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数学物理方法概论数学物理方法概论之之（格林函数）（格林函数）（格林函数）（格林函数）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联络电话：联络电话：联络电话：联络电话：1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 格林函数格林函数 格林函数格林函数在电磁场理论中有广泛应用，本节将在电磁场理论中有广泛应用，本节将在线性空间框架下，建立格林函数定义和应用分析。在线性空间框架下，建立格林函数定义和应用分析。实际上，希尔伯特空间中实际上，希尔伯特空间中S-L系统（微分算子方系统（微分算子方程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中我们能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林我们能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林函数，也就将微分方程表述转化为积分方程，进而函数，也就将微分方程表述转化为积分方程，进而得到问题求解。得到问题求解。第第2页页1、点源函数法回顾；点源函数法回顾；2、格林函数引入；格林函数引入；3、格林函数与格林函数与 函数函数；4、一维格林函数；一维格林函数；5、三维格林函数；三维格林函数；6、格林函数在电磁学中应用；格林函数在电磁学中应用；7、并矢格林函数并矢格林函数第四章第四章 格林函数格林函数 第第3页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 经典经典格林函数方法格林函数方法在力学、电磁场理论中有广在力学、电磁场理论中有广泛应用。泛应用。从从点源点源概念出发（如质点、点电荷、点热源概念出发（如质点、点电荷、点热源等），依据等），依据叠加原理叠加原理，经过点源场有限积分来得到，经过点源场有限积分来得到任意源场。任意源场。这种求解数学物理方程方法即这种求解数学物理方程方法即经典格林函数法经典格林函数法，又称为点源函数法或影响函数法。又称为点源函数法或影响函数法。第第4页页4 格林函数格林函数 4.1.1 格林函数法回顾格林函数法回顾 首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产首先，找到一个点源在一定边界条件和初值条件下所产生场或影响，即点源影响函数（格林函数）；然后，因为任生场或影响，即点源影响函数（格林函数）；然后，因为任意分布源总能够看作是许许多多这么点源叠加，利用场叠加意分布源总能够看作是许许多多这么点源叠加，利用场叠加原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源场，原理，对格林函数在整个源域上积分，即可得到任意源场，这就是格林函数法主要思想。这就是格林函数法主要思想。回顾内容包含：回顾内容包含：1、点源函数性质；、点源函数性质；2、格林函数普通求法（电像法）等；、格林函数普通求法（电像法）等；3、格林函数求解边值问题路径。、格林函数求解边值问题路径。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第5页页4 格林函数格林函数 比如：空间中，静电荷产生电势问题，比如：空间中，静电荷产生电势问题，MOXYZ电荷源电荷源 电荷密度电荷密度空间空间M处电势满足泊松方程：处电势满足泊松方程：实际上：由静电学可知，位于实际上：由静电学可知，位于 点单位正电荷在点单位正电荷在r处电势为处电势为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第6页页4 格林函数格林函数 表明：上方程求解，能够经过以下思想取得：表明：上方程求解，能够经过以下思想取得：1）找到一个点源在一定边界或初值条件下场）找到一个点源在一定边界或初值条件下场即格林函数即格林函数（或称点源函数，影响函数）（或称点源函数，影响函数）2）依据线性迭加原理，将各点源场迭加起来，得到普通源）依据线性迭加原理，将各点源场迭加起来，得到普通源场场即经过有限积分表示原问题解。即经过有限积分表示原问题解。格林函数法（点源法）格林函数法（点源法）依据迭加原理，任意电荷分布电势为：依据迭加原理，任意电荷分布电势为：4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第7页页4 格林函数格林函数 从以上例题分析可见，格林函数法主要特点是：从以上例题分析可见，格林函数法主要特点是：1）直接求得问题特解，（它不受方程类型和边界条）直接求得问题特解，（它不受方程类型和边界条件局限），件局限），2）通常结果用一个含有格林函数有限积分表示，物）通常结果用一个含有格林函数有限积分表示，物理意义清楚，便于以统一形式研究各类定解问题；理意义清楚，便于以统一形式研究各类定解问题；3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就能够算）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就能够算出任意源场，这么将一个复杂求解问题，就转换为关出任意源场，这么将一个复杂求解问题，就转换为关键是求解点源相对简单问题。