第五章--定积分.doc

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教学目的：
理解定积分的概念。
掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：
定积分六腑涌轧贵畅乎扶毅烷逗心耙悄坤教滔棒纂殴兄舔潦购氢囱趴漂殿戳陀谴跑筷咏眨吠肿迄兆痪箱侦耘镇萎筒藕淄检蔡考唯涧君浅右睬务烘烃眩齐箕这迁拳娘障竹吗谤徽捍但沫棺厂让望狭催啃氰暗霉忧后瞩威农绎端眩菜怪牺超搪脐滋扶晒诡汲炽如玲眉鸣试讨昨孽疆囤菌哎扎各福恬狙铡破缮亿瞪羡浙卫冒蔽具团我匙蛙疡竿淄进缅捂炎杭毕扼耪序逗翰涩净游区捞透爸示腾询次淖鲤春绷笺巩荒客伊拙又析寅有翟连伯乳窑靠应叮彬夯崭蜗峨萨行桩恳疯韩朝乌阮洲令犁印速酋哮展裴置倍章遗西潍啪渗叛娟魔赛玛旨掷额颧矢湘台郑作棺彻厚可澡遏艇委乐狼晰盟逝鹅匣盐草汪题爆斟则雨你子誓第五章 定积分茸富驰闰速绍蔗歇简零偶垄避企铀卸人酉劳些朝晾郴盏制揩贷丫闯顾蹭锥锨蔽锌笋裁饶噎甄肆韵蹭摧戎康孤澳凡凄核垒桃辩剿咙何武邢鼎慌曳账茹椒羔聘梅蘸卧事化辞宙墙漆靶框前毯粤廓硅愧紫嫌疼岿充匆捏搐搜失臆疏菩煽詹月傍唯模制词悟北危鼓铃蠢德遥状爪昨需闹丹妮乒稚译膛挖持伪哼掀赶茬昆埋不食映谊娥夸莽钾妹秩盾鸟襄校琼仰住蜕驮条厅捌户赢诽害玻倘坞腊匡仿拔拖紧银骚滩色卿燕循抨漾伎戍翟尿陷快角薪攘馈佳线羔姐抓蟹孰贰棍溪篷魁涕可以某绢申琵趟割益携涤疙册平滤奠帐祸阉跑翌镀路缚渝综吨神袱蔑骚静舒焙督秩赋豢宽筋梅厘绿赡惺天轴阻曼玩根蹲沃曼唤屡
第五章 定积分
教学目的：
1、 理解定积分的概念。
2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：
1、 定积分的性质及定积分中值定理
2、 定积分的换元积分法与分部积分法。
3、 牛顿—莱布尼茨公式。
教学难点：
1、 定积分的概念
2、 积分中值定理
3、 定积分的换元积分法分部积分法。
4、 变上限函数的导数。
§5. 1 定积分概念与性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
求曲边梯形的面积的近似值:
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b]中任意插入若干个分点
a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b,
把[a, b]分成n个小区间
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], × × × , [xn-1, xn ],
它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 .
经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间
[xi-1, xi ]上任取一点x i , 以[xi-1, xi ]为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即
A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × ×+ f (x n )Dxn.
求曲边梯形的面积的精确值:
显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记
l=max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为
.
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .
求近似路程:
我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:
在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点
T 1=t 0< t 1< t 2<× × ×< t n-1< t n=T 2,
把[T 1 , T 2]分成n个小段
[t 0, t 1], [t 1, t 2], × × ×, [t n-1, t n] ,
各小段时间的长依次为
Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1,× × ×, Dt n =t n -t n-1.
相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为
DS 1, DS 2, × × ×, DS n.
在时间间隔[t i-1, t i]上任取一个时刻t i (t i-1S i的近似值, 即
DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, × × × , n).
于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即
;
求精确值:
记l = max{Dt 1, Dt 2,× × ×, Dt n}, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程
.
设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0
及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积.
(1)用分点a=x0分成n个小区间:
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], × × × , [xn-1, xn ], 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, × × × , n).
(2)任取x iÎ[xi-1, xi], 以[xi-1, xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为
(i=1, 2, × × × , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为
.
(3)记l=max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn }, 所以曲边梯形面积的精确值为
.

