数理方程分离变量法市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦自由振动二、有限长杆上热传导三、拉普拉斯方程定解问题四、非齐次方程解法五、非齐次边界条件处理六、关于二阶常微分方程特征值问题一些结论10/10/1第1页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想：首先求出含有变量分离形式且满足边界条件特解，然后由叠加原理作出这些解线性组合，最终由其余定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作确保，数学上由解唯一性作确保；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。一、有界弦自由振动10/10/2第2页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令代入方程：令代入边界条件1、求两端固定弦自由振动规律10/10/3第3页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条件下求非零解问题特征（固有）值：使方程有非零解常数值特征（固有）函数：和特征值相对应非零解分情况讨论：1）2）3）令 ，为非零实数 10/10/4第4页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/5第5页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/6第6页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/7第7页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法能够求解含有齐次边界条件齐次偏微分方程。10/10/8第8页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 解性质 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：10/10/9第9页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时位移。解：10/10/10第10页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/11第11页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/12第12页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/13第13页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解：例2求以下定解问题10/10/14第14页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/15第15页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/16第16页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法初始条件10/10/17第17页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例3 求以下定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题特中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为10/10/18第18页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为线性方程叠加原理，设原问题解为于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特故原问题解为这些特故原问题解为10/10/19第19页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例4 求以下定解问题令代入方程：解：10/10/20第20页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/21第21页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为线性方程叠加原理，设原问题解为10/10/22第22页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/23第23页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/24第24页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法二 有限长杆上热传导令带入方程：解：10/10/25第25页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法由例由例4知，以上特征值问题特知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为满足方程满足方程于是得到一系列分离变量形式于是得到一系列分离变量形式特解特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/26第26页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令代入方程：令例5 求以下定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题特中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为10/10/27第27页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离于是得到一系列分离变量形式特解变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为原理，设原问题解为10/10/28第28页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例6 求以下定解问题解：令10/10/29第29页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/30第30页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解10/10/31第31页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若 则u为多少？为何会出现这么现象？思索这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为若10/10/32第32页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法分离变量流程图10/10/33第33页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三 拉普拉斯方程定解问题1 直角坐标系下拉普拉斯问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题特中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为10/10/34第34页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/35第35页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/36第36页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例7 求以下定解问题解：由例由例6中方法知，以上特征值问题特中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为10/10/37第37页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/38第38页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/39第39页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例8 求以下定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题特中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为征值和特征函数分别为10/10/40第40页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/41第41页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 圆域内拉普拉斯问题10/10/42第42页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例9 求以下定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）周期特征值问题10/10/43第43页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法(欧拉方程)令周期特征值问题故以上周期特征值问题特征值和特征函数分别为10/10/44第44页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法（由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/45第45页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例10 求以下定解问题解：（周期性边界条件）周期特征值问题10/10/46第46页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/47第47页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法其它为零10/10/48第48页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例11 求以下定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为（自然边界条件）10/10/49第49页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法（由自然边界条件）10/10/50第50页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例11 求解以下二维热传导方程定解问题解：由例由例1中方法知，以上特征值问题中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为10/10/51第51页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/52第52页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例12 求以下热传导方程定解问题解法一：令10/10/53第53页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解法二：令由例由例1中方法知，以上特征值问题中方法知，以上特征值问题特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为10/10/54第54页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法于是得到一系列分离变量形式特解于是得到一系列分离变量形式特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程叠加原理，设原问题解为性方程叠加原理，设原问题解为10/10/55第55页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法惯用特征值问题周期特征值问题10/10/56第56页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法四 非齐次方程解法求以下定解问题方程是非齐次，是否能够用分离变量法？思索10/10/57第57页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法由线性方程叠加原理，令：10/10/58第58页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法令：为何？非齐次方程特征函非齐次方程特征函数展开法数展开法10/10/59第59页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题10/10/60第60页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例13 求以下定解问题解：先解对应齐次问题其特征值和特征函数为10/10/61第61页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/62第62页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例14 求以下定解问题解：令其特征值和特征函数为其特征值和特征函数为10/10/63第63页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/64第64页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程初值问题10/10/65第65页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例15 求定解问题解：将原问题变换到极坐标系下：周期特征值问题10/10/66第66页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法非齐次方程特征函非齐次方程特征函数展开法数展开法10/10/67第67页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/68第68页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例16 求定解问题周期特征值问题10/10/69第69页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法非齐次方程特征函非齐次方程特征函数展开法数展开法10/10/70第70页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/71第71页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法五 非齐次边界条件处理解：首先要想方法将非齐次条件齐次化。令解：首先要想方法将非齐次条件齐次化。令取取其中辅助函数满足其中辅助函数满足10/10/72第72页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10/10/73第73页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数非 齐 次 边 界 条 件 齐次化所使用辅助函数以上方法适合用于波动方程、热传导方程和位势方程。以上方法适合用于波动方程、热传导方程和位势方程。10/10/74第74页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例17 求以下定解问题解：令能够用非齐次方程特征函数展开法求解以上问题。能够用非齐次方程特征函数展开法求解以上问题。10/10/75第75页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法若若f(x,t)和非齐次边界条和非齐次边界条件都与件都与t无关，则此时无关，则此时W仅是仅是x函数函数W(x)此方法在使得非齐次边界此方法在使得非齐次边界条件齐次化同时将造成方条件齐次化同时将造成方程非齐次化。能否做到二程非齐次化。能否做到二者同时齐次化？者同时齐次化？若能从中求出若能从中求出W(x,t)，就，就能够实现二者同时齐次化。能够实现二者同时齐次化。但普通极难求出但普通极难求出!10/10/76第76页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例18 求以下定解问题解：令请与例请与例17比较，研究其优缺点。比较，研究其优缺点。10/10/77第77页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例19 求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。能够用分离变量法求解以上问题。10/10/78第78页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例20 求定解问题解：令能够用分离变量法求解以上问题。能够用分离变量法求解以上问题。10/10/79第79页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例21 求定解问题解：令10/10/80第80页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法定解问题选择适当坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法非齐次方程，齐次定解条件特征函数展开法应用分离变量法求解定解问题步骤10/10/81第81页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法六 关于二阶常微分方程特征值问题一些结论1.存在无穷多个实特征值，适当调换这些特征值次序，可使他们组成一个非递减序列。2.全部特征值均不为负。3.任意两个不一样特征值，对应两个特征函数在定义域上以权函数相互正交。4.特征函数系含有完备正交性，故满足一定条件函数能够按特征函数系展成绝对且一致收敛级数。10/10/82第82页