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反比例函数——动点、面积专题

1、已知反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣3，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，3m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是12，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣23n+9的值．

2、已知：反比例函数y=kx（k≠0）经过点B（1，1）．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；
（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，32m﹣1）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是22，求代数式n2+2n﹣23的值．

3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数y=mx的图象的一个交点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）在反比例函数y=mx的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：y=2x（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；
（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．

5、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

6、如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），且始终有OP=OQ．
（1）求证：a=d，b=c；
（2）P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M、N．
①求证：PQ∥P1Q1；
②求四边形PQNM的面积S能否等于85？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

反比例函数——动点、面积专题解答

1、已知反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣3，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，3m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是12，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣23n+9的值．
考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；旋转的性质。
专题：综合题。
分析：（1）由于反比例函数y=kx的图象经过点A（﹣3，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；
（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点P（m，3m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是12，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣23n+9的值．
解答：解：（1）由题意得1=k﹣3，解得k=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=﹣3x；
（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC=3， AC=1，
∴OA=OC2+AC2=2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=3，OD=12OB=1，∴B点坐标为（﹣1，3），
将x=﹣1代入y=﹣3x中，得y=3，∴点B（﹣1，3）在反比例函数y=﹣3x的图象上．
（3）由y=﹣3x得xy=﹣3，∵点P（m，3m+6）在反比例函数y=﹣3x的图象上，其中m＜0，
∴m（3m+6）=﹣3，∴m2+23m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是12，∴12OM•QM=12，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+23mn2+n2=0，
∴n2﹣23n=﹣1，∴n2﹣23n+9=8．
点评：本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=﹣1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．
2、已知：反比例函数y=kx（k≠0）经过点B（1，1）．
（1）求该反比例函数解析式；
（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；
（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，32m﹣1）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM的面积是22，求代数式n2+2n﹣23的值．
分析：（1）函数式y=kx，且过（1，1）点，代入可确定k的值，从而求出函数式．
（2）因为△OAB是等腰直角三角形，旋转后求出A′和B′的坐标，从而求出A′B′中点的坐标，可判断是否在双曲线线上．
（3）因为EH=n，0M=m，△OEM的面积是22，从而可求出n和m的关系式，因为F在反比例函数图象上，代入函数式，可求出结果．
解答：解：（1）反比例函数解析式：y=1x；（1分）
（2）∵已知B（1，1），A（2，0）∴△OAB是等腰直角三角形∵顺时针方向旋转135°，
∴B′（0，﹣2），A′（﹣2，﹣2）∴中点P为（﹣22，﹣2）．（2分）
∵（﹣22）•（﹣2）=1（3分）∴点P在此双曲线上．（4分）
（3）∵EH=n，0M=m ∴S△OEM=12OM•EH=12mn=22，∴m=2n（5分）
又∵F（m，32m﹣1）在函数图象上 ∴m（32m﹣1）=1．（6分）
将m=2n代入上式，得32（2n）2﹣2n=1，∴n2+2n=3，∴n2+2n﹣23=﹣3．（7分）
点评：本题考查反比例函数的综合应用，关键是知道用已知点确定反比例函数式k的值，进而确定函数式，以及反比例函数上的点，和由这点做顶点的三角形的面积的关系．
3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数y=mx的图象的一个交点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）在反比例函数y=mx的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题。