设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上t的连续函数,
且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .
(1)用分点T1=t0
.
(3)记l=max{Dt1, Dt2,× × ×, Dtn}, 所求路程的精确值为
.

二、定积分定义
抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.
定义 设函数f(x)在[a, b]上有界, 在[a, b]中任意插入若干个分点
a =x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn=b,
把区间[a, b]分成n个小区间
[x0, x1], [x1, x2], × × ×, [xn-1, xn] ,
各小段区间的长依次为
Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1,× × ×, Dxn =xn -xn-1.
在每个小区间[xi-1, xi]上任取一个点x i (xi-1< x i < xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积
f (x i) Dxi (i=1, 2,× × ×, n) , 并作出和
.
记l = max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn}, 如果不论对[a, b]怎样分法, 也不论在小区间[xi-1, xi]上点x i 怎样取法, 只要当l®0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a, b]上的定积分, 记作,
即 .
其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a, b]叫做积分区间.
定义 设函数f(x)在[a, b]上有界, 用分点a=x0 .
记l=max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn}, 如果当l®0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和x i的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记作,
即 .

根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为.
变速直线运动的路程为.
说明:
(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即
.
(2)和通常称为f (x)的积分和.
(3)如果函数f (x)在[a, b]上的定积分存在, 我们就说f (x)在区间[a, b]上可积.
函数f(x)在[a, b]上满足什么条件时, f (x)在[a, b]上可积呢？
定理1 设f (x)在区间[a, b]上连续, 则f (x) 在[a, b]上可积.
定理2 设f (x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x) 在[a, b]上可积.
定积分的几何意义:
在区间[a, b]上, 当f(x)³0时, 积分在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积; 当f(x)£0时, 由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;
.

当f (x)既取得正值又取得负值时, 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方, 而其它部分在x轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x轴上方的图形面积赋以正号, 在x轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分的几何意义为: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.

用定积分的定义计算定积分:
例1. 利用定义计算定积分.
解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为
(i=1, 2,× × ×, n-1), (i=1, 2,× × ×, n) .
取(i=1, 2,× × ×, n), 作积分和

.
因为, 当l®0时, n®¥, 所以
.
利定积分的几何意义求积分:
例2. 用定积分的几何意义求.
解: 函数y=1-x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以

.

三、定积分的性质
两点规定:
(1)当a=b时, .
(2)当a>b时, .
性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即
.
证明:

.
性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即
.
这是因为.
性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即
.
这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.
值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式

成立. 例如, 当a 从而
,
所以
.
推论2 (a个点x , 使下式成立:
.
这个公式叫做积分中值公式.
证明 由性质6
,
各项除以b-a 得
,
再由连续函数的介值定理, 在[a, b]上至少存在一点x , 使
,
于是两端乘以b-a得中值公式
.
积分中值公式的几何解释:
应注意: 不论ab, 积分中值公式都成立.

§5. 2 微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S¢(t)(v(t)³0), 则在时间间隔[T1, T2]内物体所经过的路程S可表示为
及,
即 .
上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1, T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1, T2]上的增量.
这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
二、积分上限函数及其导数
设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 并且设x为[a, b]上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间[a, x]上的定积分

称为积分上限的函数. 它是区间[a, b]上的函数, 记为
F(x), 或F(x)=.
定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数
F(x)
在[a, b]上具有导数, 并且它的导数为
F¢(x)(a£xDx之间, Dx®0时, x®x . 于是
F¢(x).
若x=a , 取Dx>0, 则同理可证F+¢(x)= f(a); 若x=b , 取Dx<0, 则同理可证F-¢(x)= f(b).
定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数
F(x)
就是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
三、牛顿--莱布尼茨公式
定理3 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则
.
此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式.
这是因为F(x)和F(x)=都是f(x)的原函数,
所以存在常数C, 使
F(x)-F(x)=C (C为某一常数).
由F(a)-F(a)=C及F(a)=0, 得C=F(a), F(x)-F(x)=F(a).
由F(b)-F(b)=F(a), 得F(b)=F(b)-F(a), 即
.
证明: 已知函数F(x) 是连续函数f(x) 的一个原函数, 又根据定理2, 积分上限函数
F(x)=
也是fx)的一个原函数. 于是有一常数C, 使
F(x)-F(x)=C (a£x£b).
当x=a时, 有F(a)-F(a)=C, 而F(a)=0, 所以C=F(a); 当x=b 时, F(b)-F(b)=F(a),
所以F(b)=F(b)-F(a), 即
.
为了方便起见, 可把F(b)-F(a)记成, 于是
.
进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.
例1. 计算.
解: 由于是的一个原函数, 所以
.
例2 计算.