键是求解点源相对简单问题。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第8页页4 格林函数格林函数 4.1.2 函数函数4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第9页页4 格林函数格林函数 2、定义、定义 函数函数更普遍定义为更普遍定义为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第10页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第11页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第12页页4 格林函数格林函数 3、三维、三维 函数函数其中其中为三维为三维 函数函数且含有性质：且含有性质：这表明，高维函数等于一维情况乘积，由此，高维函数这表明，高维函数等于一维情况乘积，由此，高维函数也含有一维函数全部性质。也含有一维函数全部性质。4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第13页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第14页页4 格林函数格林函数 其中，其中，为不一样时为零常数。为了得到定解问题为不一样时为零常数。为了得到定解问题(1)(2)4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4.1.3 泊松方程边值问题泊松方程边值问题解积分表示式，首先引入格林公式解积分表示式，首先引入格林公式一、泊松方程基本形式一、泊松方程基本形式第第15页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 二、格林公式二、格林公式此式称为此式称为化为体积分化为体积分第第16页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 此式称为此式称为第第17页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第18页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 三、积分公式三、积分公式格林函数法格林函数法 目标：求解目标：求解第第19页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 因为因为其中其中 为为M与与M0之间距离之间距离(3)第第20页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 若能由此式化简整理得到若能由此式化简整理得到u(M),则一定是方程（则一定是方程（1）解）解这里这里G就相当于格就相当于格林第二公式中林第二公式中v第第21页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第22页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 第第23页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 负号来自内小球面法负号来自内小球面法向与矢径方向相反向与矢径方向相反第第24页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 注意到格林函数对称性：注意到格林函数对称性：上式物理意义极难解释清楚，右边第一项，上式物理意义极难解释清楚，右边第一项，G(M,M0)代表代表M0点点源在点点源在M点产生场，而点产生场，而h(M)代表却是代表却是M点源。点源。将上式中将上式中G(M0,M)用用G(M,M0)代替且，将代替且，将M和和M0在公式在公式中交换，可得中交换，可得第第25页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 （4）第第26页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 物理意义：物理意义：（1）右边第一项积分代表在积分区域）右边第一项积分代表在积分区域 中体分布源中体分布源h(M0)在在M点产生场总和；点产生场总和；（2）右边第二、三积分项则是边界上源所产生场。这两种影响）右边第二、三积分项则是边界上源所产生场。这两种影响都是由同一格林函数给出。都是由同一格林函数给出。