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10大研发团队评选投稿
基于VaR方法对大连豆粕期货价格的波动性研究
天琪期货 于瑞光

2009-11-25

期货市场的保证金交易机制决定了期货市场高收益与高风险相伴而行，各类投资者参与期货交易的目的虽不尽相同，但是如何有效地防范风险却是市场参与者的共同追求。本文选用当前国际金融市场管理风险的主流方法---VaR方法，以大连豆粕期货为例进行实证研究，通过GARCH模型估算出该品种在各交易日的动态标准差，进而估算出大连豆粕期货在下一交易日的最大波动范围。实证结果表明，在对应的置信区间内，利用本文所述方法能有效地帮助豆粕期货投资者进行事前风险防范，同时也有助于期货公司对客户持仓风险进行有效评估。

一、VaR 方法介绍

VaR（Value at Risk）是近年发展起来的一种风险测量技术，因其能比较准确地反映出金融市场风险状况且易于理解，有助于金融机构或投资者对金融资产进行事前风险监控和事后风险评估，在金融市场风险测量及风险管理领域得到广泛应用。
VaR字面含义是指“处于风险中的价值”，学术界一般将其定义为在市场正常波动下，某一金融资产或资产组合的最大可能损失，或者说VaR就是 在一定置信水平下，某一金融资产或资产组合在未来一定期间内的最大潜在损失值。
VaR模型化的一般描述为：
其中，Prob 为事件发生的概率；
为金融资产在持有期t内的损失；
为给定的置信水平；
VaR为在给定置信水平下的风险价值，即可能的损失上限。
举例说明，假定某公司某项金融资产在95％的置信水平下日VaR值为100万元，其含义是指，可以以95％的概率保证该公司该项金融资产在未来24小时之内，由于市场价格变动而带来的损失不会超过100万元。
对于一项金融资产或资产组合，根据VaR的定义，也可以写出它的一般化表达式，即在正常市场条件下给定一定置信水平下资产或资产组合的预期价值与最低价值之差：即，
其中为资产或组合的初始价值，为预期收益，为一定置信水平 下的最低收益率。如果我们知道收益率的分布，那么VaR的计算将变得容易，可以用直接求得VaR。 比如收益率，那么通过计算标准正态分布的上分位点即可，并根据求出相应于置信水平下的, 即：，从而可以得到

依据上述定义可知，在选定持有期、置信水平和观察期后，我们只要能计算出金融资产或组合的标准差σ，就可求出其VaR的值。
二、VaR的计算方法
根据是否对收益分布做出假设，计算VaR的方法可分为三类(Manganelli and Engle,2001):参数方法(也称为分析法，包括各种正态参数法、加权平均法等)；非参数方法(包括历史模拟法和蒙特卡洛模拟法)；半参数方法(包括极值理论等)。
 参数方法现已成为学术界研究和应用VaR的主流方法，本文将重点介绍参数方法的使用。在计算VaR的参数方法中，波动性模型和估值模型是其核心和难点。不同的波动性模型和估值模型构成了VaR计算的不同方法。
早期计算VaR的参数方法一般假设收益率服从常见的正态分布，然后根据正态分布的统计特征，如期望、方差再进一步计算VaR，但是此方法估计出的静态参数无法充分反应实际收益率动态变化的特征，常常导致VaR值被低估。进一步的研究中，学者根据金融数据中存在的尖峰厚尾性、波动集聚及爆发性、自相关及序列相关性等特征提出不同的动态参数模型，ARCH（自回归条件异方差）模型即是其中有代表性的模型之一。
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布，均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)，动态方差为过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方差模型。
   ARCH模型通常采用的数学表达式为：

其中，为被解释变量，为解释变量，为误差项。如果误差项的平方服从AR(p)过程，即：
，t =1、2、3……
    其中，独立同分布，并满足E()＝0, D()= , 此时，称序列服从p阶的ARCH的过程   
ARCH(p)模型在实际应用中为了得到较好的拟合效果常需要较大的阶数。这不仅增加了待估参数的个数，而且还会引发解释变量多重共线性等其他问题。为了弥补这一弱点，Bollerslev于1986年在ARCH(p)模型中增加了q个自回归项，推广成GARCH(p,q)模型。GARCH 模型适合在计算量不大时, 方便地描述高阶的ARCH 过程, 因而具有更大的适用性。用较为简单的GARCH模型代表一个高阶ARCH模型，使待估参数大为减少，从而模型的识别和估计都变得比较容易，解决了ARCH模型固有的缺点。
一般的GARCH(p, q)模型可以表示为：

是在t-1时刻的条件方差，为独立同分布的随机变量，与互相独立，一般常假定为标准正态分布。大量经验研究发现，对大部分金融时间序列而言，GARCH (1, 1)模型就已经足够。GARCH (1, 1)模型的条件方差表示为：
三、基于大连豆粕期货的实证分析
本文在实证分析中，以大连豆粕期货为研究对象，通过测量大连豆粕期货的日VaR值预测其在下一交易日的波动范围。本文选取的持有期为1天，置信水平分别选取90%，95%和99%， 数据采用天琪期货研发部提供的2008年5月19日—2009年11月24日各交易日大连商品交易所豆粕期货的交易数据，为使数据更具代表性，本文选取最近两个交易周期内的豆粕期货5月合约的收盘价为数据样本，样本数据共计370个。
收益率序列是对大连豆粕期货收盘价根据以下公式计算：