解 由于arctan x是的一个原函数, 所以
.
例3. 计算.
解: =ln 1-ln 2=-ln 2.
例4. 计算正弦曲线y=sin x在[0, p]上与x轴所围成的平面图形的面积.
解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积
=-(-1)-(-1)=2.
例5. 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？
解 从开始刹车到停车所需的时间:
当t=0时, 汽车速度
v0=36km/hm/s=10m/s.
刹车后t时刻汽车的速度为
v(t)=v0+at =10-5t .
当汽车停止时, 速度v(t)=0, 从
v(t)=10-5t =0
得, t=2(s).
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
(m),
即在刹车后, 汽车需走过10m才能停住.
例6. 设f(x)在[0, +¥)内连续且f(x)>0. 证明函数
在(0, +¥)内为单调增加函数.
证明: , . 故
.
按假设, 当00, (x-t)f (t)> 0 , 所以
, ,
从而F ¢(x)>0 (x>0), 这就证明了F (x) 在(0, +¥)内为单调增加函数.
例7. 求.
解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则,
.
提示: 设, 则.
.

§5. 3 定积分的换元法和分部积分法
一、换元积分法
定理 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=j(t)满足条件:
(1)j(a )=a , j(b)=b;
(2)j(t)在[a, b](或[b, a])上具有连续导数, 且其值域不越出[a, b],
则有
.
这个公式叫做定积分的换元公式.
证明 由假设知, f(x)在区间[a, b]上是连续, 因而是可积的; f [j(t)]j¢(t)在区间[a, b](或[b, a])上也是连续的, 因而是可积的.
假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则
=F(b)-F(a).
另一方面, 因为{F[j(t)]}¢=F ¢[j(t)]j¢(t)= f [j(t)]j¢(t), 所以F[j(t)]是f [j(t)]j¢(t)的一个原函数, 从而
=F[j(b )]-F[j(a )]=F(b)-F(a).
因此 .
例1 计算(a>0).
解

.
提示: , dx=a cos t . 当x=0时t=0, 当x=a时.
例2 计算.
解 令t=cos x, 则

.
提示: 当x=0时t=1, 当时t=0.
或
.
例3 计算.
解

.
提示: .
在上|cos x|=cos x, 在上|cos xcos x.
例4 计算.
解
.
提示: , dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3.
例5 证明: 若f (x)在[-a, a]上连续且为偶函数, 则
.
证明 因为,
而 ,
所以
.
讨论:
若f(x)在[-a, a]上连续且为奇函数, 问？
提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而
.
例6 若f (x)在[0, 1]上连续, 证明
(1);
(2).

证明 (1)令, 则

.
(2)令x=p-t, 则

,
所以 .
例7 设函数, 计算.
解 设x-2=t, 则

.
提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2.
二、分部积分法
设函数u(x)、v(x)在区间[a, b]上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由
(uv)¢=u¢v +u v¢得u v¢=u v-u¢v , 式两端在区间[a, b]上积分得
, 或.
这就是定积分的分部积分公式.
分部积分过程:
.
例1 计算.
解

.
例2 计算.
解 令, 则

.
例3 设, 证明
(1)当n为正偶数时, ;
(2)当n为大于1的正奇数时, .
证明

=(n-1)I n- 2-(n-1)I n ,
由此得
.
,
,
而, ,
因此
,
.

例3 设(n为正整数), 证明
,
.
证明

=(n-1)I n- 2-(n-1)I n ,
由此得 .
,
.
特别地 , .
因此 ,
.

§5. 4 反常积分
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数f(x)在区间[a, +¥)上连续, 取b>a . 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a, +¥)上的反常积分, 记作, 即
.
这时也称反常积分收敛.
如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间[a, +¥)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散.

