文科立体几何解答题类型总结及其答案.doc

《立体几何》解答题
1.(2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD , AD⊥BD，点E , F分别是AB ， BD的中点。
求证：（Ⅰ)直线EF∥平面ACD；（Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD。
2。（2009年江苏卷）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,
E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C
求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）平面A1FD⊥平面BB1C1C.
A
B
C
M
N
A1
B1
C1

(第1题) (第2题） （第3题) (第4题）
3。 如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠ACB＝90°，M、N分别为A1B、B1C1的中点.
（Ⅰ)求证：BC∥平面MNB1;(Ⅱ）求证：平面A1CB⊥平面ACC1A1．
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝BC＝CC1，AC⊥BC， 点D是AB的中点。
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1; (Ⅱ)求证：AC1∥平面CDB1；
(Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？
5。 如图,已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点,Ｅ为BC的中点。
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AB1E；（Ⅱ）求直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值；
(Ⅲ）求三棱锥C－ABD的体积。
6。如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为AA1的中点。
求证：（Ⅰ)A1C∥平面FBD;（Ⅱ）平面FBD⊥平面DC1B。
（第5题) （第6题) （第7题）
7。 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
(Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；(Ⅱ)求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；
(Ⅲ）如果AB＝1,一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、
C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由。
8。 正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1，设B1DBC1＝F。
（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；(Ⅱ）求证：BC1⊥平面AB1D。（第8题）
9。 如图所示,在直四棱柱ABCD－A1B1C1中,DB＝BC， DB⊥AC,点M是棱BB1上一点。
（Ⅰ)求证:B1D1∥面A1BD;(Ⅱ）求证：MD⊥AC；（Ⅲ）试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D。
10。 四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形,∠BAD＝60°,
若PA＝PD＝5,平面PAD⊥平面ABCD。

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积； (Ⅱ）求证：AD⊥PB;
(Ⅲ）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论？
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

（第9题） （第10题) （第11题) （第12题）
11。 如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE,F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥BE;
（Ⅱ)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点．求证:MN∥平面DAE．
12。 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3,BC＝2 ，
D是BC的中点,F是CC1上一点,且CF＝2，E是AA1上一点,且AE＝2.
（Ⅰ） 求证:B1F⊥平面ADF；（Ⅱ)求证:BE∥平面ADF.
13. 如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD＝60°,Q为AD的中点。
（Ⅰ)若PA＝PD,求证:平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM＝tPC,试确定实数t的值,使得PA∥平面MQB。
14。 如图，在四棱锥P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC，
△PAD是等边三角形，已知AD＝4， BD＝，AB＝2CD＝8。
(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD？（Ⅲ)求四棱锥P－ABCD的体积．
A
B
C
M
P
D

（第13题) (第14题）
（第16题)
16。 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D， E， F分别为AA1, CC1, AB的中点，
M为BE的中点， AC⊥BE。 求证:
（Ⅰ)C1D⊥BC；（Ⅱ)C1D∥平面B1FM。
17.如图，已知直角梯形ABCD中,AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2,CD＝1＋,
过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC。
（Ⅰ）求证:BC⊥面CDE;（Ⅱ）求证:FG∥面BCD；
D
C
P
A
B
（第18题）
（Ⅲ）在线段AE上找一点R,使得面BDR⊥面DCB，并说明理由。

（第17题)
18。 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°,
平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAD⊥平面ABCD.（Ⅰ）求证:PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ)若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.
19. 如图四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E是PD的中点,F为ED的中点.
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；(Ⅱ）求证：CF∥平面BAE。 （第19题）
20. 如图, ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD,AB＝4a，BC＝CF＝2a，P为AB的中点。
（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面体PCEF的体积。
（第20题) （第21题)
21。如图， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, ∠ACB＝90°， E， F, G分别是AA1 ,AC , BB1的中点，且CG⊥C1G。
(Ⅰ）求证:CG∥平面BEF;（Ⅱ）求证:CG⊥平面A1C1G。
22. 如图甲，在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.
