转变力做功问题的求法集锦.doc

变力的功求法集锦
第一.平均力法
1.基本依据：如果一个过程，若F是位移l的线性函数时，即F=kl+b时，可以用F的平均值 (F1 +F2)/2来代替F的作用效果来计算。
2.基本方法：先判断変力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力和末状态的力，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由求其功。
【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）
解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。，可用平均阻力来代替。
如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为：
第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为做功为：两次做功相等：解后有：
s
F
0

Kd+d′
d+d′
kd
d
C
A
B
D
练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
解： ∴此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F=kd，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，即解得
练习2：要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：钉子克服阻力做的功为：设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
所以
【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功？

解析：在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大，即F是一变力，求变力做功时，不能直接用Fscosα计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求变力做功转换为求恒力做功。F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx。因该力与位移成正比，可用平均力 求功，故。
【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
解析：木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。
木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降，水块上升（同体积的水块随木块的下降而上升）根据水的体积不变，则： 得 所以当木块下降时，木块恰好完全浸没在水中，所以木块恰好完全浸没在水中经到容器底部，压力为恒力所以
故压力所做的功为：
第二. 图象法
1.原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。
2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。
【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示,图线为半圆.则小物块运动到x0处时的动能为 ( ) 答案（C）
A.0 B. 1/2Fmx0 C.Fmx0 D.x02
【例2】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
分析与解：因为阻力，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出图象，如图所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有：（面积）即
【例3】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功。
此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是。
练习：放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。
分析：由题意作出图象如图所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即
第三.用公式求解
1.基本原理：在机车的功率不变时，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据求出来。
2.基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按求出这段时间牵引力的功。（在已知平均功率一定时，也可采用这种方法）
【例1】质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。
解析：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用来求解，但可用公式来计算。
根据题意，机车所受阻力，当机车速度达到最大值时，机车功率为： 根据，该时间内机车牵引力做功为：根据动能定理， 得牵引力克服阻力做功为：故阻力做功为：
练习1：质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
分析：汽车的功率不变，根据知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功，再由动能定理得：
所以
练习2：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间。
解析：牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过来求。汽车加速运动的时间为，由动能定理得：
汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则 即可求得汽车加速运动的时间为关闭油门后汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：可求得汽车匀减速运动的时间为则汽车运动的时间为：t＝t1＋t2＝50s＋48s＝98s
小结：对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。
第四.等效变换法：
1.基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用求解。
2.基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解。
【例1】 如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。 已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。
分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。
由图可知,在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移为：所以绳对物体做功：
变式：如图所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，AB的长度，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。
解析:同上，由几何关系可求得s，根据，。
【例2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h，空气的阻力大小恒为F，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）答案:C
A．0 B．－Fh C．－2Fh D．－4Fh
解析:从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，即
点拨:空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做功时，不可简单地套用功的计算公式得出W=0的错误结论.从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程小球路程的乘积。
第五.动能定理法
1.动能定理:合外力对物体做功等于物体动能的改变,或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。
2.基本思路：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，根据 ，其中是所有外力做功的代数和，△Ek是物体动能的增量，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
3.基本方法：了解哪些外力做功，哪些是恒力，哪些是变力以及确定物体运动的初动能和末动能，然后用动能定理列方程就可以求出变力的功。
【例1】 如图所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？
解析：物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A运动到B的过程中，弹力不做功；重力在物体由A运动到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即

