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沈阳农业大学理学院第一学期期末考试
《高等代数》试卷（1）
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
2、得分
得分
一、 填空（共35分，每题5分）
1．设, 则 69_ ..
2．当 _2,-2 .时, 有重因式。
3. 令,是两个多项式, 且被整除, 则
0_ , _0 .
4. 行列式 23 。
5. 矩阵的积。
6.
7. 的一般解为
, 任意取值。
得分
二、（10分）令,是两个多项式。求证当且仅当。
证：必要性. 设。（1%）
令为的不可约公因式，（1%）则由知
或。(1%)
不妨设，再由得。故矛盾。(2%)
充分性. 由知存在多项式使
,(2%)
3、
从而,(2%)
故。(1%)
得分
三、(16分)取何值时，线性方程组
有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
解：
(5%)
当时，有唯一解：(4%)
当时，有无穷解：任意取值；
当时，有无穷解：任意取值；(3%)
当或时，无解。(4%)
得分
四、(10分)设都是非零实数，证明
证: 对n用数学归纳法。当n=1时 , , 结论成立(2%);
假设n-1时成立。则n时
=
= (4%)
现由归纳假设有
==
=,(3%)
故由归纳原理结论成立。(1%)
得分
五、(10分)证明在有理
4、数域上不可约。
证: 令得(1%)
。(3%)
取素数p=2满足
且2不整除1, 4不整除2. (2%)
再据艾茵斯坦茵判别法知在有理数域上不可约，（2%）
从而在有理数域上不可约（2%）
得分
六、（9分）令为数域上秩为的矩阵，。求证：存在秩
为的矩阵和秩为的矩阵, 使得。
证: 为数域上秩为的矩阵，, 则存在可逆阵P和可逆阵Q使
.（3%）
进而令
（4%）
就得（2%）
.
得分
七、（10分）设, 是矩阵, 且,可逆。求证矩阵可逆, 且求。
证:
，
故P可逆 （5%）
令有
.（1%）
进而（1%），解得（3%）
《高等代数Ⅰ》试题（第4页，共4页）
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