现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.
（Ⅰ）求证:PA⊥平面ABCD; (Ⅱ)求证:平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE。
23. 已知△BCD中，∠BCD＝90°,BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD， （第23题）
∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点,（)。
（Ⅰ)求证：不论为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;（Ⅱ）当为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
《立体几何》解答题参考答案
1. 证明：（Ⅰ）∵E、F分别是AB、BD的中点， ∴EF是△ABD的中位线 ∴ EF∥AD
又∵EF面ACD，AD面ACD, ∴直线EF∥面ACD
（Ⅱ）∵AD⊥BD, EF∥AD, ∴EF⊥BD， ∵CB＝CD，F是BD的中点， ∴CF⊥BD
又EFCF＝F， ∴BD⊥面ECF， ∵BD面BCD, ∴面EFC⊥面BCD
2。 证明：（Ⅰ）因为E， F分别是A1B, A1C的中点，所以EF∥BC，
又EF平面ABC，BC平面ABC，所以EF∥平面ABC；
（Ⅱ)因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以BB1 ⊥平面A1B1C1，BB1 ⊥A1D，又A1D⊥B1C。
所以A1D⊥平面BB1C1C,又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C。
A
B
C
M
N
A1
B1
C1

（第1题) （第2题） （第3题） (第4题)
3。 证明：（Ⅰ)因BC∥B1C1， 且B1C1平面MNB1， BC平面MNB1,故BC∥平面MNB1．
（Ⅱ）因BC⊥AC，且ABC－A1B1C1为直三棱柱,
故BC⊥平面ACC1A1．因BC平面A1CB， 故平面A1CB⊥平面ACC1A1．
4。证明：（Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴平面ABC⊥平面A1ABB1，∵AC＝BC，点D是AB的中点,
∴CD⊥AB, 面ABC面A1ABB1＝AB ∴CD⊥平面A1ABB1
(Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1
∵DE平面CDB1 , AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1。
(Ⅲ）存在点M为B。由（Ⅰ)知 CD⊥平面A1ABB，又 A1B平面A1ABB,∴CD⊥A1B
∵AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．
∴A1A : AB＝BD ： BB1＝1：, ∴A1B⊥B1D， 又CDB1D＝D， ∴A1B⊥平面CDB1。
5. 解：（Ⅰ）∵棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，且E为BC的中点,∴平面ABC⊥平面BCC1B1，
又AE⊥BC且AE平面ABC， ∴AE⊥平面BCC1B1
而D为CC1中点，且BD平面BCC1B1∴AE⊥BD
由棱长全相等知Rt△BCD≌Rt△B1BE，
即，
故BD⊥B1E,又AEB1E＝E，∴BD⊥平面AB1E
(Ⅱ）由AE⊥平面BCC1B1知∠AB1E是直线AB1与平面BB1C1C所成的角，设为
∵正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2 ， ∴在Rt△AEB1中
（Ⅲ）
6. 证明：（Ⅰ）连结AC，设ACBD＝O.
∵F为AA1的中点,O为AC的中点∴FO∥A1C
∵A1C平面BFD,FO平面BFD ∴A1C∥平面BFD
（Ⅱ）设正方体棱长为1 .∵
∴∴FO⊥OC1
又∵AA1⊥平面ABCD ∴ AA1⊥BD ∵ BD⊥AC ∴BD⊥平面A1ACC1
∵ FO平面A1ACC1∴ BD⊥FO ∵ BDC1O＝O ∴ FO⊥平面BDC1
∵FO平面BFD ∴平面BFD⊥平面C1BD
另证:∵∴Rt△FAO∽Rt△OCC1∴∠FOA＝∠OC1C
∴∠FOA＋∠COC1＝∠OC1C＋∠COC1＝90° ∴∠FOC1＝90° ∴FO⊥OC1
7。 (Ⅰ)证明：连结BD。在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1.
又 E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD。∴EF∥B1D1.
