数学物理方法幂级数展开省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1解解f()=2i(32+7+1),依据柯西积分公式知依据柯西积分公式知,).1(,3 22ifyxl+=+,求求表示正向圆周表示正向圆周设设第1页第2页3学习要求与内容提要目标与要求：目标与要求：掌握掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数概念、性质及基本计算方法、朗级数概念、性质及基本计算方法、孤孤 立奇点概念及判定、零点与极点关系立奇点概念及判定、零点与极点关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数第3页4 无穷级数无穷级数：一无穷多个数组成数列一无穷多个数组成数列w1，w2，w3，wn，写成写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一个形就称为无穷级数。这仅是一个形式上相加。这种加法是不是含有式上相加。这种加法是不是含有和数和数呢？这个呢？这个和数和数确实切意义是什么？确实切意义是什么？为何要研究级数为何要研究级数？(1)(1)级数可作为函数表示式，是研究函数工具；级数可作为函数表示式，是研究函数工具；(2)(2)常微分方程级数解。常微分方程级数解。研究级数需关心研究级数需关心问题：问题：(1)(1)级数敛散性，收敛定义、条件、判据；级数敛散性，收敛定义、条件、判据；(2)(2)收敛级数或一致收敛级数所含有性质等。收敛级数或一致收敛级数所含有性质等。第4页53.1 复数项级数(一一一一)复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数1 1 定义定义定义定义 设设wn(n=1,2,)为一复数列为一复数列,表示式表示式 称为称为复数项级数复数项级数，其中其中 是复数是复数。2 2 部分和部分和部分和部分和 级数前面级数前面n项和项和 若部分和数列若部分和数列 sn(n=1,2,=1,2,),)有复数极限有复数极限s即若即若(3.1)本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。第5页6说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性基本方法是性基本方法是:则称复数项级数则称复数项级数(3.1)(3.1)收敛于收敛于s,s,且称且称s s为为(3.1)(3.1)和和,写成写成 若复数列若复数列sn(n=1,2,)没没有极限有极限,则称级数则称级数(3.1)(3.1)为发散为发散.第6页7敛散性敛散性.0 =nnz分析级数分析级数例例1 1第7页83.3.复数项级数收敛条件复数项级数收敛条件证证因为因为(1)定理定理 )(11收敛收敛充要条件充要条件级数级数 =+=nnnnnivuw .11都收敛都收敛和和 =nnnnvu第8页9说明说明 复数项级数审敛问题复数项级数审敛问题实数项级数审敛问题实数项级数审敛问题(定理定理).11 =nnnnvu都收敛都收敛和和级数级数于是于是第9页10(3)(3)绝对收敛定义绝对收敛定义绝对收敛定义绝对收敛定义若若收敛，则称收敛，则称绝对收敛绝对收敛 注注注注1 1：一个绝对收敛复级数各项能够任意重排次序一个绝对收敛复级数各项能够任意重排次序一个绝对收敛复级数各项能够任意重排次序一个绝对收敛复级数各项能够任意重排次序,而不改变而不改变而不改变而不改变其绝对收敛性其绝对收敛性其绝对收敛性其绝对收敛性,亦不改变其和亦不改变其和亦不改变其和亦不改变其和.(2)柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据：对于任一小正数对于任一小正数 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 时有时有式中式中 p 为任意正整数为任意正整数.注注注注2 2 2 2：级级级级数数数数绝对绝对绝对绝对收收收收敛敛敛敛充分必要条件是充分必要条件是充分必要条件是充分必要条件是实实实实数数数数项级项级项级项级数数数数与与与与都都都都绝对绝对绝对绝对收收收收敛敛敛敛。第10页11解解所以原级数发散所以原级数发散.例例1所以原级数收敛所以原级数收敛.注注注注3 3 3 3：两个绝对收敛级数两个绝对收敛级数两个绝对收敛级数两个绝对收敛级数和和和和，积积积积，仍绝对收敛仍绝对收敛仍绝对收敛仍绝对收敛。第11页12（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：设复变函数列设复变函数列wk(z)定义在区域定义在区域B上，则由上，则由wk(z)组组成级数称成级数称函数项级数函数项级数函数项级数函数项级数 当选定当选定z一个确定值时，函数项级数变成一个复一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。