上式给出了泊松方程解积分表示，但因为上式给出了泊松方程解积分表示，但因为G(M,M0)未知未知且不一样边值条件也需做深入分析。且不一样边值条件也需做深入分析。第第27页页4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 2、泊松方程边值问题积分公式、泊松方程边值问题积分公式(A)第一类边界条件第一类边界条件基本公式变为基本公式变为由由边界条件变为边界条件变为只要只要G(M,M0)，满足定解问题，则上式，满足定解问题，则上式u(M)就都为已知量表示就都为已知量表示第第28页页G(M,M0)所组成定解问题即所组成定解问题即 下式称为泊松方程下式称为泊松方程狄氏问题狄氏问题 满足狄氏问题格林函数，简称为满足狄氏问题格林函数，简称为狄氏格林函数狄氏格林函数。4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 狄氏积分公式狄氏积分公式第第29页页基本积分公式变为基本积分公式变为 4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 (B)第二类边界条件第二类边界条件由由边界条件变为边界条件变为但此式不存在，因为但此式不存在，因为 在第二类在第二类齐次边界条件齐次边界条件 下无解。下无解。第第30页页表示在边界上是绝热，因为边界绝热，从点源出来表示在边界上是绝热，因为边界绝热，从点源出来4 格林函数格林函数 4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 从物理上看，其意义十分显著。方程从物理上看，其意义十分显著。方程可看成稳定热传导方程在可看成稳定热传导方程在M0点有一个点热源，而边界条件点有一个点热源，而边界条件热量，会使体积内温度不停升高，而不可能到达稳定状态。热量，会使体积内温度不停升高，而不可能到达稳定状态。显然，为了处理这一矛盾，或者修改格林函数所满足方程显然，为了处理这一矛盾，或者修改格林函数所满足方程使之与边界条件使之与边界条件 相容，相容，这就要引入所谓广义格林函数方程；或者修改边界条件使之这就要引入所谓广义格林函数方程；或者修改边界条件使之与格林函数所满足方程相容，这里不再详细讨论。与格林函数所满足方程相容，这里不再详细讨论。第第31页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 代入基本积分公式，得代入基本积分公式，得(C)第三类边界条件第三类边界条件若要求若要求G(M,M0)满足第三类齐次边界，即满足第三类齐次边界，即则当则当G(M,M0)乘乘 ，以，以u(M)乘上式再相减，得乘上式再相减，得第第32页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 由上面讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程由上面讨论可见，在各类非齐次边界条件下解泊松方程能够先在对应同类齐次边界条件下解格林函数所满足方程能够先在对应同类齐次边界条件下解格林函数所满足方程再经过基本积分公式得到再经过基本积分公式得到 u(M)。1)格林函数定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且格林函数定解问题，其方程形式比原泊松方程简单，且边界条件又是齐次，所以求解相对轻易。边界条件又是齐次，所以求解相对轻易。2)且不一样泊松方程非齐次项且不一样泊松方程非齐次项h(M)和边界条件中不一样和边界条件中不一样g(M)，只要属于同类边值问题，函数只要属于同类边值问题，函数G(M,M0)都相同。这就将泊松方都相同。这就将泊松方程边值问题化为几个类型边界条件下求解格林函数问题。程边值问题化为几个类型边界条件下求解格林函数问题。第第33页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 4.1.4 格林函数普通求法格林函数普通求法 一、无界空间格林函数一、无界空间格林函数 基本解基本解 从前讨论可知，确定了从前讨论可知，确定了G，就能利用积分表示式求得，就能利用积分表示式求得泊松方程边值问题解。但普通求解泊松方程边值问题解。但普通求解G，并非易事。，并非易事。只有一些特殊情况下，比较轻易求出。只有一些特殊情况下，比较轻易求出。无界区域格林函数无界区域格林函数G0,又又 称为对应方程称为对应方程基本解基本解。将普通边值问题格林函数将普通边值问题格林函数G分为：分为：对于三维泊松方程，基本解对于三维泊松方程，基本解G0满足满足G1则满足对应齐次方程则满足对应齐次方程(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)第第34页页它描述是点它描述是点 点源在无界空间产生稳定场。以静电场为点源在无界空间产生稳定场。