数学建模-席位分配问题.ppt

2.3 2.3 公平的席位分配公平的席位分配 某校有某校有200200名学生，甲系名学生，甲系100100名，乙系名，乙系6060名，丙系名，丙系4040名，若学生代表会议设名，若学生代表会议设2020个席位，个席位，问三系各有多少个席位？问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数表示某单位的席位数 表示某单位的人数表示某单位的人数 表示总人数表示总人数 表示总席位数表示总席位数1 问题的提出（美国宪法问题的提出（美国宪法 1788）2020个席位的分配结果个席位的分配结果系别系别系别系别人数人数人数人数所占比例所占比例所占比例所占比例分配方案分配方案分配方案分配方案席位数席位数席位数席位数甲甲100100100/200100/200(50/100)(50/100)20=1020=10乙乙606060/20060/200(30/100)(30/100)20=620=6丙丙40 40 40/20040/200(20/100)(20/100)20=420=4现丙系有现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各名学生分别转到甲、乙系各3名。名。系别系别系别系别人数人数人数人数所占比例所占比例所占比例所占比例分配方案分配方案分配方案分配方案席位数席位数席位数席位数甲甲103103103/200=51.5%103/200=51.5%51.5%51.5%20 20=10.3=10.3乙乙636363/200=31.5%63/200=31.5%31.5%31.5%20=6.320=6.3丙丙34 34 34/200=17.0%34/200=17.0%17.0%17.0%20=3.420=3.410641064现象现象1 1 丙系少了丙系少了6 6人，但席位仍为人，但席位仍为4 4个。个。(不公平！）不公平！）Halmiton(1790)先按整数分配再按余数较大者分配由于在表决提案时可能出现由于在表决提案时可能出现1010：1010的平局，再设一的平局，再设一个席位。个席位。2121个席位的分配结果（个席位的分配结果（HalmitonHalmiton方法）方法）系别系别人数人数所占比例所占比例分配方案分配方案席位数席位数甲甲103103103/200=51.5%103/200=51.5%51.5%51.5%21 21=10.815=10.815乙乙636363/200=31.5%63/200=31.5%31.5%31.5%21=6.61521=6.615丙丙34 34 34/200=17.0%34/200=17.0%17.0%17.0%21=3.21=3.5705701173现象现象2 2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法惯例分配方法（Halmiton方法）方法）：按比例分配完取整数按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象（存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平悖论），能否给出更公平的分配席位的方案？的分配席位的方案？2 建模分析建模分析目标：建立公平的分配方案。目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。系别系别系别系别 人数人数人数人数 席位数席位数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数公平程度公平程度公平程度公平程度甲甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中中中乙乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差差差丙丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好好好系别系别系别系别人数人数人数人数席位数席位数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数甲甲甲甲1001001010100/10=10100/10=10乙乙乙乙60606 660/6=1060/6=10丙丙丙丙40 40 4 440/4=1040/4=10系别系别系别系别人数人数人数人数席位数席位数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数公平程度公平程度公平程度公平程度甲甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中中中乙乙63637 763/7=963/7=9好好好好丙丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差差差一般地一般地，单位单位单位单位人数人数人数人数席位数席位数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数每席位代表的人数A AB B当当席位分配公平席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位单位单位单位人数人数人数人数p p席位数席位数席位数席位数n n每席位代每席位代每席位代每席位代表的人数表的人数表的人数表的人数绝对不公绝对不公绝对不公绝对不公平标准平标准平标准平标准A A1201201010121212-10=212-10=2B B10010010101010C C102010201010102102102-100=2102-100=2D D100010001010100100C,D的不公平程度大为改善！