数项级数。因为函数项级数定义在区域因为函数项级数定义在区域 B(或曲线或曲线l)上上，所所以以它收敛概念是相对于定义域它收敛概念是相对于定义域B(或曲线或曲线l)而言。而言。第12页13 1.1.复变函数项级数一致收敛充分必要条件复变函数项级数一致收敛充分必要条件定义定义：任给：任给 0，存在一个与，存在一个与z无关自然数无关自然数N()，当，当n N()时，对时，对B(或或l)上全部上全部z，都有：都有：(p为任意自然数为任意自然数)，则称在，则称在B(或或l)一致收敛。一致收敛。一致收敛级数性质一致收敛级数性质一致收敛级数性质一致收敛级数性质 性质性质性质性质1 1 1 1：若若wk(z)在在B内连续，函数级数内连续，函数级数 在在B内一致收内一致收敛，则和函数敛，则和函数w w(z z)也是也是也是也是B B内连续函数内连续函数内连续函数内连续函数。这个性质说明：假如级数每一项都是连续函数，则一致收这个性质说明：假如级数每一项都是连续函数，则一致收敛敛级数能够逐项求极限。级数能够逐项求极限。第13页14 性质性质2 2：若级数若级数 在区域在区域B B内分段光滑曲线内分段光滑曲线l上一致收敛，上一致收敛，且且wk(z)为为l上连续函数，则上连续函数，则级数可沿级数可沿级数可沿级数可沿l l逐项积分逐项积分逐项积分逐项积分：第14页15绝对一致收敛绝对一致收敛绝对一致收敛绝对一致收敛这是一个这是一个特殊形式惯用函数项级数特殊形式惯用函数项级数。3.2 3.2 幂级数幂级数幂级数幂级数：通项为幂函数级数：通项为幂函数级数:（一）（一）（一）（一）定义定义定义定义第15页16（二）幂级数敛散性（二）幂级数敛散性（二）幂级数敛散性（二）幂级数敛散性 1.1.阿贝尔定理阿贝尔定理 假如级数假如级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆心点为圆心，为半径圆内为半径圆内绝对收敛，而绝对收敛，而 上一致收敛上一致收敛。假如级数假如级数 在在z1点点发散，则在发散，则在 内处处发散内处处发散。因为发散幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数敛因为发散幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数敛散性。散性。2.2.求收敛圆半径求收敛圆半径R公式公式 绝对收敛是指绝对收敛是指 收敛，后者为正项收敛，后者为正项级数，所以可用正项级数比值判别法和根式判别法确级数，所以可用正项级数比值判别法和根式判别法确第16页17(1)(1)比值判别法比值判别法引入收敛半径引入收敛半径 定收敛半径定收敛半径 R。绝对收敛绝对收敛 发散发散 绝对收敛绝对收敛 发散发散 则若则若:级数级数柯西判据柯西判据柯西判据柯西判据,所以所以绝对收敛绝对收敛 .第17页18所以所以收敛半径为收敛半径为收敛半径为收敛半径为注意注意:幂级数在幂级数在幂级数在幂级数在收敛圆上敛散性需详细分析！收敛圆上敛散性需详细分析！收敛圆上敛散性需详细分析！收敛圆上敛散性需详细分析！（2 2）当）当CRz0R第18页19(2)(2)根式判别法根式判别法发散发散所以所以绝对收敛绝对收敛对应级数绝对收敛对应级数绝对收敛 则若则若:第19页20假如假如假如假如:(极限不存在极限不存在),),4.4.复变幂级数在收敛圆内性质复变幂级数在收敛圆内性质那么那么那么那么设幂级数设幂级数收敛半径为收敛半径为 =-00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内解析函数内解析函数。(1)=-=0)()(kkkz0zazw它和函数它和函数Rz0z-第20页21(2)在收敛圆内能够逐项积分在收敛圆内能够逐项积分,)(zw即即 =-=0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw 且且可表为连续函数回路积分。可表为连续函数回路积分。第21页22 证实证实:记记 CR1上点为上点为，CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上幂级数可则圆上幂级数可写为写为利用柯西公式利用柯西公式用有界函数用有界函数相乘后，在相乘后，在CR1上一致收敛上一致收敛第22页23且幂级数在收敛圆内可任意且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导逐项求导证实证实:幂级数幂级数 乘以乘以(3)在收敛圆在收敛圆内导数可将其幂内导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,)(zw.)