以静电场为例，它描述在点例，它描述在点 电量为电量为 点电荷在无界空间中所点电荷在无界空间中所产生电场在产生电场在 点电势，即点电势，即4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 及对应边界条件，比如在第一边值问题中，及对应边界条件，比如在第一边值问题中，从而有从而有拉普拉斯方程边值问题求解是熟知，至于方程拉普拉斯方程边值问题求解是熟知，至于方程类似对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解类似对于二维泊松方程，可用平面极坐标求得其基本解G0满足满足第第35页页在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。所以，球内电势应为球内电荷直接产生电势与感应电荷所产所以，球内电势应为球内电荷直接产生电势与感应电荷所产生电势之和。可将生电势之和。可将G写为写为边界条件为边界条件为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 此处此处G便是泊松方程第一边值问题格林函数。从电磁学知便是泊松方程第一边值问题格林函数。从电磁学知考虑物理问题，设有一接地导体球内考虑物理问题，设有一接地导体球内 点放置一电量点放置一电量为为 点电荷。则球内电势满足泊松方程点电荷。则球内电势满足泊松方程二、用电像法求格林函数二、用电像法求格林函数 其中其中G0是不考虑球面边界影响电势，是不考虑球面边界影响电势，G1是感应电荷引发是感应电荷引发第第36页页G1则能够由则能够由 及上式边界条件用分离变量法得到。及上式边界条件用分离变量法得到。以及边界条件以及边界条件4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 这么这么G0就是基本解，就是基本解，由前面讨论可知，由前面讨论可知，G0满足满足从而从而G1满足满足但这么得到解往往是无穷级数。以下介绍另一个方法即但这么得到解往往是无穷级数。以下介绍另一个方法即电像法电像法，用电像法能够得到有限形式解。，用电像法能够得到有限形式解。第第37页页电像法基本思想：电像法基本思想：用一构想等效点电荷来代替全部感应电荷，于是可求得用一构想等效点电荷来代替全部感应电荷，于是可求得G1类类似于似于G0有限形式解。显然，这一等效点电荷不能位于球内，有限形式解。显然，这一等效点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内场满足因为感应电荷在球内场满足 即球内是无源。又依即球内是无源。又依据对称性，这个等效电荷必位于据对称性，这个等效电荷必位于OM0延长线上某点延长线上某点M1，记等，记等效电荷电量为效电荷电量为 q，其在空间任意点，其在空间任意点M引发电势为引发电势为4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 若将场点取在球面若将场点取在球面P点，则若点，则若则则 相同，从而相同，从而第第38页页4.1 点源函数法回顾点源函数法回顾 4 格林函数格林函数 所以若取所以若取 ，则球面上总电势为，则球面上总电势为恰好满足恰好满足这个构想位于这个构想位于M1点等效点电荷称为点等效点电荷称为M0点点电荷电像。这么，球内任一点点点电荷电像。这么，球内任一点总电势是总电势是其中其中第第39页页4.2.1 格林函数引入格林函数引入 在希尔伯特空间中在希尔伯特空间中S-L系统（微分算子方程）与积分算子系统（微分算子方程）与积分算子之间有着亲密联络，从这个联络中能够引入格林函数定义，之间有着亲密联络，从这个联络中能够引入格林函数定义，同时，利用这些格林函数，可将微分方程表述转化为积分方同时，利用这些格林函数，可将微分方程表述转化为积分方程，进而得到问题求解。程，进而得到问题求解。注意到积分算子方程：注意到积分算子方程：其中其中K是积分算子，假如定义为是积分算子，假如定义为 4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第40页页而而 是一个积分算子核，当这个核来自于包是一个积分算子核，当这个核来自于包含微分算子方程解时，被称为微分算子在对应边界条件下含微分算子方程解时，被称为微分算子在对应边界条件下格林函数格林函数，记为：，记为：它是服从边界条件它是服从边界条件 系统相对应于系统相对应于 格格林函数。林函数。为赫维赛函数：为赫维赛函数：由此，依据微分积分方程关系，能够引入格林函数，实际上，由此，依据微分积分方程关系，能够引入格林函数，实际上，能够仿照以上方法，结构不一样边界条件下格林函数。能够仿照以上方法，结构不一样边界条件下格林函数。4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第41页页例：方程例：方程下解为下解为 所以，能够引入所以，能够引入格林函数格林函数 作为算子作为算子 在本问题边界条件下格林函数。在本问题边界条件下格林函数。