【例2】如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F做功为（ ）
A. B. C. D.
解析：很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对Ｗ＝FLcosθ来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：
所以 ，故D正确。
【例3】某人用力将质量为m的小球,在高度为H处抛出,已知当小球刚要落地时的速度为V,则该人在抛球过程中对小球做的功为多少?
解析：在整个过程中,人及球的重力对球做功,人抛球时对球的作用力是变力,我们可应用动能定理利用球动能的变化求出此功。根据动能定理得:W+mgH=mv2/2解得:W=mv2/2-mgH。
【例4】如图示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道,长L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
解析：物体在从A滑到C的过程中,有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功, 根据动能定理可知:W外=0, 所以mgR-umgL-WAB=0即WAB=mgR-umgL=6(J)
【例5】如图所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点。物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。
解析：物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用：重力G、支持力和摩擦力。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。
由动能定理，其中所以代入数据解得
【例6】物体以初速度竖直上抛，落回抛出点时的速度为,试求此过程物体克服空气阻力所做的功。
解析：设此过程克服空气阻力所做的功为W，由动能定理有：解得：
A
R
B
C
【例7】如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
解析:设轨道AB段所受阻力对物体做功W,由动能定理得:解得:
小结：利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。这是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
第六.微元求和法
1.基本思路：⑴当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，（例如当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式做变通处理，两者同向时，；两者反向时，，式中的指的是物体的路程）且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。⑵变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
2.基本方法：求出力在位移方向上的分量求出曲线总长度，总功即为各个小元段做功的代数和
【例1】如图所示，某个力F＝10N作用于半径为R＝lm的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为
F
R

A.0 B.J C.10J D.J
【解析】 本题中F的大小不变，但方向时刻发生变化，属于变力做功的问题.可以考虑把圆周分割为很多的小段采研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致.所求的总功为：
【答案】B
【例2】如图6所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦因数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。
.
x
y
O
mg
mg

NiA
NiB
B
A
图7
图6
解析：小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是変力，故而摩擦力为一変力，本题可以用微元法来求。如图7，将小车运动的半个圆周均匀细分成n（）等分，在每段长的圆弧上运动时，可认为轨道对小车的支持力不变、因而小车所受的摩擦力不变，摩擦力的功可以用计算。当小车运动到如图所示的A处圆弧时，有则
当小车运动到如图所示的与A关于x轴对称的B处圆弧时，有则 由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为：于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为：
【例3】如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向。(g取10 m/s2)求这一过程中：(1)拉力F做的功。(2)重力G做的功。(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功。(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。
思路点拨：根据各个力的特点(是恒力还是变力)，选择相应的计算功的方法。（62.8J,-50J,0,-12.8J）
a
【例3】在光滑的桌面上，有一条粗细均匀的链条，全长为L，垂下桌边的那部分的长度为a，链条在上述的位置由静止释放，如图所示，则链条的上端离开桌边时，链条的速度为多少？
练习：长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？
解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。设整根链条质量为，则单位长度质量（质量线密度）为，设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得：解得
注：（1）对绳索、链条之类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的．能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键，一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能．至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末重力势能便于表示为宜．（2）此题也可运用等效法求解：绳索要脱离桌面时重力势能的减少，等效于将图中在桌面部分移至下垂部分下端时重力势能的减少．然后由 列方程求解
【例4】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过－光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某－端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？
解析：铁链的－端上升，－端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=El，和增量表达式ΔEP=－ΔEK分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．
（1）设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E1=0
滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，EP=－PLgL/4，Ek2=Lv2即终态E2=－PLgL/4＋PLv2
由机械能守恒定律得E2= E1有－PLgL/4＋PLv2=0，所以v=
（2）利用ΔEP=－ΔEK，求解：初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4，动能增量ΔEK=PLv2，所以v=
第七.机械能守恒法
【例1】如图所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析与解：由于斜面光滑,故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面,弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点,则：对状态A：对状态B：由机械能守恒定律得：
【例2】如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：EA= mgh+mV02/2对状态B：EB=－W弹簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。
小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功
第八. 功能原理法
1.功能原理：如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这时，除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。
2.基本思路：如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。
3.基本方法：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便
H
a
【例1】如图所示，面积很大的水池，水深为水面浮着一正方体木块，木块边长为，密度为水的，质量为，开始时，木块静止，现用力将木块缓慢往下压，求从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力所做的功。
解析：因为水池面积很大，故木块压入水中所引起的水深变化可忽略，木块刚好完全没入水中时，木块下方深度为空间内的水被排开，结果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为，其势能的增加量为：木块下降的高度，其势能的增加量为：根据功能关系，力所做的功为系统势能的增加量：
【例2】如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为， 求物体从A运动到B的过程中产生了多少热量。
h1