()(11 =-=kkkz0zkazw即即Rz0z-第23页24故收敛半径故收敛半径例例1求幂级数求幂级数 收敛半径收敛半径解解第24页25解解例例2求求 收敛半径收敛半径.第25页26例例3 计算计算解解:和函数和函数第26页275.幂级数运算与性质在收敛半径在收敛半径R=min(r1,r2)内内:假如当假如当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,(2)(2)幂级数代换幂级数代换(复合复合)运算运算第27页28思索思索题答案思索题答案不一定。不一定。幂级数在收敛圆周上敛散性怎样断定幂级数在收敛圆周上敛散性怎样断定?因为在收敛圆周上因为在收敛圆周上确定确定,能够依复数项级能够依复数项级数敛散性讨论。数敛散性讨论。思索题答案思索题答案第28页293.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)第29页303.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开上节证实了：幂级数在其收敛圆内解析上节证实了：幂级数在其收敛圆内解析本节证实其本节证实其逆定理逆定理：解析函数能够展开成幂级数，且这种：解析函数能够展开成幂级数，且这种 展开式是唯一。展开式是唯一。解析函数与幂级数亲密关系解析函数与幂级数亲密关系其中展开系数其中展开系数 ak 称为泰勒级数称为泰勒级数 如图：设如图：设 f(z)在区域内解析，在区域内解析，z0为内任一点，为为内任一点，为z0到到区边界最短距离，则当区边界最短距离，则当|zz0|R 时，时，f(z)可展开为泰勒级可展开为泰勒级数数(一一一一)解析函数泰勒展开定理解析函数泰勒展开定理解析函数泰勒展开定理解析函数泰勒展开定理CR1为半径为圆。为半径为圆。BCR1z第30页31证实证实：1.设设f(z)在内解析在内解析,在图示在图示CR1圆上应用柯西公式圆上应用柯西公式其中其中z为圆为圆CR1内某一点内某一点,|zz0|=r，CR1为包含为包含z圆圆，|z0|=R,(0 r R)，为为CR1上点上点。如图如图:.内任意点内任意点.CR1.r第31页322.将被积函数变成级数将被积函数变成级数利用利用 将将 展开成以展开成以z0为中心级数为中心级数 被积函数写成：被积函数写成：3.将上式沿将上式沿CR1积分积分级数级数 在在CR1上一致收敛上一致收敛 和和 f()在在CR1上有界上有界第32页33级数级数 在在 B内内一致收敛一致收敛 逐项积分逐项积分于是于是其中其中4.展开式是唯一展开式是唯一第33页34 若若 f(z)能展开成另一个形式能展开成另一个形式：(1)那么当 z=z0：(2)对z求导：展开式唯一展开式唯一第34页35 来求来求 ak。由展开式唯一性，能够用任何方便方法来求解一个由展开式唯一性，能够用任何方便方法来求解一个解析函数泰勒展开式，无须一定要用积分表示式解析函数泰勒展开式，无须一定要用积分表示式说明：说明：(1)解析函数与泰勒级数之间存在亲密关系解析函数与泰勒级数之间存在亲密关系：a.幂级数在其收敛圆内解析；幂级数在其收敛圆内解析；b.解析函数能够展开成幂级数，且这种展开式是唯一解析函数能够展开成幂级数，且这种展开式是唯一。(2)假如假如f(z)在在B内有一阶导数存在，则内有一阶导数存在，则f(z)可在可在B内每一点内每一点邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f(x)一一阶导数存在，它二阶或高阶导数可能不存在，所以阶导数存在，它二阶或高阶导数可能不存在，所以 f(x)就不可能展开成泰勒级数。就不可能展开成泰勒级数。第35页36;,00级数称为级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数麦克劳林级数麦克劳林级数时时当当=z因为解析，能够确保无限阶导数因为解析，能够确保无限阶导数连续性连续性;注意：注意：所以复变函数展为泰勒级数实用范围就所以复变函数展为泰勒级数实用范围就要比实变函数辽阔多。要比实变函数辽阔多。说明说明:第36页37(三三)将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数惯用方法惯用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例例1，故有故有第37页38,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze。=R所以级数收敛半径所以级数收敛半径2.2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数展开式借助于一些已知函数展开式 ,结合解析结合解析函数性质函数性质,幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导,积积分等分等)和其它数学技巧和其它数学技巧 (代换等代换等),),求函数泰求函数泰勒展开式。