又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1。
(Ⅱ）证明:在长方体AC1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,
而B1D1平面A1B1C1D1，∴ AA1⊥B1D1。
又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1。
又 B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
(Ⅲ）解：最小值为。如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，
而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点,所求的最小值为。
8。 证明：（Ⅰ）连结A1B， 设A1B与AB1交于E， 连结DE
∵点D是BC的中点,点E是A1B的中点∴DE∥A1C
∵A1C平面AB1D ， DE平面AB1D ∴ A1C∥平面AB1D
（Ⅱ）∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点 ∴ AD⊥BC
∵平面ABC⊥平面B1BCC1 ，平面ABC平面B1BCC1＝BC，AD平面ABC
∴ AD⊥平面B1BCC1∵BC1平面B1BCC1∴ AD⊥BC1
∵点D是BC中点，BC＝BB1∴BD＝BB1
∵∴ Rt△B1BD∽Rt△BCC1
∴∠BDB1＝∠BC1C， ∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90° ∴ BC1⊥B1D
∵B1DAD＝D ∴BC1⊥平面AB1D
9。(Ⅰ）证明:由直四棱柱，得BB1∥DD1 ，且BB1＝DD1.所以BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD
M
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
N1
O
而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD
（Ⅱ）证明:因为BB1⊥面ABCD,AC面ABCD，所以BB1⊥AC
又因为BD⊥AC,且，所以AC⊥面BB1D
而MD面BB1D,所以MD⊥AC
(Ⅲ）当点M为棱BB1的中点时, 平面DMC1⊥平面CC1D1D
取DC的中点N， D1C1中点N1， 连结NN1交DC1于O, 连结OM.
因为N是DC中点, BD＝BC， 所以BN⊥DC；
又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1,
所以 BN⊥面DCC1D1
又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON, 即BMON是平行四边形，
所以BN∥OM，所以OM平面, 因为OM面DMC1, ai所以平面DMC1⊥平面。
10。 解：（Ⅰ) 过P作PM⊥AD于M, ∵面PAD⊥面ABCD， ∴PM⊥面ABCD， 又PA＝PD＝5
∴M为AD的中点且PM＝, ∴
（Ⅱ）证明：连结BM, ∵BD＝BA＝8， AM＝DM， ∴AD⊥BM
又AD⊥PM , BMPM＝M
∴AD⊥面PMB 又PB面PMB ∴AD⊥PB
(Ⅲ）能找到并且F为棱PC的中点
证法一：∵F为PC的中点,∴EF∥PB， 又由（Ⅱ)可知AD⊥面PMB,
∴AD⊥DE,AD⊥EF
∴AD⊥面DEF, 又AD面ABCD， ∴面DEF⊥面ABCD
证法二:设CMDE＝O， 连结FO， ∴O为MC的中点
在△PMC中FO∥PM， ∵PM⊥面ABCD， ∴FO⊥面ABCD
又FO面DEF， ∴面DEF⊥面ABCD
11。 证明:（Ⅰ)因为BC⊥平面ABE,AE平面ABE,所以AE⊥BC,
又BF⊥平面ACE，AE平面ACE，所以AE⊥BF,
又BFBC＝B,所以AE⊥平面BCE， 又BE平面BCE,所以AE⊥BE．
（Ⅱ）取DE的中点P，连接PA ，PN,因为点N为线段CE的中点．
所以PN∥DC，且，
又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
所以AM∥DC,且，
所以PN∥AM，且PN＝AM,故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP
而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN∥平面DAE。
12。证明：(Ⅰ）因为 AB＝AC， D为BC的中点，所以AD⊥BC
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC,AD平面ABC，
所以AD⊥BB1 ，又BCBB1＝B, 所以AD⊥平面BCC1B1 ，
又B1F平面BCC1B1，所以AD⊥B1F，