h2
图5
h1
h2
图6
A
B
解析：以AB为零势能点，则由A运动到B的过程中机械能变化为，则由功能原理， 由机械能转化为热能
【例3】两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度相等,则这过程中重力所做的功等于 .
解析：由于水是不可压缩的,把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管,如图中的斜线所示.最后用功能关系,重力所做的功等于重力势能的减少量,选用AB所在的平面为零重力势能平面,则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为:
所以重力做的功
【例4】如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?
解析：设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB.如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒.若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得: 又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故VB＝2VA由以上二式得 根据功能关系可解出杆对A、B做的功.对于A有对于B有
【例5】如图4所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？
分析:在人把物体竖立起来的过程中,人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用求解。该过程中,物体要经历图所示的状态,当矩形对角线竖直时,物体重心高度最大,重心变化为：由功能原理可知当时,最小,为:。
.
.
F

【例6】一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动。已知圆管半径r=0.10m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×103kg/m3 ，大气压P0=1.00×105Pa ，求活塞上升H=9.00m的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s2）。
解析：大气压P0能够支撑的水柱高度为 从开始提升到活塞至管内外水面高度差为10m的过程中，活塞始终与水面接触，设活塞上升，管外液面下降，则有：因液体体积不变，有：得 此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：活塞从上升到H的过程中，液面不变，拉力F是恒力，，则做功为：所求拉力所做的总功为：
第九. 能量守恒法
【例1】如图所示，一劲度系数的轻弹簧两端各焊接着一个质量为的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取）求：（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。（2）此过程中力F所做的功。
分析与解：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为，A上升的加速度为。A原来静止时，因受力平衡，有：
设使A刚做匀加速运动时的最小拉力为，有
B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为，对A有：
对B有：由位移公式，对A有：
由①④式，得：由⑤⑥式，解得
分别解②③得：
（2）力作用的0.4s内，在末状态有，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：
小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。
第十.用W=PV
一般用来求解液体或气体做功的情况，P为压强，V为液体或气体推进体积，其实该公式来源于功的计算式，设压强P的作用面积为S，推进的距离为L，则压力PS作用距离L时的功为PSL即PV。
【例1】人的心脏每跳一次大约输送的血液，正常人血压心脏压送血液的压强）的平均值约为，心脏约每分钟跳70次，据此估测心脏工作的平均功率为多大？
解析：心脏压缩血液一次做的功。 心脏每跳一次的时间所以心脏工作的平均功率
练习1：成年人正常心跳每分钟约75次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.37×104pa ，左、右心室收缩时射出的血量约为70mL，右心室对肺动脉的压力约为左心室的1/5，据此估算心脏工作的平均功率。
练习2：猎豹的心脏每跳一次输送2×10-4m3的血液，其血压（可看为心脏压送血压的压强）的平均值为3×104pa。心跳约每分钟跳60次，猎豹的心脏工作的平均功率为（ ）。
A.2W B.3W C.6W D.18W(6W)
第十一.转换参考系求变力做功
在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。
【例1】宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点A和B，质量分别为m和M，相距L，开始时A静止，B具有A、B连线延伸方向的初速度v，由于受外力F的作用，B做匀速运动。（1）试求A、B间距离最大时的F值；（2）试求从开始到A、B最远时力F做的功；
解析:此题中A在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，会因数学知识的限制而不易找出F作用的位移和A、B间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通过变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，从而简化了解题过程。
⑴将原来的惯性参照系记为S，相对B静止的参照系记为S’，在S’系中，B没有位移，所以力F做功为零，计算得以简化。在S’系中，A开始以v背离B运动，最后在万有引力的作用下减速到零，此时A、B间的距离最大，记为Lm。在S’系中，据机械能守恒，有所以此时A、B的万有引力为
⑵回到S系中，当A、B的间距达到Lm时，A、B都以v速度，根据功能原理，F力所做的功由⑴中知因此
求変力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法的问题，也可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解変力做功问题，需要掌握求解変力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。