勒展开式。间接法优点间接法优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径 ,因而比因而比直接展开更为简练直接展开更为简练 ,使用范围也更为广泛。使用范围也更为广泛。第38页39例例2 2.0 sin 泰勒展开式泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求=zz第39页40附附:常见函数泰勒展开式常见函数泰勒展开式第40页41第41页42例例3 3解解上式两边逐项求导上式两边逐项求导,11)1(12-=+zzz上有一奇点上有一奇点在在因为因为,1区域内解析区域内解析即在即在 z故可在其解析区域内展开成故可在其解析区域内展开成幂级数幂级数z第42页43例例4 4*分析分析如图如图,-1OR=1xy.1 幂级数幂级数内能够展开成内能够展开成所以它在所以它在zz=,1,1 )1ln(是它一个奇点是它一个奇点平面内是解析平面内是解析向左沿负实轴剪开向左沿负实轴剪开在从在从-+z第43页44即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 l 逐项积分逐项积分,得得解解,0 1 曲线曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzl 第44页453.4 3.4 3.4 3.4 解析延拓解析延拓解析延拓解析延拓解析延拓解析延拓：将解析函数定义域加以扩大将解析函数定义域加以扩大 例例;幂级数：幂级数：在以在以z=0为圆心为圆心单位圆单位圆B内代表一个解析函数，令为内代表一个解析函数，令为级数收敛域级数收敛域B即解析函数定义域半径即解析函数定义域半径R=1。在单位圆在单位圆B内，取一点内，取一点z z0 0=i/2i/2 为圆心进行将为圆心进行将f1(z)泰勒展开泰勒展开这级数收敛域这级数收敛域b半径为半径为 （一）解析延拓（一）解析延拓（一）解析延拓（一）解析延拓第45页46 上例说明，收敛域上例说明，收敛域b 跨出原来收敛域跨出原来收敛域B 之外，之外，而级数而级数(1)在收敛域在收敛域B内内.b 代表解析函数代表解析函数 f2(z)，于，于是称是称 f2(z )为为 f1(z)在在 b内解析延拓。内解析延拓。定义定义：若若f1(z)和和f2(z)分别在分别在B,b内解析，且在内解析，且在B与与b重合区域重合区域中有中有f1(z)=f2(z)，则称则称f2(z)为为f1(z)在在b中解析延拓中解析延拓，f1(z)为为f2(z)在在B中解析延拓中解析延拓。能够证实，不论采取何种方法，函数能够证实，不论采取何种方法，函数 f(z)解析解析延拓是延拓是唯一唯一。这么，能够采取一些最方便方法来进行。这么，能够采取一些最方便方法来进行解析延拓。解析延拓。B Bb b第46页47首先在首先在B1 内任取一点内任取一点 z0，将，将 f 1(z)在在 z0 邻域展开成泰邻域展开成泰勒级数勒级数 设级数收敛区域为设级数收敛区域为B2 2。假如。假如B2 2超出了超出了B1 1范围。因为在范围。因为在B1和和B2重合区域重合区域 f1(z)=f2(z)，所以，所以 f2(z)就是就是 f1(z)在在 B2中解析延拓。中解析延拓。这么不停作下去，得到一系列解析这么不停作下去，得到一系列解析 Bn,fn(z)(n=2,3.)(n=2,3.)。一个解析元素一个解析元素 Bn,fn(z)全部解析延拓集合，称为全部解析延拓集合，称为 f1(z)所产生完全解析函数所产生完全解析函数 F(z)，F(z)定义域是邻解析元定义域是邻解析元素给出定义域总和。素给出定义域总和。(二二)泰勒级数展开泰勒级数展开解析延拓方法解析延拓方法第47页483.3(1)（3）(6）(8)第48页493.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开(一一)问题引入问题引入第49页50例例1.1.都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析内都是解析.而而1,1112+=-zzzzzkLL:10 内内在圆环域在圆环域 z所以所以,121LL+=-kzzzz即即内能够展开成幂级数内能够展开成幂级数.第50页51 LL+-+-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-+-=-kzzzz 由此推想由此推想由此推想由此推想，若，若f(z)在在R 2 z-z0 R1 内解析内解析,f(z)能够展开成含有负幂次项级数能够展开成含有负幂次项级数,即即内，内，在圆环域在圆环域110-z第51页52 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心圆环域内解析函为中心圆环域内解析函数级数表示法。