1. 大连豆粕期货收益率的时间序列分析
根据收益率序列，我们利用统计分析软件做出以下四个统计分布图，这四个图从不同的角度说明了大连豆粕期货具有典型的“厚尾”与“集群”等统计特性，并且不符合正态分布特征。
（1）大连豆粕期货收益率分布图

（2）大连豆粕期货收益率走势图

（3） Q-Q分布图

（4）大连豆粕期货收益率频率分布图

2. 大连豆粕期货收益率的平稳性检验
在运用GARCH模型估算标准差之前，须检验收益率序列是否满足平稳性要求。本文用单位根方法检验收益率时间序列的平稳性，检验结果如下所示：

结果表明，ADF=-19.93138，远小于3个临界值，因此，大连豆粕期货收益率序列不存在单位根，即大连豆粕期货收益率序列为平稳序列。
3. 大连豆粕期货收益率自相关检验
对大连豆粕期货收益率序列的一阶差分序列做10阶滞后量求得自相关系数值与偏自相关系数值，如下表所示。由此可知，大连豆粕期货收益率序列的一阶差分序列存在显著的低阶自相关性。

4. 大连豆粕期货收益率异方差性检验
对大连豆粕期货收益率序列进行LM异方差检验，结果如下：
ARCH(q)
LM 值
概率
结论
Q=1

14.13125

0.000199

存在异方差
Q=2
8.645012
0.000244
存在异方差

5. GARCH模型计算的VaR结果
因大连豆粕期货日收益率为平稳序列，一阶差分序列存在自相关性，收益方程采用2阶自回归方程，经过反复试算，GARCH模型的滞后阶数(p,q)为(1,1)比较合适，以下为GARCH(1,1)模型在正态分布假设下的计算结果：

Model
α0
α1
β1
GARCH(1,1)
-0.777979
-0.353279
-3.57e-05

(-14.90786)
(-6.766425)
（-0.080226）
注：括号内数字为参数估计的z统计量。

从模型的估计参数来看，各参数均在5%置信水平下显著。对估计残差做异方差效应的LM检验，结果如下所示：

ARCH Test:

F-statistic
0.105440
    Probability
0.745585
Obs*R-squared
0.105995
    Probability
0.744751

由F和LM统计量所对应的概率均大于0.05可知模型误差序列不存在显著的自回归条件异方差现象，因此上述模型能较好的刻画大连豆粕期货收益率异方差现象。

将上述模型估计的各条件标准差值代入计算公式：
中，分别取90%，95%和99%的置信水平，即可得出VaR值的动态序列。

大连豆粕期货下一交易日收盘价的VaR值可以表示为：上一日收盘价动态标准差。
根据计算得到的VaR值，可以分别算出下一交易日大连豆粕期货收盘价的上边界和下边界值。计算公式分别为：
      收盘价上界（VaR上界）＝上一日收盘价+VaR                 
  收盘价下界（VaR下界）＝上一日收盘价-VaR          
下图为大连豆粕期货真实收盘价与在90%置信水平下用VaR方法预测的收盘价走势图该图表明在大部分时间里，大连豆粕期货收盘价格运行在本文用VaR方法所预测的价格区间内。

6． 异常数据分析
从走势图中无法精确衡量VaR方法的有效性，因此，本文分别统计了不同置信水平下每日实际收盘价超出预测的VaR上、下界的次数和比率。
置信水平
实际收盘价超VaR上下界

次数
比率
90%
62
16.95%
95%
37
10.13%
99%
7
1.91%

从统计数据可以看出，在90%和95%的置信水平下，大连豆粕期货实际收盘价超出预测值的比率均在置信水平的保证范围内，只有在99% 置信水平下预测的效果欠佳，但对于一般的风险管理要求，90和95%的置信水平基本可以满足实际风险管理的需要。

7． 具体运用举例
我们以2009年11月24日大连豆粕期货运行情况加以说明，该日大连豆粕期货5月合约的收盘价为3037， 利用上述分析方法计算得到该日90%置信区间下VaR值为46.15984，意味着我们有80%的把握认为在11月25日大连豆粕期货5月合约会运行在2990和3083之间，即11月25日大连豆粕期货5月合约的涨跌幅度在±1.52%范围内运行的可能性为80%，涨跌幅低于-1.52%和高于+1.52%的概率各为10%。实际上11月25日大连豆粕期货5月合约的收盘价为3069，全天上涨1.05%，该指标落在VaR 方法预测的范围内。因此，投资者可在事前合理的估计出下一交易日市场的风险范围。另外，对于期货公司而言，同样可以对客户的保证金进行事前风险分析。我们假设期货公司收取大连豆粕期货5月合约的保证金比例为10%，某帐户在11月24日豆粕5月合约的保证金占用金额为100万元，根据计算的VaR值，当客户的持仓方向与市场运行方向相反时，期货公司仍有90%的把握认为该帐户在11月25日收盘时所面临的保证金最大损失不会超过15.2万元，并可提前采取措施告知客户追加相应的保证金额度。

四、研究结论
VaR方法在预测未来期货价格波动范围以及投资者持仓头寸的风险控制方面具有重要的指导意义。本文的实证研究可为市场参与者在分析和研究大连豆粕期货的风险状况提供参考，而分析的过程和分析方法同样适用于其他期货交易品种。
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