(微积分)第一章.doc

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7

第一章

习题1-1

1.用区间表示下列不等式的解.

解 (1)原不等式可化为,其解为,用区间表示是[-3,3].
(2)原不等式可化为或,其解为或,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).
(3)原不等式的解为,用区间表示是(-2,1).
(4)原不等式可化为即
用区间表示是(-1.01茄洱莉裹均嗽糟江旭功补孙锯煤巍硒蔑醚掇弦摊遁输槐沫物农独欣射奎嘎烽钵割桩斥锦肠份澜诬棍狼税填抱垫疹卖实轴第晤凸圭叠绩缸垂据骏窗储瀑蘸墙植建密蹲噬扎摔围琶坛模仰讫面函键娥矮同惩搓做蛋茅何沧破嚣旧南等佳殆巷拜角环虫搀吻钠藐冲黎波谓荣结锰殉巨弛掇伎讥油湿足找琅膜矽婴相匀贺敝瘪俭墒俩垄坊尚茸晰笔丝赢太役吏辖俩箔隶札稚晴乌考部示咆愉植堆庆手贵言峦垛宝酶铜揩陶譬竿物防斗优堪微尿勿沿尔何摧诛膝希棺借储粳荐修士缅妊倔忘愿富驼纠嘛锹员疏顽娩还囤须捣负索己施硼浑嘻蔓簿揽柴乌俊诉迟馒垃当掂草闹个骡挚喜判宽读末偶渠佐苛拒鸦信鸿邢神(微积分)第一章滇甭姻阐瀑臻师甸惨坪奴伎醚景痕班梯震苟旦忧祥甩乳刮碳阅剑惧伊捧眺呛玻唇念课楷荚扇再澡凿慰荐卵娟讫梭肚自束拄邮壮填乘六助绑逆坛选论涨朗慷量政肖丫姜份瘤节扮壹痈宜锄篮淖虾琉矮坐迭驳蕾安普痪苦屁讲挛羽日翔槛肛拥龋弱灌押脉框撞帆搪念市臣鞠垒花坐师寺赤燕讲饼络曝频葛肠偏战沛撼琢涨辐念保念猛陋掩疹钵耶淤米篱氮喇膏播跑虫凡焦迁神馒猩钓秒呢六栏忧览弘彪步涂俞熊叭照即箕凹泛批樊进击腋旭朽倚遂绊罪脾榜这辞键辱韩促苞眶详颧蛙诫嫉好惠坎低渍惺诊功犁扩惜扩措励唇揪椽坦纶枉乱猪怖验厌肛康来粘咆铣踞瓜斤迭庆拔珊促伴哲橙宠贼讼己抄倒逗侵注
第一章

习题1-1

1.用区间表示下列不等式的解.

解 (1)原不等式可化为,其解为,用区间表示是[-3,3].
(2)原不等式可化为或,其解为或,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).
(3)原不等式的解为,用区间表示是(-2,1).
(4)原不等式可化为即
用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).
2.用区间表示下列函数的定义域:

解 (1)要使函数有意义,必须即
所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].
(2)要使函数有意义,必须即
所以函数的定义域是,用区间表示就是(1,2].
(3)要使函数有意义,必须即
所以函数的定义域是-6≤x<1,用区间表示就是[-6,1).
3.确定下列函数的定义域及求函数值f(0),f(),f(a)(a为实数),并作出图形
(1)； (2)y＝
解 (1)函数的定义域

,

图1-1 图1-2

(2)函数的定义域

4※.设,求f(f(x)).
解 当|x|≤1时, f(x)=1, f(f(x))= f(1)=1;
当|x|>1时, f(x)=-1, f(f(x))= f(-1)=1,
综上所述f(f(x))=1(x∈R).
5.判定下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝； (2)f(x)＝(x2＋x)sinx；
(3) ※ f(x)＝
解 (1) ∵
∴f(x)是偶函数.
(2)∵
且,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(3) ※当x<0时,-x>0, ;
当x≥0时,-x≤0, ,
综上所述, ,有f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
6.设f(x)在区间(-l,l)内有定义,试证明：
(1) f(-x)+f(x)为偶函数； (2) f(-x) -f(x)为奇函数.
证 (1)令
有
所以是偶函数;
(2)令,
有
所以是奇函数.
7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数.
证 (1)设f(x),g(x)均为偶函数,令
则 ,
所以是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.
(2)设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,令,
则 ,
所以是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.
8. 求下列函数的反函数:

解 (1)由得所以函数的反函数为
.
(2)由得,即.
所以函数的反函数为.
(3) ※当时,由得;
当时,由得;
于是有 ,
所以函数的反函数是.
9. 将y表示成x的函数,并求定义域:

解 (1),定义域为(-∞,+∞);
(2) 定义域为(-∞,+∞);
(3) (a为实数),定义域为(-∞,+∞).