的不公平程度大为改善！2 2）相对不公平相对不公平表示每个席位代表的人数，总人数一定时，表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。就越少。则则A A吃亏吃亏,或对或对A A是不公平的。是不公平的。定义定义“相对不公平度相对不公平度”对对A A的相对不公平值；的相对不公平值；对对B B的相对不公平值；的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标建立了衡量分配不公平程度的数量指标制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3 3 模型构成模型构成若若A A、B B两方已占有席位数为两方已占有席位数为用相对不公平值用相对不公平值讨论当席位增加讨论当席位增加1 1个时，个时，应该给应该给A A还是还是B B方。方。不失一般性不失一般性，有下面三种情形。有下面三种情形。情形情形1 1说明即使给说明即使给A A单位增加单位增加1 1席，仍对席，仍对A A 不公平，所增这一席必须给不公平，所增这一席必须给A A单位。单位。情形情形2 2说明当对说明当对A A不公平时，给不公平时，给A A单单位增加位增加1 1席，对席，对B B又不公平。又不公平。计算对计算对B B的相对不公平值的相对不公平值情形情形3 3说明当对说明当对A A不公平时，给不公平时，给B B单单位增加位增加1 1席，对席，对A A不公平。不公平。计算对计算对A A的相对不公平值的相对不公平值则这一席位给则这一席位给A A单位，否则给单位，否则给B B单位。单位。结论结论：当（当（*）成立时，增加的一个席位应分配给）成立时，增加的一个席位应分配给A A单位，反之，应分配给单位，反之，应分配给B B单位。单位。记记则增加的一个席位应分配给则增加的一个席位应分配给Q Q值较大的一方。值较大的一方。这样的分配席位的方法称为这样的分配席位的方法称为Q Q值法。值法。若若A A、B B两方已占有席位数为两方已占有席位数为4 4 推广推广 有有mm方分配席位的情况方分配席位的情况设设方人数为方人数为，已占有已占有个席位，个席位，当总席位增加当总席位增加1 1席时，计算席时，计算则则1 1席应分给席应分给Q Q值最大的一方。值最大的一方。开始，即每方至少应得到开始，即每方至少应得到1 1席，席，（如果有一方（如果有一方1 1席也分不到，则把它排除在外。）席也分不到，则把它排除在外。）从从5 举例举例甲、乙、丙三系各有人数甲、乙、丙三系各有人数103103，6363，3434，有，有2121个个席位，如何分配？席位，如何分配？按按Q值法：值法：甲甲1 1乙乙1 1丙丙1 145678910111213141516 1718192021甲：11，乙：6，丙：4模型分析模型分析存在公平的分配方法么？存在公平的分配方法么？1）比例加惯例法（）比例加惯例法（H法）法）悖论悖论 2）Q值法值法存在不合理存在不合理 3）其它方法：）其它方法：Dhondt方法方法 理想化原则理想化原则不存在完全不存在完全“合理合理”的分配的分配方法方法练习系系系系人数人数人数人数P Pi i比例分配比例分配比例分配比例分配参照惯例分配参照惯例分配参照惯例分配参照惯例分配QQ值法值法值法值法A A9215921592.1592.1592929292B B1591591.591.592 22 2C C1581581.581.582 22 2D D1571571.571.572 22 2E E1561561.561.561 11 1F F1551551.551.551 11 1总和总和总和总和 1000010000 100100100100100100dHondt方法方法有有k个单位，每单位的人数为个单位，每单位的人数为 pi，总席位数为，总席位数为n。做法：做法：用自然数用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前从所得的数中由大到小取前 n 个，（这个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这结果），这n 个数中哪个单位有几个所个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。分席位就为几个。/1/1/2/2/3/3/4/4/5/5/6/6/7/7/8/8/9/9/10/10A A103103 61.561.5 34.334.325.7525.7520.620.617.217.2 14.714.7 12.87512.875 11.411.4 10.310.3B B636331.531.5 212115.7515.7512.612.610.510.5 9 9C C3434171711.311.38.58.56.86.82121席席位位构造分析方法建模进行量化处理，需要构造度量构造度量遵循原则：1）严谨，公平，有公信力；2）尽量简单，便于操作；3）能准确反映各方差异。扎实的数学功底及开创性思维