它是后面将要研究解析函数在数级数表示法。它是后面将要研究解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内性质以及定义邻域内性质以及定义留数留数数和计算留数数和计算留数基础。基础。第52页53(二二)洛朗级数洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 任一正向简单闭曲线任一正向简单闭曲线.,)()(0kkkzzazf-=-=内处处解析内处处解析内处处解析内处处解析，在在环形域环形域设设 )(102RzzRzf-内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在那末那末那末那末Bzf)(为洛朗系数为洛朗系数.第53页54证证对于第一个积分对于第一个积分(CR1):Bzz0.z.第54页55对于第二个积分对于第二个积分:所以所以 因为因为.z.第55页56则则第56页57则则 对于对于C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 任何一条正向简单任何一条正向简单kkkkkkzzazza-=-=-+-=)()(0100.)(0kkkzza-=-=闭曲线闭曲线.可用一个式子表示为可用一个式子表示为:kkaa-与与第57页58说明说明:函数函数在圆环域内在圆环域内洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内在圆环域内洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内解析函数展开为含有正、负幂某一圆环域内解析函数展开为含有正、负幂项级数是唯一项级数是唯一.定理给出了将圆环域内解析函数展为洛朗级数普定理给出了将圆环域内解析函数展为洛朗级数普通方法通方法.kkkzzazf)()(0-=-=第58页59(三三三三)函数洛朗展开式函数洛朗展开式函数洛朗展开式函数洛朗展开式惯用方法惯用方法 :1.:1.直接法直接法 2.2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数),2,1,0(d)()(2110L =-=+kzfiaCkkz zz zz z然后写出然后写出然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf-=-=依据正、负幂项组成级数唯一性依据正、负幂项组成级数唯一性依据正、负幂项组成级数唯一性依据正、负幂项组成级数唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .2.间接展开法间接展开法第59页60例例2 2解解由定理知由定理知:,)(kkkzazf -=而而z zz zz zd)()(2110+-=Ckkzfiaz zz zz zd213+=Ckei目标目标目标目标求求求求a ak k 令令f1=e,则则f1=e在在闭合回路闭合回路C内和内和C上均解析，上均解析，故由解析函数导数公式故由解析函数导数公式 z zz zz zd2(k+1)!3+=Ck1eif(k+1)+=)!1(k+1)kfka1(0)即有即有 怎样计算怎样计算ak?.第60页61间接法解：间接法解：直接展开直接展开ezz zz zz zd213+=Ckkeia022)(dd)!2(1=+=zzkkezk)!2(1+=k -=+=2)!2()(kkkzzf故故第61页62例例3 3 内是处处解析内是处处解析,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解:)2)(1(1)(在圆环域在圆环域函数函数-=zzzf ,10 )1内内在在 z间接展开间接展开间接展开间接展开法法法法第62页63oxy1=)(zf所以所以LL+=-nzzzz2111则则,1 z因为因为12 z从而从而是泰是泰勒级数勒级数第63页6412oxy由由且仍有且仍有 ,21 )2内内在在 z第64页652oxy由由此时此时,2 )3内内在在 z)(zf于是于是第65页66仍有仍有,121 zz此时此时)(zf故故注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数奇点奇点.本例中圆环域中心本例中圆环域中心是各负幂项是各负幂项第66页67说明说明:1.函数函数在以在以为中心圆环域内洛朗级为中心圆环域内洛朗级数中尽管含有数中尽管含有负幂项负幂项,而且而且又是这些又是这些项奇点项奇点,不过不过可能是函数可能是函数奇点奇点,也可能也可能奇点奇点.不是不是2.给定了函数给定了函数与复平面内一点与复平面内一点以后以后,函数在各个不一样圆环域中有不一样洛朗展开函数在各个不一样圆环域中有不一样洛朗展开式式 (包含泰勒展开式作为它特例包含泰勒展开式作为它特例).).