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参数方程与极坐标
参数方程知识回顾：
一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．
二、二次曲线的参数方程
1、圆的参数方程：
中心在（x0，y0），半径等于r的圆：
　　（为参数，的几何意义为圆心角），
特殊地，当圆心是原点时，
注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。
Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：
（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。
Eg2：将下列参数方程化为普通方程
（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+
y=3sin y=cos y=t2+
总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域
2、椭圆的参数方程：
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：
　　（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）
注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：

Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。
3、双曲线的参数方程：
中心在原点，焦点在x轴上的双曲线： 　（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：
4、抛物线的参数方程：
顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：
　　（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）
直线方程与抛物线方程联立即可得到。
三、一次曲线（直线）的参数方程
过定点P0（x0，y0），倾角为的直线， P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反直线的参数方程 　　（t为参数，t的几何意义为有向距离）
说明：①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧
②｜P0P｜=｜t｜
直线参数方程的变式：，但此时t的几何意义不是有向距离，只有当t前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得
，让作为t，则此时t的几何意义是有向距
离。
Eg：求直线 x=-1+3t
y=2-4t，求其倾斜角.
极坐标知识回顾：
一、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点
A（1，）B（2，）C（3，-）
思考：上述点关于极轴以及极点的对称点
说明：（1）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位,即极径；④角度单位及它的方向，即极角．
（2）在极坐标系下，一对有序实数、对应唯一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不唯一，因为具有周期.
（3）如无特殊要求，则极径取正值.

直角坐标与极坐标的互化： 直角坐标（x，y）极坐标（，）

=
tan=
极坐标（，）直角坐标（x，y）
x=
y=
练习1：将下列直角坐标化为极坐标
A（1，-1） B（1，π）
练习2：将下列极坐标化为直角坐标
A（2，） B（1，2）
练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标
（1）（4，）（6，-）；（2）（4，）（6，）

二、直线的极坐标方程
⑴或+π ⑵ ⑶

⑷ ⑸

三、圆的极坐标方程
⑴ ⑵ ⑶

⑷ ⑸

四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）
设 =P

，
其中，当01为双曲线

考点一：直线参数方程中参数的意义．
1．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程为，即

（2）把直线代入得

，则点到两点的距离之积为
2．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。
解：设直线为，代入曲线并整理得
则所以当时，即，的最小值为，此时。
3．直线被圆截得的弦长为 .
【解析】： ，把直线代入
得
，弦长为
4．直线和圆交于两点，则的中点坐标为________
解： ，得，
中点为

考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定
1．直线与圆相切，则_______________。
2．在极坐标系中，已知圆与直线相切，求实数的值。
考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题
1．在极坐标系中，曲线 与 的交点的极坐标为______．
2.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点极坐标为 .
考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题
一、
1．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。
2．已知直线与直线相交于点，又点，则_______。
3．直线被圆截得的弦长为______________。
二、距离最大最小问题
4．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。
解：设椭圆的参数方程为，

当时，，此时所求点为。
5．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。
解：设，则即，
当时，；当时，。
考点五：极坐标方程与参数方程混合
1． 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|。
【解析】（Ⅰ）由得即
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
即由于，故可设是上述方程的两实根，
所以故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|==。
2． 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．
（I）求的方程；
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．
解：（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.
3.已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．
(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．

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