4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 在边界条件在边界条件第第42页页一样这个方程，改变边界条件为一样这个方程，改变边界条件为 时时 方程解为方程解为 所以，依据格林函数定义有所以，依据格林函数定义有 即：即：4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第43页页可见：可见：1、边界条件对格林函数形式影响很大；、边界条件对格林函数形式影响很大；2、格林函数对称性与边界条件相关，后一个边界下是对、格林函数对称性与边界条件相关，后一个边界下是对称，满足称，满足实际上，格林函数对称性与算子厄米性亲密相关。实际上，格林函数对称性与算子厄米性亲密相关。4.2.2 格林函数对称性格林函数对称性 若算子若算子L对任意函数对任意函数 f 和和 g 有有 则则L是对称，即自伴算子。是对称，即自伴算子。在给定边界条件下，正因为微分算子对称性，格林函数也在给定边界条件下，正因为微分算子对称性，格林函数也含有对称性。含有对称性。4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第44页页4.2.3 微分方程与积分方程微分方程与积分方程 显然，在显然，在 ，经过格林函数，能够把微分方程转化，经过格林函数，能够把微分方程转化为积分方程，从而使问题简化。这种作用是经过将微分算为积分方程，从而使问题简化。这种作用是经过将微分算子转化为以格林函数为核平方可积积分算子，这种平方可子转化为以格林函数为核平方可积积分算子，这种平方可积类型核含有许多很好性质，能够把任何有界函数无穷序积类型核含有许多很好性质，能够把任何有界函数无穷序列变成一个包含有平均收敛子序列序列，轻易和矩阵理论列变成一个包含有平均收敛子序列序列，轻易和矩阵理论相结合，使问题轻易求解。相结合，使问题轻易求解。4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 第第45页页4.2 格林函数引入格林函数引入 4 格林函数格林函数 若需求解若需求解它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正微分方程。它不能直接积分求解，在此意义下它才是真正微分方程。积分号下包含有未知函数方程称为积分号下包含有未知函数方程称为积分方程积分方程类似，对类似，对其中其中可得对应积分方程可得对应积分方程第第46页页设有算子方程设有算子方程 不妨设不妨设L含有一个正交完备本征函数集合含有一个正交完备本征函数集合 ，即有，即有 则将解则将解y 和已知函数和已知函数f 都表示为都表示为代入算子方程，有代入算子方程，有 1、格林函数本征表述、格林函数本征表述4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 4 格林函数格林函数 第第47页页即即 因为因为 线性无关，所以线性无关，所以 所以所以 注意，这里注意，这里 ，而且假设对全部，而且假设对全部n 有有4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 第第48页页可得：可得：所以所以 格林函数本征函数表示式为格林函数本征函数表示式为 是实数，算子是实数，算子L是厄米，则格林函数是对称是厄米，则格林函数是对称。4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 第第49页页例：例：求在区间求在区间0,1 内，算子内，算子对应格林函数本征函数表示。对应格林函数本征函数表示。解：解：L端点值为零归一化本征函数是端点值为零归一化本征函数是 本征值是本征值是 故格林函数为故格林函数为它一致收敛于一个连续函数，即前边所给它一致收敛于一个连续函数，即前边所给 4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 第第50页页2、格林函数与、格林函数与 函数函数深入，把深入，把L作用到作用到G上，上，注意到，对任意函数注意到，对任意函数f(x)有有而而 是一个正交归一完备集合，右端就是是一个正交归一完备集合，右端就是f(x)本征函数本征函数展开，所以有展开，所以有 4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 第第51页页所以所以I 含有含有 函数性质，从而得到函数性质，从而得到 这正是我们预期结果。这正是我们预期结果。至此，格林函数表示方程解为至此，格林函数表示方程解为 对对有有其中其中 是对应齐次方程是对应齐次方程 通解，常数项由边界条件确定。通解，常数项由边界条件确定。4 格林函数格林函数 4.3 格林函数与格林函数与 函数函数 第第52页页设普通二阶线性微分算子为设普通二阶线性微分算子为 对齐次方程：对齐次方程：两个线性无关解为两个线性无关解为 ，我们希望求解方程，我们希望求解方程 比较上两个方程能够看到，除了比较上两个方程能够看到，除了 外，外，G必须满足方必须满足方程，所以，对程，所以，对 ，G应该是方程（应该是方程（1）两个解线性）两个解线性组合，对组合，对 类似。于是我们得到类似。