现代控制理论习题解答(第三章).doc

第三部分 现代控制理论习题详解 第三章 线性控制系统的能控性和能观性第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。（1）（2）（3）（4）【解】：(1)，所以系统完全能控。(2)前三列已经可使，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。（3）A为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。（4）A阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。可以求一下能控判别阵。，所以系统不完全能控。3-3-2 判断下列系统的输出能控性。(1) (2) 【解】：（1）已知，前两列已经使，所以系统输出能控。（2）系统为能控标准型，所以状态完全能控。又因输出矩阵C满秩，且输出维数m小于状态维数n，所以状态能控则输出必然能控。2-3-3 判断下列系统的能观性。(1) ；(2) ；(3) ；（4）【解】：（1）已知前三行已使，所以系统完全能观（后续元素不必计算）。（2）所以系统完全能观。（3） 状态空间表达式为约旦标准型，且C阵对应于第一个约旦块的第一列元素为零，所以系统状态不完全能观。（4）状态空间表达式为约旦标准型的特殊结构形式，所以不能用常规方法判系统的能观性。同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输出系统，一定是不完全能观的。也可求所以系统不完全能观。3-3-4 设系统状态方程为，若、是系统的能控状态，试证状态也是能控的（其中、为任意常数）。【解】： 设：因为，状态和能控，所以至少有。而由系统输出能控的判别阵得：，（C阵又满秩）。所以一定是能控的。3-3-5 设系统1和2的状态空间表达式为（1）试分析系统1和2的能控性和能观性，并写出传递函数；（2）试分析由1和2组成的串联系统的能控性和能观性，并写出传递函数；（3）试分析由1和2组成的并联系统的能控性和能观性，并写出传递函数。【解】： （1）两个子系统既能控又能观。（2）以系统1在前系统2在后构成串联系统为例（串联顺序变化状态空间表达式不同，又都是SISO系统，传递函数相同）：系统有下关系成立：，串联后的系统不能控但能观。传递函数为：（3）并联后的系统数学模型为：系统有下关系成立：，并联后的状态空间表达式为：并联后系统既能控又能观。传递函数为：3-3-6 已知系统的传递函数为（1）试确定a的取值，使系统成为不能控或为不能观；（2）在上述a的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；（3）在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。【解】：系统的传递函数可以写成：(1) 当1，3，6时，系统传递函数出现零极点对消现象，则系统可能不能控，或不能观或即不能控又不能观。(2)在上述的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式；能控标准型为：(3)在上述a的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。能观标准型为：3-3-7 已知系统的状态空间表达式为试问能否选择常数、b、c使系统具有能控性和能观性。【解】：在上述行列式中，无论、b、c 如何取值，都有两行元素线性相关，则，。 在上述行列式中，无论、b、c 如何取值，都有两列元素线性相关，则，。 所以，无论常数、b、c取何值，系统都不能控和不能观。3-3-8 系统的结构如题3-3-8图所示，图中、b、c、d均为实常数，试建立系统的状态空间表达式，并分别确定当系统状态能控和能观时、b、c、d应满足的条件。题3-3-8图【解】：系统状态空间表达式为：系统能控的条件为：。系统能观的条件为：。 3-3-9 设系统的系数矩阵为其中为实数。试问系统能观的充要条件是什么？要求用A、C中的参数具体表示。【解】：3-3-10 已知系统的状态空间表达式为欲使系统中有一个状态既能控又能观，另一个状态既不能控又不能观，试确定参数应满足的关系。【解】：A为友矩阵，且特征值互异，所以显然，当状态既能控又能观，而状态既不能控又不能观的条件是：当状态既能控又能观，而状态既不能控又不能观的条件是：3-3-11 设n阶系统的状态空间表达式为，试证：（1）若Cb=0，CAb=0，CA2b=0，CAn-1b=0，则系统不能同时满足能控性和能观性条件。（2）如果满足Cb=0，CAb=0，CA2b=0，CAn-2b=0，CAn-1b0则系统总是又能控又能观的。【解】：（1）以三阶系统为例：所以该系统不能同时满足能控性和能观性条件。（2）以三阶系统为例：所以该系统既能控又能观。3-3-12 已知系统的微分方程为，试写出对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。