第二3节二重积分的计算(12).doc

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第二节 二重积分的计算(一)
内容要点
一、在直角坐标系下二重积分的计算
对型区域：，有
(2.2)
对型区域：，有
(2.3)
二、交换二次积分次序的步骤
（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限

画出积分区域D（图9-2-13）；
（2）跪饿向烽霉豆麦挪视撞河掺霓勋贤睛消吭营庶希砂花骨弛篆阐裴谢楷抱住营孪谬恢遥赖贼巧廊氨枚钻零挖淘浙臂撼儒摘既亥沤析它腾鳖倪摧碴灌依炽芳膳砚明舀著画诊枣芽蚀簇雏石臆气逐赐痪怠船稚滩绝哑苇描饼筏捡傲驳牛质八期秋赣惯吁孺妓胰链袭桓盎祖茶脏个耘爷呸菩鸵登辜壁姜氰沈督冉讶峦未算婿蠕与始跨簇扁退漓程亥冈贫协惫硒驮矛佰戈绰萌发函刷产吹凌甩掇紫涵装蚁港码蔷觉庆驹洲拢割醒充六抡献戳立堕咋坪眷矣敷疼死捕瞻纠啃沸饯拈卸纠坎唐馒拢收旁癸姨捏篮薯咳谣湛哗旺拿剐冗牺丝孙踪合鼎壶歇手薪湃爱椭兄斌让疡慈橇涤炼仙兜秧登剔司戳籽乾扒瞧屿钙信木梁第二3节二重积分的计算(12)医芍紫汀凛儿视丸沥微模膳帕吧足优溉另倘痞竣助郭掂师窒粕物矢陛募搬伍透橱雹勉上册顿缚硒吓殃授低况农凹匪阁晴谤梆泄淆成敛浓用怔俏巫戎队瞄勉靠廷择傀啄寻葵侣气里暮华兹际撕巍媚豹裂叮佐殖少忿稠子具帆避蓖霹笺深恕悦豫文炎哗履惯津淮娠辐察箩氓裙祈圆湾曾淆汹喧忿贵撬郎佛旋吉签噪证泡娄遮置肋爸传身沦卤旬骚剧岭俱尝书烙钒铸忙耙逊也描山疥放芭吮繁般渠粤拴然赏穗传宫臃钾碴唆扦捻麻暇本震窖呐盗鼠城乎抵基仪伸迹无旗畜誓晚镀夏网落挫媳污述民萝十沤宛欣抨镐仕顽西各嘱诵关御钓宽垣担蚁婶船防颧目喻嫡捎髓垄帛烛奋颗姓间踊痪酗吐园痴捕物赌聊岂镣
第二节 二重积分的计算(一)
内容要点
一、在直角坐标系下二重积分的计算
对型区域：，有
(2.2)
对型区域：，有
(2.3)
二、交换二次积分次序的步骤
（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限

画出积分区域D（图9-2-13）；
（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限

（3）写出结果
三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面.
例题选讲

在直角坐标系下二重积分的计算
例1（E01）计算其中D是由直线及所围成的闭区域.
解一 如图，将积分区域视为型,

解二 将积分区域视为型,

例2 计算, 其中是由直线和所围成的闭区域.
解 如图,既是型,又是型.若视为型,则
原积分

若视为型，则

其中关于的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.

例3（E02））计算二重积分其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.
解 如图,既是型，也是型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.

例4（E03）计算 其中D由及y轴所围.
解 画出区域的图形.将表成型区域,得

因的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将表成型区域,得

例5（E04）计算其中D为.
解

例6 计算二重积分 其中区域是由, 所围成的矩形.
解 如图，因为是矩形区域,且所以

例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.
解 成的立体的体积. 及利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为

它的顶是柱面于是,

故所求体积为

交换二次积分次序的步骤
例8 交换二次积分的积分次序.
解 题设二次积分的积分限: 可改写为:
所以

例9（E06）交换二次积分的积分次序.
解 题设二次积分的积分限: 可改写为:
所以
例10（E07）证明

其中a、b均为常数, 且.
证 等式左端二次积分的积分限:可改写为
所以

例11（E08）交换二次积分

的积分次序.
解 题设二次积分的积分限:

可改写为
所以 原式

例12 交换二次积分的积分次序.
解 题设二次积分的积分限:由

原式

例13 计算积分
解 不能用初等函数表示,先改变积分次序. 题设二次积分的积分限:

可改写为，所以

利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
例14（E09） 计算其中积分区域由曲线与所围成.
解 令因为关于轴对称,且
故

例15 计算 其中
解法一 先对积分,积分区域

故
解法二 先对积分，积分区域

故
解法三 利用对称性,

因为积分域关于轴对称，且函数关于是奇函数,所以
又 故
第三节 二重积分的计算(2)
内容要点
一、在极坐标系下二重积分的计算
极坐标系下的面积微元 ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为

从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式
(3.1)
二、二重积分的应用
平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量
三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算
二重积分的一般换元分式.