在矩形BCC1B1中, C1F＝CD＝1,CF＝C1B1＝2，
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1, 所以 ∠CFD＝∠C1B1F
所以 ∠B1FD＝90°， 所以B1F⊥FD，又ADFD＝D，
所以B1F⊥平面ADF。
(Ⅱ）连结EF， EC，设ECAF＝M,连结DM, 因为AE＝CF＝2， 又AE∥CF，AC⊥AE,
所以四边形AEFC是矩形，所以M为EC中点，又D为BC中点，所以MD∥BE ，
因为MD平面ADF, BE平面ADF，所以BE∥平面ADF。
13。 解:(Ⅰ）连结BD，四边形ABCD是菱形∵AD＝AB，∠BAD＝60°
∴△ABD为正三角形，Q为AD的中点， ∴AD⊥BQ
PA＝PD , Q为AD的中点,∴AD⊥BQ 又BQPQ＝Q,
∴AD⊥平面PQB， 又AD平面PAD, ∴平面PQB⊥平面PAD
（Ⅱ）当时，使得PA∥平面MQB，连结AC交BQ于N，
交BD于O,则O为BD的中点,又BQ为△ABD边AD上的中线,
∴N为正△ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则，。
∵ PA∥平面MQB ， PA平面PAC ，平面PAC平面MQB＝MN , ∴PA∥MN
即：， ∴。
14。解：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD＝4, BD＝， AB＝8，∴． ∴ AD⊥BD
又 ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD， ∴平面MBD⊥平面PAD。
(Ⅱ)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD.
证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．
∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．
∵AB＝2CD， ∴ CN ： NA＝1 ： 2．又 ∵CM ： MP＝1 ： 2,
∴CN : NA＝CM : MP∴PA∥MN。
∵ PA平面MBD，MN平面MBD，∴ PA∥平面MBD。
（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P－ABCD的高。
又 ∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴。
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高．
∴梯形ABCD的面积。 故.
16。 证明:(Ⅰ）由直三棱柱可知CC1⊥平面ABC, 所以CC1⊥AC
又因为AC⊥BE,CC1BE＝E， AC⊥面BCE，所以AC⊥BC
又在直三棱柱中，CC1⊥BC， ACCC1＝C，
故BC⊥平面ACC1A1 , C1D平面ACC1A1 ， 所以BC⊥C1D
（Ⅱ）连结AE，因为C1E∥DA ，且C1E＝DA,
所以四边形ADC1E为平行四边形，所以C1D∥EA,
在△AEB中，因为M， F分别为BE, BA的中点，所以MF∥EA,
所以C1D∥MF，又C1D平面B1FM，MF平面B1FM，
所以C1D∥平面B1FM
17. 证明：（Ⅰ）由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC， AEEC＝E，∴DE⊥平面ABCE，
∴DE⊥BC又BC⊥CE， DEEC＝E ，∴BC⊥平面DCE
（Ⅱ）取AB中点H ,连接GH , FH。 ∴GH∥BD, FH∥BC，
∴GH∥平面BCD， FH∥平面BCD
∴平面FHG∥平面BCD, ∴GF∥平面BCD (或证明CQ∥FG）
(Ⅲ）当R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面BDC。
证明：取BD中点Q,连结DR ， BR ， CQ ， RQ
计算得，
在△BDR中，
延长BQ到S使SQ＝RQ,则在平行四边形BRDS中, 对角线的平方和等于四边的平方和。
由可知，
∴在△CRQ中, ,∴CQ⊥RQ
又在△CBD中， CD＝CBQ为BD的中点,∴CQ⊥BD， BDRQ＝Q
D
C
P
A
B
（第18题）
∴CQ⊥平面BDR , 又CQ平面BDC, ∴平面BDC⊥平面BDR
18。 解：（Ⅰ)因为∠ABC＝90°,AD∥BC，所以AD⊥AB。
而平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB平面ABCD＝AB，
所以AD⊥平面PAB， 所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA。  
由于AB、AD平面ABCD，且ABAD＝C，所以PA⊥平面ABCD。
（Ⅱ）(解法一）不平行。
证明：假定直线l∥平面ABCD，
由于l平面PCD,且平面PCD平面ABCD＝CD, 所以∥CD.