分析：（1）从图象上可看到正比例函数y=kx和反比例函数y=mx都过（1，2）点，从而可求出函数式．
（2）P是反比例函数上的一点，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，所以△OPA的面积是12m，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，Q点的坐标为（x，kx），所以根据△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍可列方程求解．
解答：解：（1）∵y=kx过（﹣1，2）点，∴k=﹣2，∴y=﹣2x．∵y=mx过（﹣1，2）点，∴m=﹣2．∴y=﹣2x；
（2）∵△OPA的面积是12m=1，Q点的坐标为（x，﹣2x），∴12•|x|•|﹣2x|=2，x=±2，
因为在第二象限所以Q点的坐标为（﹣2，22），或（2，﹣22）．
点评：本题考查反比例函数的综合运用，关键能够熟练确定函数式，并能够掌握由函数图象上的点作为顶点的三角形面积和函数坐标之间的关系．
4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：y=2x（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时S1的最大值；
（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．
考点：反比例函数综合题；一次函数的图象。
专题：计算题。
分析：（1）已知M点坐标，根据M点在一次函数：y=﹣x+4的图象上，代入把M点纵坐标用x表示出来，从而表示出矩形MM1OM2的面积为S1；（2）观察图形S1、S2，观察反比例函数在一次函数上方还是下方，从而比较其大小．
解答：解：（1）∵M的坐标为（x，y），M点在还函数y=﹣x+4的图象上，∴y=﹣x+4，
∴S1=xy=x（﹣x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，当x=2时，S1最大值=4；
（2）设N（x1，y1），点N在反比例函数：y=2x图象上，
∴S2=x1×y1=2，由S1=S2可得：﹣x2+4x=2，即x2﹣4x﹣2=0，∴x=2±2，
通过观察图象可得：
当x=2±2时，S1=S2，当0＜x＜2﹣2或x＞2+2时，S1＜S2，
当2﹣2＜x＜2+2时，S1＞S2．
点评：此题考查一次函数和反比例函数的性质及应用，学会通过图象比较面积的大小，比较简单．
5、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边
形OPCQ周长的最小值
考点：反比例函数综合题。
专题：压轴题。
分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）因为P（﹣1，﹣2）为双曲线Y=2X上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为2，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，
将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=12，所以正比例函数解析式为y=12x，
同样可得，反比例函数解析式为y=2x；
（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，12m），于是
S△OBQ=12|OB×BQ|=12×12m×m=14m2，
而S△OAP=12|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，14m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，2n），
由勾股定理可得OQ2=n2+4n2=（n﹣2n）2+4，所以当（n﹣2n）2=0即n﹣2n=0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=5，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（5+2）=25+4．10分）
点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．
6、如图，点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），且始终有OP=OQ．
（1）求证：a=d，b=c；
（2）P1是点P关于y轴的对称点，Q1是点Q关于x轴的对称点，连接P1Q1分别交OP、OQ于点M、N．
①求证：PQ∥P1Q1；
②求四边形PQNM的面积S能否等于85？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）由于点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个点，所以可用含a、c的代数式分别表示b、d，然后由OP=OQ，列出等式，将式子变形，即可得出结果；
（2）①首先求出点P1、Q1的坐标，根据（1）的结论，把点P1、Q1、P、Q四点的坐标都用含a、b的代数式分别表示，然后运用待定系数法分别求出直线PQ与直线P1Q1的解析式，发现它们的斜率相同，因而得出PQ∥P1Q1．
②如果设PP1与y轴交于点A，QQ1与x轴交于点B，过点P作PD⊥x轴于点D，则S△OPQ=S梯形PDBQ=12（a+b）（b﹣a）．设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出S△OMN的值，再根据四边形PQNM的面积S等于85，列出方程，求出解即可．
解答：解：（1）∵点P（a，b）和点Q（c，d）是反比例函数y=1x图象上第一象限内的两个动点（a＜b，a≠c），
∴ab=1，cd=1，即b=1a，d=1c．又∵OP=OQ，∴a2+b2=c2+d2，即a2+（1a）2=（1d）2+d2，
∴（ad﹣1）（a﹣d）=0∵ad≠1，∴a=d，同理可得b=c；
（2）①∵P1是点P（a，b）关于y轴的对称点，∴P1（﹣a，b），由（1）知，a=d，b=c，∴Q（c，d）即为Q（b，a），∵Q1是点Q关于x轴的对称点，∴Q1（b，﹣a），
运用待定系数法求得直线PQ的解析式为y=﹣x+a+b，直线P1Q1的解析式为y=﹣x+b﹣a，∴PQ∥P1Q1
②如图，设PP1与y轴交于点A，QQ1与x轴交于点B，过点P作PD⊥x轴于点D．
则S△OPQ=S五边形OAPQB﹣S△OAP﹣S△OQB=S五边形OAPQB﹣S△OAP﹣S△OPD=S梯形PDBQ=12（a+b）（b﹣a）．
设直线MN与y轴交于点E，PQ与y轴交于点C．
则C（0，a+b），E（0，b﹣a）
∴S△OMN：S△OPQ=（OE：OC）2=（b﹣aa+b）2，
∴S△OMN=12（a+b）（b﹣a）•（b﹣aa+b）2=12•（b﹣a）3a+b，
∴S四边形PQNM=S△OPQ﹣S△OMN=12（a+b）（b﹣a）﹣12•（b﹣a）3a+b
=12（b﹣a）•（a+b）2﹣（a﹣b）2a+b=12（b﹣a）•4a+b=85，
解得b=9a，∵ab=1，∴a=13，b=3．∴P（13，3）．
点评：本题综合考查了运用待定系数法求函数的解析式，反比例函数、相似三角形的性质等知识，难度很大．

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