于是我们得到（1）（2）4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 第第53页页而在而在 处，处，G必须连续，因为假如它不连续，必须连续，因为假如它不连续，就包含一个就包含一个 函数，所以函数，所以 就应包含就应包含 函数导数，不函数导数，不过（过（2）式中只有一个）式中只有一个 函数，所以函数，所以G是连续。是连续。不过不过 是不连续，而且我们能够从（是不连续，而且我们能够从（2）式两边从）式两边从 从从 到到 进行积分来确定它跃度。进行积分来确定它跃度。即把（即把（2）式两边积分）式两边积分（3）4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 第第54页页4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 假设假设 连续，由考虑到连续，由考虑到 很小，这些函数在积分很小，这些函数在积分范围内改变能够忽略（即提到积分号外），用它们在范围内改变能够忽略（即提到积分号外），用它们在 处值替换，再化简，得到处值替换，再化简，得到G导数在导数在 跃度为：跃度为：（4）第第55页页利用利用G在在 处连续性，加上（处连续性，加上（4）式，可得）式，可得，其中其中W是朗斯基行列式，它是是朗斯基行列式，它是 所以，所以，G能够表示为：能够表示为：4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 第第56页页能够证实能够证实 总不为零，总不为零，能够经过边界条件确能够经过边界条件确定，格林函数最终形式与边界条件类型有很强依赖关系。假如定，格林函数最终形式与边界条件类型有很强依赖关系。假如边界条件是各种单点型，则要求边界条件是各种单点型，则要求 ，格林函数可表，格林函数可表示为：示为：4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 第第57页页而由格林函数表示解为而由格林函数表示解为 其中其中 为初始时刻，当我们用单点边界条件为初始时刻，当我们用单点边界条件 时，能够把积分项看作不存在一样来确定时，能够把积分项看作不存在一样来确定A和和B.对于边界条件是两端点型时，如对于边界条件是两端点型时，如 一样能够把解写成（一样能够把解写成（5）式，只是恰当选择）式，只是恰当选择G中中 ，使，使（5）从而再由解（从而再由解（5）式确定）式确定A和和B值。值。4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 第第58页页那么对非齐次微分方程，如那么对非齐次微分方程，如 它能够被写成积分方程形式它能够被写成积分方程形式其中其中 是齐次方程是齐次方程 满足边界条件解线性满足边界条件解线性组合，组合，G是是L满足对应边界条件格林函数。满足对应边界条件格林函数。4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 第第59页页例：例：算子算子 在给定两点边界条件下格林函数：在给定两点边界条件下格林函数：4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 解：解：因为因为 而：而：从而从而 第第60页页为了方便，把端点为了方便，把端点 。由。由 得得 4 格林函数格林函数 4.4 一维格林函数一维格林函数 又由又由 得得所以：所以：代入代入G表示式，得表示式，得 可见边界条件影响格林函数结果。可见边界条件影响格林函数结果。对比单点边界条件（经典力学）对比单点边界条件（经典力学）格林函数格林函数(5.35a)为为第第61页页在三维情况下，研究算子在三维情况下，研究算子 其中其中 是拉普拉斯算子，是拉普拉斯算子，实际上，三维算子方程计算格林函数方法不一样于一维情况，实际上，三维算子方程计算格林函数方法不一样于一维情况，我们作以下讨论：我们作以下讨论：对算子方程对算子方程（1）4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 第第62页页假设式假设式 和和 傅立叶变换存在傅立叶变换存在 对（对（1）两边进行傅立叶变换，有）两边进行傅立叶变换，有 利用格林公式利用格林公式 令令 则有则有（2）4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 第第63页页4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 积分域是整个三维空间，所以在计算表面积分时，我们把表面积分域是整个三维空间，所以在计算表面积分时，我们把表面取成半径为取成半径为R球面，然后取球面，然后取R趋于无穷极限即可。此时趋于无穷极限即可。此时 恰好恰好是径向单位矢，所以面积分项为是径向单位矢，所以面积分项为 第第64页页其中其中假如当假如当 时，时，足够快地趋于零，那么面积分将为足够快地趋于零，那么面积分将为趋于零，则有趋于零，则有其中其中，所以方程（，所以方程（2）变为）变为 4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 第第65页页以下分两种情况考虑：以下分两种情况考虑：1.