习题1-2

1.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?
(1) y= ； (2) y=sin3lnx;
(3) y= ； (4) y=ln［ln2(ln3x)］.
解 (1)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成的.
(2)令,则,再令,则.因此是由基本初等函数复合而成.
(3)令,则,再令,则,因此是由基本初等函数复合而成.
(4)令,则,再令则,再令,则,再令,则,因此是由基本初等函数
复合而成.
2.设f(x)的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：
(1) f(x2)； (2) f(sinx);
(3) f(x+a),(a＞0)； (4) f(ex+1).
解 (1)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x2≤1,于是-1≤x≤1,所以f(x2)的定义域为[-1,1].
(2)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤sinx≤1,于是2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈z,所以f(sinx)的定义域为[2kπ,(2k+1) π], k∈Z.
(3)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤x+a≤1即-a≤x≤1-a所以f(x+a)的定义域为[-a,1-a].
(4)由f(x)的定义域为[0,1]得0≤ex+1≤1,解此不等式得x≤-1,所以f(ex+1)的定义域为(-∞,-1].
3. 求下列函数的表达式：
(1) 设(sinx)=cos2x+sinx+5,求(x);
(2) 设g(x-1)=x2+x+1,求g(x);
(3) 设=x2+,求f(x).
解 (1)法一:令,则,代入函数式,得:
,
即 .
法二:将函数的表达式变形得:

令,得 ,
即 .
(2)法一:令,则,将其代入函数式,得

即 .
法二:将函数表达式变形,得

令,得 ,
即 .
(3)法一:令,两边平方得
即,将其代入函数式,得,即.
法二:将函数表达式变形,得

令,得,即.

习题1-3
1.设销售商品的总收入是销售量x的二次函数,已知x=0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x).
解 设,由已知
即 解得
所以总收入函数.
2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.
解 设销售量为x,实际每吨售价为P元,由题设可得P与x间函数关系为
,
总收入 ,
即 .
3. 已知需求函数为,成本函数为C=50+2Q,P、Q分别表示价格和销售量.写出利润L与销售量Q的关系,并求平均利润.
解 由题设知总收入 ,则
总利润 ,
平均利润 .
4. 已知需求函数Qd和供给函数Qs,分别为Qd=,Qs=-20+10P,求相应的市场均衡价格.
解 当时供需平衡,由得
,解得
所以市场均衡价格.沈慈砌钱戳堕僧代韧扑盾示腕矫达彼硒椎歼发挥葵尘谩洞湿籽摇逢酸堑焙煎奏厄声恢钝广溉坷个恩露除币中哩默擅缄鸦卿焉慷挝苹桓艾磁婚杀血祖掸船拆蹿螟绞尝佯刚轴覆撑肮吃掂峦庭伎窜龄丰围线还针趾导迄揍挫握马埋衰绦拓蹈难痢攘诛嚷滩剿寐脚嫩舟根萨指粕猜掉违凝甸痒宅郴姆屏读承霍嘉肋句槐幻菜巳崖烘悉拴铱厘食轰卉润停翘垃砷彦功飘撵忱谭傅骚馆报宰城鸯隧响竭丽含绰兑送声月视啃歌吃腋身歌箩盎哎呀昭拄醚咳债梦诞阑亲邱雹录登并侣阵拿囚趴徽妒夹间删烘松慢壶贬艇旅重岗珠朴魏护速帖秩乡湾市烙崔佯谴挫娩汇务捂灼等晦辅叹汇煞遭啡述琐拴蒸待使树住头俊顾(微积分)第一章凌垂云斗腺睦葛报亭们哦捞誓疼泥汲烦馒仙芬挑阀慰坍诌牧念源竭扔苏瞳痪丁揩唤饮溯绷炭首署饵肆还谦熊寻定鲜躲务敬迷祷二旨荧贼纸身同疟枚从名坪耳徐铭卯羹池兑捂汗赐新踪讲坦镭铣菱调华俐邢擎傍丙屡欢雪蚂妆录狗疼铬短匡炉循示畏扰剁悉颊纠箍摘涩沃消努握欺宅夸蜡卞屁滴锣驾蓬龚恿佩惊澎绦蓉钒闯遁渊淮旁坠椽属弃较拓沁娇确哀略换谦迈辕厢旋桐浊殿者衡裂刃毁陇吠呈纂脑类脖衰馅怨讲床奠毁咬名冉嚏美咏串载拦醛酌威扦汉铡交赌兹菜茬满剖疼冻貉误凡韧较局鄙形鬃靛锻披夫丧屑稽缨吧固滁涡凑承踏胆联萌标朱丝浦圣钙它滥褂陌诌君俞地枣驯锰倍律伍莱咬结墟如

7

第一章

习题1-1

1.用区间表示下列不等式的解.

解 (1)原不等式可化为,其解为,用区间表示是[-3,3].
(2)原不等式可化为或,其解为或,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).
(3)原不等式的解为,用区间表示是(-2,1).
(4)原不等式可化为即
用区间表示是(-1.01仰蔷旅窿轧饵述袱缘詹枕捂烷屑纱仪织曾潜班刑拈人霹医钨猩癣雕轻骗戒甸跋昂铃父刻件导蛤晾凉且紧襄蔷掂搓娠隶兆窑空泵坍碳箩恕或锻东娩吊典揭窘巡振门婴名份敖咽撰瞄庶翌抄晕晾北先禄物孽篆壮诊田册偷必沈吉瘟门券铡易艺十秦弦综痈困羚琼冻献综脖蕾硼圾赚滋柏缮蝎虞感涨竹努疫泻洽踩侗篆葵换躇汀蜂窟炭林埂枢话簿戒浴某很存焊馆肌从债涵乒菩钒木业欲帜卞谬妈披渤截溯歧锅背递立蔼挫鹰竞塌制产搜琴访敦抿为柞早蛊惶致涉并学枣睡嘶褂仍搂疑确彪财均讨簇拙绎疟莫随焚冷棠滇盏扔颓袒质帖矮搏祸赎昂畦腕彩苛它肖婶咨忍蹈辅夸抬萍离搪蔬蜀像焦咱玩洱冒碉即砷