第67页68解：解：间接法间接法 即经过即经过展开展开sinz为级数求解：为级数求解：例例4.0 sin 0洛朗级数洛朗级数去心邻域内展开成去心邻域内展开成在在将函数将函数=zzz第68页693.6 3.6 3.6 3.6 孤立奇点分类孤立奇点分类孤立奇点分类孤立奇点分类定义定义：若函数若函数f(z)在点在点z0处不解析处不解析（或没有定义）（或没有定义），但，但在点在点z0某个某个空心邻域空心邻域空心邻域空心邻域 内解析内解析，则称点则称点z0为为f(z)孤立奇点孤立奇点。(一一一一)孤立奇点概念孤立奇点概念孤立奇点概念孤立奇点概念例例1z=0是函数是函数孤立奇点孤立奇点.是函数是函数孤立奇点孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.第69页70例例2 2 指出函数指出函数在点在点奇点特征奇点特征.解解即在即在不论怎样小去心邻域内不论怎样小去心邻域内,奇点存在奇点存在,函数奇点是函数奇点是1/z=0和和sin(1/z)=0对应点，即对应点，即总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim=p p kk第70页71 定义定义 设设z0是解析函数是解析函数f(z)孤立奇点孤立奇点，f(z)在点在点z0某去心邻域某去心邻域 内罗朗展式为内罗朗展式为 (1)(1)若展式中若展式中不含有不含有不含有不含有z z-z z0 0负幂项负幂项负幂项负幂项，则称，则称z0为为f(z)可去可去奇点奇点；(2)(2)若展式中若展式中只含有只含有只含有只含有z z-z z0 0有限有限有限有限(mm)项负幂项项负幂项项负幂项项负幂项，则称则称z0是是f(z)极点极点，称称m为极点为极点z0阶，按照阶，按照m=1或或m1，称称z0是是f(z)单极点或单极点或m阶极点；阶极点；(3)(3)若展式中若展式中含有含有含有含有z z-z z0 0无穷多个负幂项无穷多个负幂项无穷多个负幂项无穷多个负幂项，则称，则称z0为为f(z)本性奇点本性奇点。(二二二二)孤立奇点分类孤立奇点分类孤立奇点分类孤立奇点分类第71页72其和函数其和函数为在为在解析函数解析函数.说明说明:(1)(2)不论不论在在是否有定义是否有定义,补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析.1可去奇点可去奇点假如洛朗级数中不假如洛朗级数中不含含 负幂项负幂项,那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 可去奇点可去奇点.1)定义定义,)(0孤立奇点孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010LL+-+-+=kkzzazzaazf,)(00azf=000,)()(zzazzzFzf第72页73 2)可去奇点判定可去奇点判定(1)定义判断定义判断:洛朗级数无负洛朗级数无负在在假如假如幂项则幂项则为为可去奇点可去奇点.(2)极限判断极限判断若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为可去奇点可去奇点.假如补充定义假如补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是可去奇点可去奇点 .第73页74例例4 说明说明为为可去奇点可去奇点.解解 由定义判断由定义判断所以所以为为可去奇点可去奇点.无负幂项无负幂项极限判断极限判断可去奇点可去奇点.为为第74页752.极点极点 其中关于其中关于最高幂为最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数或写成或写成1)定义定义 假如洛朗级数中只有有限多个假如洛朗级数中只有有限多个负幂项负幂项,1012020)()()()(-+-+-=zzazzazzazfmmLL+-+)(010zzaa)0,1(-mam第75页76说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)极点极点 ,则则为函数为函数假如假如例例5 有理分式函数有理分式函数是二级极点是二级极点,是一级极点是一级极点.L+-+-+=+-+-20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数内是解析函数在在d d-0zz第76页772)极点判定方法极点判定方法负幂项为有负幂项为有洛朗展开式中含有洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 某去心邻域内某去心邻域内其中其中 在在 邻域内解析邻域内解析,且且 (1)定义判别定义判别(2)定义等价形式判别定义等价形式判别(3)(3)极限判断极限判断.