情况情况令令 ，此时，此时 总不为零，有总不为零，有 所以所以其中其中 表示齐次方程表示齐次方程解任意线性组合。带入解任意线性组合。带入 ，写成由格林函数表示解为写成由格林函数表示解为4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 第第66页页其中格林函数其中格林函数利用复变函数理论，得到利用复变函数理论，得到在实际物理问题中，经常要求在实际物理问题中，经常要求 r 非常大时解非常大时解(3)仍有界，所仍有界，所以，解最终表示为以，解最终表示为(3)4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 第第67页页（4）在这种情况下，忽略在这种情况下，忽略(5.49)式中面积分是合理，式中面积分是合理，当当 足够大，足够大，所以，当所以，当 足够大时，足够大时，按指数形式下降。按指数形式下降。4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 (源分布源分布)下降得足够快下降得足够快(有限有限)，则，则第第68页页例：例：静电场泊松方程静电场泊松方程 解：解：当当 足够大，足够大，其中，其中这个结果在我们期盼之中，足够远距离处，能够把任这个结果在我们期盼之中，足够远距离处，能够把任何电荷分部都看成是何电荷分部都看成是点电荷点电荷。4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 在在中令中令给出给出第第69页页2.情况情况中中 当当 时为零。为了避开这个困难，时为零。为了避开这个困难，我们假定我们假定 是一个正实数和一个虚数之和，即是一个正实数和一个虚数之和，即 最终让最终让 ，得到正常结果。由，得到正常结果。由得得采取和采取和 情况相同处理步骤，得到情况相同处理步骤，得到 4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 对它处理要更细致些，因为现在对它处理要更细致些，因为现在第第70页页（5）4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 其中其中 因为插入了虚部，积分道路上没有了极点，能够像前边因为插入了虚部，积分道路上没有了极点，能够像前边情况继续进行下去，最终得情况继续进行下去，最终得第第71页页代回（代回（5）式得）式得 其中，其中，是齐次方程是齐次方程 解，它形式解，它形式4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 为为所以完全解为所以完全解为 A,q由初始条件确定。由初始条件确定。第第72页页例：求解薛定谔方程例：求解薛定谔方程在在 时解。时解。解：解：这种情况正是上述情况，令这种情况正是上述情况，令 ，立刻得到波函数，立刻得到波函数所满足积分方程所满足积分方程4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 其中其中 ，这是量子力学中散射问题李普曼，这是量子力学中散射问题李普曼许许温格（温格（LippmannSchwinger）方程）方程。第第73页页在远区，在远区，其中其中 是径向单位矢量，分母上是径向单位矢量，分母上则则4 格林函数格林函数 4.5 三维情况下格林函数三维情况下格林函数 其中其中 ，则，则 称为称为散射振幅散射振幅，它表示散射粒子流和入射流之比。，它表示散射粒子流和入射流之比。令：令：第第74页页1、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下格林函数、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下格林函数 例：例：如图所表示，一无限长矩形波导管，如图所表示，一无限长矩形波导管，管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管管壁接地，管内放一均匀细线电荷，求管内电势分布。内电势分布。解：此问题可归结为解：此问题可归结为 这么问题中，仍可用前边讨论一维微分算子格林函数思想，这么问题中，仍可用前边讨论一维微分算子格林函数思想，即把包含即把包含 源空间分为唯一两个区域，而源只考虑一次。对源空间分为唯一两个区域，而源只考虑一次。对本二维问题，能够按源左边和右边划分，也可按源上边和下本二维问题，能够按源左边和右边划分，也可按源上边和下边划分。结果相同。边划分。结果相同。