抛物线点差法word版本.doc

点差法————抛物线中点弦问题中的妙用

定理 在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有
，得

又.
.
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.
同理可证，在抛物线中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.
典题妙解
例1 抛物线的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
解：，焦点在轴上. 设弦的中点M的坐标为.
由得：，
整理得：.
所求的轨迹方程为.故选B.
例2 抛物线上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ）
A. （＞） B. （＞） C. （＞） D.
解：由得，，焦点在轴上. 设平行弦的中点M的坐标为.
由得：，
.
在中，当时，.
点M的轨迹方程为（＞）.
故答案选A.
例3 （03上海）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是___________.
解：，焦点在轴上. 设弦MN的中点P的坐标为，弦MN所在的直线的斜率为，则
由得：，
从而.
所求的中点坐标是.
例4 抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在 上，求抛物线的方程.
解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.
由得：，

又点在圆上，

解之得：或
由得：
直线与抛物线有两个不同的交点，
＞0.
m＜，或m＞0.

故所求的抛物线方程为
例5.已知抛物线上永远有关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围.
解：设抛物线上A、B两点关于直线对称，且弦AB的中点为.

O x
y
A
B
P
根据题意，点P在直线上，，.
又
由，得：，.
又由，得：.
点在抛物线的开口内，
＜.
解之得：＜.
故实数的取值范围.
例6. （05全国Ⅲ文22）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.
（Ⅱ）当时，求直线的方程.
解：（Ⅰ），.
设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.
若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.
若直线的斜率存在，则其方程为，.
由得：，.
若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.
当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.
综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.
（Ⅱ）当时，
由得：.
所求的直线的方程为，即
金指点睛
1. 已知直线与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是________.
2. 直线与抛物线交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标是2，则=____.
3. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，直线被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为，则抛物线C的方程为____________.
4. 设为抛物线的弦，如果这条弦的垂直平分线的方程为，求弦所在的直线方程.
5. 过点作抛物线的弦AB，若弦AB恰被Q平分，则AB所在的直线方程为_______.
6. 已知抛物线上有不同的两点A、B关于直线对称，求实数的取值范围.
7. （05全国Ⅲ理21）设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在y轴上的截距的取值范围.
8. (08陕西文理20) 已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. 解：，，. 直线的斜率为1.
由得：.
代入求得.
线段AB的中点坐标是.
2. 解：，，.
在中，时，，若PQ中点的纵坐标是.
由得：，即.
解之得：或.
由得：.
直线与抛物线交于不同的两点，

解之得：＞且.
.
由得：. 即.
设，则.
.
3. 解：，，.
由得：.
AB所在的直线方程为，即.
4. 解：设抛物线的方程为（m＞0）.
在中，斜率为，时，. 弦AB的中点M的坐标为.
由得：，.
所求的抛物线的方程为.
5. 解：，，. 弦所在直线的斜率为1. 设弦的中点坐标为.由得：.
弦的中点也在直线上，.弦的中点坐标为.
弦所在的直线方程为，即.
6. 解：设弦AB的中点为.
根据题意，，.
又，，.
由，得：，.
又由，得：.
点在抛物线的开口内，
＜.
解之得：＞.
故实数的取值范围.
7. 解：（Ⅰ），.
设线段AB的中点为，直线的斜率为，则.
若直线的斜率不存在，当且仅当时，AB的垂直平分线为轴，经过抛物线的焦点F.
若直线的斜率存在，则其方程为，.
由得：，.
若直线经过焦点F，则得：，，与相矛盾.
当直线的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.
综上所述，当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F.
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，，直线的方程为，
它在y轴上的截距，.
直线AB的方程为，即.
代入并整理得：.
直线AB与抛物线有两个不同交点，
＞0，即＞0.
＞.
y
O x
M
B
N
A
故在y轴上的截距的取值范围是.
8.（Ⅰ）证明：，设点M的坐标为.
当时，点M在y轴上，点N与原点O重合，抛物线C
在点N处的切线为x轴，与AB平行.
当时，由得：.
. 得点N的坐标为.
设抛物线C在点N处的切线方程为，即.
代入，得：，
整理得：.
y
O x
M
B
N
A
，
，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.
故抛物线C在点N处的切线与AB平行.
（Ⅱ）解：若，则，即.
.
，
.
由得.
设，则.
.
. 即.
化简，得：，即.
.
故存在实数，使.

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