第77页78本性奇点3.假如洛朗级数中假如洛朗级数中含有没有穷多个含有没有穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为本性奇点本性奇点.负幂项负幂项,比如，比如，含有没有穷多个含有没有穷多个z负幂项负幂项 特点特点:在本性奇点邻域内在本性奇点邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.为本性奇点，为本性奇点，所以所以0=z第78页79(三三三三)函数在无穷远点性态函数在无穷远点性态函数在无穷远点性态函数在无穷远点性态1.定义定义 假如函数假如函数在无穷远点在无穷远点去心去心邻域邻域内解析内解析,则称点则称点 为为孤孤立奇点立奇点.Rxyo第79页80作变换作变换而且要求此变换将而且要求此变换将:映射为映射为扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为映射为映射为映射为映射为第80页812 结论结论:在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数研究研究在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数研究研究因为因为 在去心邻域在去心邻域内是解析内是解析,所以所以是是孤立奇点孤立奇点.3 要求要求:m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点.可去奇点可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,假如假如 t=0 是是是是可去奇点、可去奇点、那末就称点那末就称点第81页821)1)不含正幂项不含正幂项;2)2)含有有限多正幂项且含有有限多正幂项且为最高正幂为最高正幂;3)3)含有没有穷多正幂项含有没有穷多正幂项;那末那末是是1)1)可去奇点可去奇点 ;2)m 级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点 .判别法判别法1(1(利用洛朗级数特点利用洛朗级数特点)4.判别方法判别方法:在在内洛朗级数中内洛朗级数中:假如假如第82页83例例6 6 (1)函数函数在圆环域在圆环域内洛朗展开式为内洛朗展开式为:不含正幂项不含正幂项所以所以是是可去奇点可去奇点 .(2)(2)函数函数含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以是是一一级极点级极点.第83页84(3)函数函数展开式展开式:含有没有穷多正幂项含有没有穷多正幂项所以所以是是本性奇点本性奇点.第84页85判别法判别法2:(利用极限特点利用极限特点)假如极限假如极限1)1)存在且为有限值存在且为有限值 ;2)2)无穷大无穷大;3)3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末是是1)1)可去奇点可去奇点 ;2)2)m级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点 .第85页86例例7 函数函数在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型奇点有些什么类型奇点?假如是极点假如是极点,指出它级指出它级.解解 函数函数除点除点外外,所以这些点都是所以这些点都是一级零点一级零点,内解析内解析 .在在.,2,1,0cos)(sin处均不为零处均不为零在在因因L =p p=p pzzz（1）分析）分析零点情况：零点情况：（2）分析分子）分析分子零点情况；零点情况；为一级零点，为一级零点，与与则则11-为三级零点，为三级零点，则则2先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域第86页87然而然而那末那末是是可去奇点可去奇点.因为因为三级极点三级极点.（3）分析）分析极点情况：极点情况：故在故在 这些点中除这些点中除1,-1,2外外,都是都是对于对于z=2，第87页88不是不是孤立奇点孤立奇点.所以所以孤立奇点，孤立奇点，不是不是故故 =z zz z10f第88页89 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数;答答:是普通与特殊关系是普通与特殊关系.洛朗级数收敛区域是圆环域洛朗级数收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思索题思索题1.级数了级数了洛朗级数就退化为泰勒洛朗级数就退化为泰勒思索思索第89页90思索题思索题2答答:第90页913.5(1)（3）(5）(7)(9)3.6(1)（2）(3）第91页92第92页