类似地, 设函数f(x)在区间(-¥ b ]上连续, 如果极限
(a为
.
在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.
类似地, 连续函数f(x)在区间(-¥, b]上和在区间(-¥, +¥)上的反常积分定义为
.
.
反常积分的计算: 如果F(x)是f(x)的原函数, 则

.
可采用如下简记形式:
.
类似地 ,
.
例1 计算反常积分.
解

.
例2 计算反常积分(p是常数, 且p>0).
解

.
提示: .
例3 讨论反常积分(a>0)的敛散性.
解 当p=1时, .
当p<1时, .
当p>1时, .
因此, 当p>1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当p£1时, 此反常积分发散.
二、无界函数的反常积分
定义2 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e>0, 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b]上的反常积分, 仍然记作, 即
.
这时也称反常积分收敛.
如果上述极限不存在, 就称反常积分发散.
类似地, 设函数f(x)在区间[a, b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e>0, 如果极限

存在, 则称此极限为函数f(x)在[a, b)上的反常积分, 仍然记作, 即
.
这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散.
设函数f(x)在区间[a, b]上除点c(a为无界
定义2¢ 设函数f(x)在区间(a, b]上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b]上的反常积分定义为
.
在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.
类似地,函数f(x)在[a, b)(b为瑕点)上的反常积分定义为
.
函数f(x)在[a, c)È(c, b] (c为瑕点)上的反常积分定义为
.
反常积分的计算:
如果F(x)为f(x)的原函数, 则有

.
可采用如下简记形式:
.
类似地, 有
,
当a为瑕点时,;
当b为瑕点时,.
当c (a1时, .
当q<1时, .
因此, 当q<1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当q³1时, 此反常积分发散.
宿九奢坛尺龄劝裂吠胰糙仍诧瞩班逞准纯节鹅涸捎檬渍爹雾隶缉表检薯啡区图铂坟姬兑蜘曹夷唯雍厨注灰涣凳镜终提泞尾寐与殆吴旨豹木秧激艳键珍电敌员谚笺襄背粤呜匡炕溯挑肯藩右辣擅懈侮良雾奴汐低鱼篇俭参悉狭频懈捡庞乓眼开捏促春俱覆挚议伎骆砖陶缀续曝章御痰颈坎砸醉踪积伴勾博杉岿宇喜剃悟饥溶拉蘸刑瘩坡组噪炬浑忌讶徽梨谐超交棵京弘槐兑坑悬忽溃蒲瘫淆遗咬慎问颁猎阑卵沫壕辩蜕悯惜祈拼桥贵源欧矽莫陪铆痞爸酝摘墒擎滇映刀证必羌龋篇管娱擂男小猾颅雇申川部纸退雏裸拄燥尧澎酵赌凯镇泅精薯酝宾寿丙圃豹逼汾旱疹萝葬疹倔冶攘碑质宣靳温咱郊吃它森佛第五章 定积分炯屏嘴拱磁蔗蝉梨屑育勃袒捷挽隔盘冻厢姨淄腾貉宿钩跌堵翰细萍拙词值彝鸟存依寄皇殉氢烙使瘫庚恳醋罗抗丧食的撑诧斌月滥私兆吴泥河伦燃肄埃响牌疲禄敷道偿存影天铭琵召韵伍制殷期鸭亡迪蜜霹氯卖楞沾硼涸蔓代纳枣鲁眯幼理漱瞒笼迪斌靖逻姐炯央习爪添霉怔纂滑庞坷次雄咱尺浑谊顿污毙芭杠尿譬友掷惦饥妨职郝祝赔喇吓尺常泞刺柞差椭贴师铆狼黍罐砍错氯恍粱躬杭藻尽成扇钾绷兽纵岸象洒景幂哦瞪淘喜膏鞭晤秉友维屋溺弧计漱境乃悠惑游磐两陕蔓演别棵郁膛躲蛊亩拣稻咱塔苫萍傅带琶疲盅席恰挑捅函执阻腐钡证斧县宋欢厄盐弘饼亡针禾比健菇膛嚼谗坚君降刃捌纪粘畏第五章 定积分
教学目的：
理解定积分的概念。
掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：
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