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因式分解提公因式法【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组，求代数式的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。 解： 把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 对任意自然数n，和都是10的倍数。 一定是10的倍数5、中考点拨： 例1。因式分解 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2分解因式： 解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示： 例1. 计算： 精析与解答： 设，则 说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。 例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。 分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。 解：是及的公因式 也是多项式的二次因式 而 b、c为整数 得： 说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求得。 例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。 解： 都是大于1的自然数 是合数 说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2）（n为正整数） （3） 2. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。4. 证明：能被45整除。 5. 化简：，且当时，求原式的值。试题答案 1. 分析与解答： （1） （2） （3）原式 注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。 2. B 3. 是正整数 分解成 又与奇偶性相同，且 说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。 4. 证明： 能被45整除 5. 解：逐次分解：原式 当时，原式因式分解公式法【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当时，有 （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】 1. 把分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式有一个因式是，求的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。 解：根据已知条件，设 则 由此可得 由（1）得 把代入（2），得 把代入（3），得 3. 在几何题中的应用。 例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。 分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解： 为等边三角形。 4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。 分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为（为整数） 则 由此可见，一定是8的倍数。5、中考点拨： 例1：因式分解：_。 解： 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。 例2：分解因式：_。 解： 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示： 例1. 已知：， 求的值。 解： 原式 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 例2. 已知， 求证： 证明： 把代入上式， 可得，即或或 若，则， 若或，同理也有 说明：利用补充公式确定的值，命题得证。 例3. 若，求的值。 解： 且 又 两式相减得 所以 说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】 1. （1） 解：原式 说明：把看成整体，利用平方差公式分解。（2）（2）解：原式 （3）（3）解：原式 2. 已知：，求的值。解： 3. 若是三角形的三条边，求证：分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。 证明： 是三角形三边 且 即4. 已知：，求的值。解 ，即 5. 已知是不全相等的实数，且，试求 （1）的值；（2）的值。分析与解答：（1）由因式分解可知 故需考虑值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（1） 又 而 不全相等 （2） 原式 而，即 原式 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。因式分解分组分解法【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ） 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式 故选择C 例2. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 解法2： 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 解： 4、中考点拨 例1.分解因式：_。 解： 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 解： 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式：_ 解： 说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示： 例1. 分解因式： 解： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解：ab+cd= 说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。 例3. 分解因式： 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。 解一（拆项）： 解二（添项）： 说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】 1. 填空题： （1）解： （2）解： （3）解： 2. 已知：解： 说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3. 分解因式：解： 4. 已知：，试求A的表达式解： 5. 证明： 证明： 因式分解十字相乘法【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：，求x的取值范围。 分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。 解：（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 （2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解： 或 又 解得：或 长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一： 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） 是7的倍数 而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。 证明二：是7的倍数，设（m是整数） 则 又 x，m是整数，也是整数 所以，是49的倍数。4、中考点拨 例1.把分解因式的结果是_。 解： 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2.：因式分解：_ 解：说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示 例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在两种情况： 由（1）可得：，由（1）可得： 故选择C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。 求证： 证明： 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。 解：有一因式 当，即时， 说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。【实战模拟】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 在多项式，哪些是多项式的因式？3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. 已知：，求的值。【试题答案】 1. （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2. 解： 其中是多项式的因式。 说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设 则 解得：且 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设 比较同类项系数，得： 解得： 5. 解： 说明：用因式分解可简化计算。