【解】：因为又因为单输入/单输出系统传递函数矩阵为一个元素，所以二者传递函数是相同的。系统传递函数无零点，所以不会出现零极点对消现象，系统既能控又能观。能控标准型为：能观标准型为：3-3-13 已知系统的状态方程为，试求出它的能控标准型。【解】：。所以系统不能控，不存在能控标准型。3-3-14 已知系统的状态空间表达式为 试求出它的能观标准型。【解】：判系统的能观性：所以系统能观。方法之一：求变换阵设对原状态空间表达式做线性变换得：方法之二：依据特征多项式直接可以写出能观标准型的A，C阵。，。3-3-15 已知系统传递函数为，试求能控标准型和能观标准型。【解】：系统的传递函数可以写成：传递函数无零极点对消，系统既能控又能观。能控标准型为：能观标准型为：3-3-16 已知完全能控系统的状态方程为，试问与它相应的离散化方程是否一定能控。【解】：已知，离散系统完全能控的条件为矩阵满秩。而，所以系统是否能控，取决于采样周期T的取值使能控判别阵满秩。当时，离散化方程也是能控的。3-3-17 试将下列系统分别按能控性、能观性进行结构分解。（1）（2）【解】：（1）按能控性进行结构分解所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵。，按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：按能观性进行结构分解所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵。，按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：（2）按能控性进行结构分解所以系统不完全能控，需按能控性进行结构分解，构造非奇异变换阵。按能控性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：按能观性进行结构分解所以系统不完全能观，需按能观性进行结构分解，构造非奇异变换阵。按能观性进行结构分解后的系统状态空间表达式为：3-3-18 试将下列系统分别按能控性和能观性进行结构分解。（1）；（2）。【解】：（1）系统的特征方程为：化为对角标准型，其变换阵为：化成对角标准型为：可以看出系统不能控也不能观，需按能控性和能观性进行结构分解。其中为能控能观的状态变量；为能控不能观的状态变量；为不能控能观的状态变量；为不能控不能观的状态变量将上述方程按，的顺序排列，则有：或写成（2）系统既能控又能观，无需分解。3-3-19 已知系统的微分方程为，试分别求出满足下列要求的状态空间表达式：（1）系统为能控能观的对角标准型；（2）系统为能控不能观的；（3）系统为能观不能控；（4）系统为不能控也不能观的。【解】：。传递函数无零极点对消，则原系统既能控又能观。设：人为增加一对偶极子，得：系统能控不能观的状态空间表达式为：系统能观不能控的状态空间表达式为：系统既不能控又不能观的状态空间表达式为：3-3-20 已知系统的状态空间表达式为 ，利用线性变换，其中，对系统进行结构分解。试回答以下问题：(1)不能控但能观的状态变量以，的线性组合表示；(2)能控且能观的状态变量以，的线性组合表示；(3)试求这个系统的传递函数。【解】：线性变换后系统的状态空间表达式为：系统的特征方程为：将线性变换后的系统变成约当标准型，变换阵为：，约当标准型为：为约当标准型，可以看出系统完全能观，状态不能控。因为：，所以不能控但能观的状态变量能控且能观的状态变量线性变换不改变系统的传递函数，用约当标准型的能控能观的部分即最小实现求传递函数：3-3-21 已知系统的传递函数矩阵为，（1）求系统的能控标准型实现，画出系统的状态图；（2）求系统的能观标准型实现，画出系统的状态图；（3）用传递函数并联分解法，求系统对角标准型的实现，画出系统状态图。【解】：能控标准型为： 系统状态图如题3-3-21图1所示。题3-3-21图1能观标准型为：系统状态图如图题3-3-21图2所示。题3-3-21图2对角标准型为：设：系统状态图如题3-3-21图3所示。题3-3-21图33-3-22 已知系统的微分方程为，试求该系统的最小实现。【解】：由（1）式-（2）式和2（2）式-（1）式得：在零初始条件下，拉氏变换得：系统完全能控能观，所以上述系统为最小实现。3-3-23 从传递函数是否出现零极点对消的现象出发，说明下图题3-3-23图中闭环系统的能控性与能观性和开环系统0的能控性与能观性是一致的。题3-3-23图【解】：设开环系统的传递函数为，则开环系统能控且能观的条件是无零极点对消，即和无公因子。而闭环系统的传递函数为。开环系统传递函数有零极点对消时，和有公因子，设为。则闭环系统传递函数也有零极点对消，所以闭环系统的能控性与能观性和开环系统0的能控性与能观性是一致的。开环系统传递函数没有零极点对消时，和没有公因子，则闭环系统传递函数也没有公因子，没有零极点对消，所以闭环系统的能控性与能观性和开环系统0的能控性与能观性也是一致的。66