同理可得l∥AB， 所以AB∥CD。
这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,
故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行。
（解法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD＝T。
由TCD,CD平面PCD得T平面PCD.同理T平面PAB。
即T为平面PCD与平面PAB的公共点,于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.
所以直线与平面ABCD不平行。
19. 证明:(Ⅰ)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD，
又AC⊥CD，且ACPA＝A， 所以CD⊥平面PAC，
又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．
（Ⅱ）解法一：取AE中点G,连接FG，B G．
因为F为ED的中点,所以FG∥AD且FG＝AD．
在△ACD中,AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝AD，所以BC＝AD．
在△ABC中,AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
从而∠ACB＝∠DAC,所以AD∥BC．
综上，FG∥BC，FG＝BC，四边形FGBC为平行四边形,所以CF∥BG．
又BG平面BAE,CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．
解法二：延长DC与AB交于G点,连接EG．
因为在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠CAB＝60°，
所以∠CAB＝∠CAD， 即AC为∠DAG的平分线．
又AC⊥CD，所以AG＝AD,C为DG中点，又F为ED的中点．
所以CF∥EG．
根据EG平面BAE，CF平面BAE，所以CF∥平面BAE．
20。 解：（Ⅰ）因为ABCD为矩形，AB＝2BC， P为AB的中点，
所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC＝45°.
同理可证∠APD＝45°.所以∠DPC＝90°，即PC⊥PD.
又DE⊥平面ABCD,PC在平面ABCD内,所以PC⊥DE。
因为DEPD＝D ,所以PC ⊥PDE 。
又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE。
（Ⅱ）因为CF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD，
所以DE∥CF。 又DC⊥CF，
所以
在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q,则PQ∥BC，PQ＝BC＝2a。
因为BC⊥CD,BC⊥CF,所以BC⊥平面PCEF，所以 PQ⊥平面DCEF,
亦即P到平面DCEF的距离为PQ＝2a.
(注：本题亦可利用求得）
21。证明：（Ⅰ）连结AG交BE于D， 连接DF ， EG。
∵ E ， G分别是AA1 ， BB1的中点，∴AE∥BG且AE＝BG，
∴四边形AEGB是平行四边形.∴ D是AG的中点，
又∵ F是AC的中点， ∴DF∥CG
则由DF面BEF， CG面BEF， 得CG∥面BEF
(注:也可证明平面A1CG∥平面BEF）
(Ⅱ) ∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中,C1C⊥底面A1B1C1， ∴C1C⊥A1C1 。
又∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°, 即C1B1⊥A1C1, ∴A1C1⊥面B1C1CB
而CG面B1C1CB， ∴ A1C1⊥CG
又CG⊥C1G， ∴CG⊥平面A1C1G
22。 解:（Ⅰ）证明:因为PA⊥AD, PA⊥AB， ABAD＝A，所以PA⊥平面ABCD。
(Ⅱ）证明：因为BC＝PB＝2CD，A是PB的中点，所以ABCD是矩形,
又E为BC边的中点，所以AE⊥ED。
又由PA⊥平面ABCD,得PA⊥ED, 且PAAE＝A， 所以ED⊥平面PAE，
而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE。
（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H,再过H作GH∥PD交PA于G， 连结FG.
由FH∥ED， ED平面PED， 得FH∥平面PED；
由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，
又FHGH＝H，所以平面FHG∥平面PED。所以FG∥平面PDE。
再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN，
易知H是AM的中点，G是AN的中点，
从而当点G满足AG＝AP时,有FG∥平面PDE.
23。 证明：（Ⅰ)∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且ABBC＝B, ∴CD⊥平面ABC.
又∵()
∴不论为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论为何值， 恒有平面BEF⊥平面ABC。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC。
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴∴
由AB2＝AE·AC 得， ∴
故当时，平面BEF⊥平面ACD。
7