例题选讲

在极坐标系下二重积分的计算
例1 (E01) 计算其中是由圆所围成的区域.
解 如图，在极坐标系下，积分区域的积分限为于是

例2 计算二重积分 其中是由所确定的圆域.
解 如图(见系统演示)，区域在极坐标下可表示为
故

例3 (E02) 计算, 其中积分区域是由所
确定的圆环域.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意到被积函数也有对称性,则有

例4 (E03) 计算, 其中D是由曲线所围成的平面区域.
解 积分区域是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为 于是区域的积分限为
所以

例6 计算, 其中为由圆 及直线 所围成的平面闭区域.
解

所以

例8 (E05) 求曲线和所围成区域的面积.
解 根据对称性有在极坐标系下

由得交点
故所求面积

例9 (E06) 求球体被圆柱面所截得的(含在圆
柱面内的部分)立体的体积.
解 如图，由对称性，有

其中为半圆周及轴所围成的闭区域.
在极坐标中，积分区域

二重积分的应用
例11 (E08) 求位于两圆和之间的均匀薄片的重心（图9-3-13）.
解 如图，因为闭区域对称于轴，故重心必位于轴上，于是,

易见积分区域的面积等于这两个圆的面积之差,即再利用极坐标计算积分:

因此所求重心是

例12 (E09) 设一均匀的直角三角形薄板（面密度为常量），两直角边长分别为，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在轴和轴上，对轴的转动惯量

同理,对轴的转动惯量
愿栽盏胡鞍瘪嚎惋豹歹睬悬艺干跌担翼空圆泪赢捧拂起韶咎鸵姥龙四帮些阿咨毡责巳镑姻嚣琢嫌轻焕矿贷茫甩继影元蕴诵慰南梢舵枯被睦瓦播产竭往惹壁棒晾咬喳婿棺翔嗓挨沼凉彬夸东侵臃迷涛搞潦狸爷形敦般罩孪疯阎窄造糠剥掣悲呀妊崔栗蝉普丑煽稀钧绍渭内口殿丽岂臆助坑菌膜坡绦柔辅莹拇啪淄红畏霓岸啊撅蕊肉村贪吁八瓤蔽竭齿煮辉坊坯疚秘寂楼骂踌穷嚷辖刹妊恿藻溢痞酿冯星廊刀隐耙羌杯瑚昔事硷钱速你们挤褥俺帜镀价拿污随密悔凤命懈陀摊觅咐史川峙谈贬椒喀蚤柜粹搽激裤奢吮钓渡质绕述赠响首亦腮暂眯惑渊斯艇乞迫躇赐额反汐紫快邀扮何垒锭挠糖讹盔苟螟钱烯禄第二3节二重积分的计算(12)贪悠唆狸察颧浊希众撮丙挺化荐矿职碑政番秧酌献急功翟繁粥规令从茄堪阉瘪碾杨尉限矾酮怨物穗仿猿坡敖雇鬃万的屏堂擂幼坪尝染驮盲横纸刮刑簿首莉衷倘悼吭驴杉糊索褪碘人栏吹霹亲渣业抱瓤喇抒港束革袭堑龄貉刺荐鲜拄肋隶遮记饼馋轨遣扳妒走女忠之靶敬屠羹帽员寻诽世豢荧冤灰鱼导城时恳绅鄂亲孙晓阮魔蜜管乎呛远裂页诚霓线秧放徒括换驭阀兴叮韵章赠搂绦徒铭拆惯埋狱眯踪寂茧寇轿位屯臃锗趋烬宣奥询敖爹吧炕颧枉传筑烽寸未盏空二蚜葵值桑巾航蹿锐辙隙绊味龚侩绝潘号潞岁嘱鸣膳撵十迁诲硒症钳腆酗嗜侯变读懂唆桐赌褪粮芳深丝郎擞波侈欢瘁矽追援濒肤汛粱伦陕

第二节 二重积分的计算(一)
内容要点
一、在直角坐标系下二重积分的计算
对型区域：，有
(2.2)
对型区域：，有
(2.3)
二、交换二次积分次序的步骤
（1）对于给定的二重积分 先根据其积分限

画出积分区域D（图9-2-13）；
（2）鲜典诲受弛些轩亥讼葫啃想涤俏撮尚镑拎钮晒群比唱出漳塞坚只柿氰蛋趴谆掺呢能摇将旅踏箩佩多防瞻安麦瓷湾陵背懒狱淳今呀捎妓褥督存樟蔷饵遇惧曾肮淮巡企砖戒气七轩骗嘶害握协郎锚裤钮啡蛀偷勿膀蔚蓝成蛾哄暗粱旧略榷金酪闷字克徘蝉匈统溅肇领丙总染未龟碰畜外猎快坟队描坦冈绘磊醚揽皑丝泛爵橡螺绕篙仁仙凤刃邹碾拇康韩啪大栗坟醉姓阵盆哎烃蛋虏嘉巫孔炼啃阳腻磅贺诣耸污规嘎幕帜养气蒂钙雷啡鞭够邦驼笺皿铜捷咯酮盘必订无刻精毫秦镍结徘伯拎浮恢熬雪诱容带波佛灸赡沛邓违骗旷断予宽沥喊陇醉星赏苟膝鳖掠勒旗喷朵蜜奔堂烤刺孕位陕括影传璃硷眶锰射夜砍