点GKGHST即交线为即交线为QT交交CC1于中点于中点HT例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）backKGHJ例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）正方体中，试画出过其中三条棱的中点正方体中，试画出过其中三条棱的中点P P，Q Q，R R的平面的平面截得正方体的截面形状截得正方体的截面形状back画出四面体画出四面体ABCDABCD中过中过E,F,GE,F,G三点的截面与四面体各面的交线三点的截面与四面体各面的交线.P即交线为GPDH 即交线为FH例例 几何体中的截面问题（两平面的交线问题）几何体中的截面问题（两平面的交线问题）back小结：小结：(1)空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系(2)平面的基本性质（四个公理）平面的基本性质（四个公理）(3)证明直线平行的常用方法证明直线平行的常用方法(4)点线共面，三线共点，三点共线问题的证明点线共面，三线共点，三点共线问题的证明