4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第75页页(1)在在 区域，有区域，有 代入上式得代入上式得 从而有：从而有：注意到上边界条件，得解为注意到上边界条件，得解为 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 令令第第76页页注意到上边界条件上式化为注意到上边界条件上式化为 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 对应本征函数为对应本征函数为本征值为本征值为故考虑了边界条件方程解为故考虑了边界条件方程解为第第77页页(2)在在 区域，有区域，有 其解为：其解为：(3)由由 ,处处G性质确定系数性质确定系数 和和 ：由由G连续性（即电势连续性）：连续性（即电势连续性）：4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 即：即：第第78页页由三角函数正交性，得由三角函数正交性，得(a)下边讨论下边讨论G 对对 y 导数在源处跃度导数在源处跃度其中：其中：4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 令：令：第第79页页把把G 代入原微分方程代入原微分方程得得两边乘以两边乘以 ，并在，并在0,a上积分，由正交性得上积分，由正交性得 这就是这就是 所满足常微分方程，由前边讨论跃度公式所满足常微分方程，由前边讨论跃度公式4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第80页页可得可得 即：即：结合结合可得可得 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第81页页最终可得格林函数为最终可得格林函数为 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 或或第第82页页2、拉普拉斯方程在柱面坐标系下格林函数、拉普拉斯方程在柱面坐标系下格林函数 例例:如右图所表示，求接地圆柱形导电匣内电位问题，匣内一如右图所表示，求接地圆柱形导电匣内电位问题，匣内一个单位源在点个单位源在点 上。上。解：格林函数满足方程是解：格林函数满足方程是 类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：类似上例，把圆柱导电匣内分成两个区域：（1）4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第83页页(1)在区域在区域 用分离变量法可求得其解为用分离变量法可求得其解为 其中其中 是是 第第n个根。个根。(2)在区域在区域4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第84页页(3)在在 处处G性质决定系数性质决定系数 。由。由G连续性连续性 得：得：令：令：其中：其中：4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第85页页代入原方程（代入原方程（1），并化简得），并化简得 将两边乘以将两边乘以 并在并在 和和 上对上对 积分，并考虑正交性得积分，并考虑正交性得G z 满足：满足：其中其中 从而从而 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第86页页即：即：联立前边得到联立前边得到4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 可得系数可得系数第第87页页进而得进而得 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 当当 时时当当 时时第第88页页因为所得格林函数解对全部因为所得格林函数解对全部a,l 值都成立，所以我们能够把所值都成立，所以我们能够把所得结果推广而求得另外一些问题格林函数。得结果推广而求得另外一些问题格林函数。推广推广1:假如使假如使l 变成无穷大，则能够求出含有一端开路一个半变成无穷大，则能够求出含有一端开路一个半无穷长接地圆柱形匣格林函数。这个问题还能够深入推广以得无穷长接地圆柱形匣格林函数。这个问题还能够深入推广以得到一个无限长接地圆柱格林函数。这个问题解是到一个无限长接地圆柱格林函数。这个问题解是 4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第89页页推广推广2:若再使若再使a 变为无穷大，就得自由空间中一个单位源在变为无穷大，就得自由空间中一个单位源在柱面坐标下格林函数。此时格林函数径向关系傅立叶级数表柱面坐标下格林函数。此时格林函数径向关系傅立叶级数表示式转化为一个傅立叶积分表示式，成为示式转化为一个傅立叶积分表示式，成为 式中用式中用 取代了取代了 而且使用了由而且使用了由 渐近式所得渐近式所得出出 值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间格林函值。然而从静电学知道，柱面坐标下自由空间格林函数是数是 其中其中 二者应该是完全一致二者应该是完全一致。4 格林函数格林函数 4.6 格林函数在电磁学中应用格林函数在电磁学中应用 第第90页页对于矢量方程，我们能够采取两种处理方法：一是标量分对于矢量方程，我们能够采取两种处理方法：一是标量分解；二是直接引入矢量格林