数理方程典型方程与定解条件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导汤 燕 斌华中科技大学数学与统计学院数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数10/10/1第1页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数 数学和物理关系 课程主要内容数学和物理从来是没有分开过 数学物理方程定义 用微分方程来描述给定物理现象和物理规律。三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数10/10/2第2页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla 拉普拉斯算子 微积分知识回顾与梯度算子相关场论运算 平面上拉普拉斯算子 常微分方程求解：常见一阶方程、可降阶高阶方程、二阶线性方程 傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、余弦级数 10/10/3第3页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导拉普拉斯方程：热传导方程：波动方程：三类偏微分方程 两种特殊函数 贝塞尔方程 勒让德方程 琴弦振动；杆、膜、液体、气体等振动；电磁场振荡等 热传导中温度分布；流体扩散、粘性液体流动 空间静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布 解：贝塞尔函数 解：勒让德函数 10/10/4第4页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、基本方程建立基本方程建立第一章第一章 一些经典方程和一些经典方程和定解条件推导定解条件推导二、二、定解条件推导定解条件推导三、三、定解问题概念定解问题概念10/10/5第5页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导常见数学物理方程导出确定所要研究物理量u，比如位移、场强、温度 依据物理规律建立微分方程 经过合理数学近似对方程进行化简数学物理方程定解问题提法泛定方程泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）定解问题：定解条件定解条件（初始条件，边界条件）（初始条件，边界条件）10/10/6第6页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、基本方程建立基本方程建立条件：均匀柔软细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。例例1、弦振动、弦振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向位移。10/10/7第7页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动相关模拟弦振动相关模拟10/10/8第8页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动相关模拟弦振动相关模拟10/10/9第9页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动相关模拟弦振动相关模拟10/10/10第10页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动相关模拟弦振动相关模拟10/10/11第11页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导波传输相关模拟波传输相关模拟10/10/12第12页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦振动相关模拟弦振动相关模拟10/10/13第13页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)横向振幅极小，张力与水平方向夹角很小。(1)弦是柔软，弦上任意一点张力沿弦切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：10/10/14第14页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导其中：一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：10/10/15第15页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：在自由空间：例例2、时变电磁场、时变电磁场10/10/16第16页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导对第一方程两边取旋度，依据矢量运算：由此得：得：即：同理可得：电场三维波动方程磁场三维波动方程10/10/17第17页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例3 3、热传导、热传导所要研究物理量：温度 依据热学中傅立叶试验定律在dt时间内从dS流入V热量为：从时刻t1到t2经过S流入V热量为 高斯公式（矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分）热传导现象：当导热介质中各点温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场10/10/18第18页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导流入热量造成V内温度发生改变 流入热量：温度发生改变需要热量为：热传导方程热场假如物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程10/10/19第19页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例4 4、静电场、静电场电势u u 确定所要研究物理量：依据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程 泊松方程 10/10/20第20页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导同一类物理现象中，各个详细问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一详细物理现象初始状态条件。边界条件：能够用来说明某一详细物理现象边界上约束情况条件。二、定解条件推导二、定解条件推导其它条件：能够用来说明某一详细物理现象情况条件。10/10/21第21页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导初始时刻温度分布：B、热传导方程初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程初始条件1、初始条件、初始条件描述系统初始状态描述系统初始状态系统各点初位移系统各点初速度10/10/22第22页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上情况描述系统在边界上情况A、波动方程边界条件(1)固定端：对于两端固定弦横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 弹簧支承。或第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件10/10/23第23页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导B、热传导方程边界条件(1)给定温度在边界上值(S为给定区域v 边界)(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体经过边界上单位面积流到周围介质热量跟物体表面和外面温差成正比。交换系数；周围介质温度,第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件C、拉普拉斯方程边界条件10/10/24第24页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 1、定解问题、定解问题三、定解问题概念三、定解问题概念(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件定解问题；(3)混合问题：现有初始条件，也有边界条件定解问题。把某种物理现象满足偏微分方程和其对应定解条件结合在一起，就组成了一个定解问题。2 2、定解问题适定性、定解问题适定性 解存在性：定解问题是否有解；解唯一性：是否只有一解；解稳定性：定解条件微小变动时，解是否有对应微小变动。10/10/25第25页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(4)按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数微分方程系数微分方程；(5)按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐次方程3 3、微分方程普通分类、微分方程普通分类 (1)按自变量个数，分为二元和多元方程按自变量个数，分为二元和多元方程；(2)按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和 非线性微分方程非线性微分方程；(3)按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程和高阶微分方程；10/10/26第26页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导线性方程解含有叠加特征 4 4、叠加原理、叠加原理 几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。(物理上)判断以下方程类型思索10/10/27第27页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导5 5、微分方程解、微分方程解 古典解：假如将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程古典解。通解：解中含有相互独立和偏微分方程阶数相同任意常数解。特解：经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。形式解：未经过严格数学理论验证解为形式解。6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法10/10/28第28页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导四、两个自变量二阶线性偏微分方程分类四、两个自变量二阶线性偏微分方程分类 两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式(1.4.1)其中，其中，都是区域都是区域上上实实函数，函数，并假定它并假定它们们是是连续连续可微。可微。若在区域若在区域上某点上某点处满处满足足则则称方程称方程(1.4.1)(1.4.1)在点在点处处是是双曲型双曲型；若在点；若在点处满处满足足，则则称方程称方程(1.4.1)(1.4.1)是是抛物型抛物型；处满处满足足,则则称方程称方程(1.4.1)(1.4.1)是是椭圆椭圆型型。若在点若在点在点在点10/10/29第29页数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导假如方程假如方程(1.4.1)(1.4.1)在所在所讨论讨论区域区域内每点都是内每点都是双曲型双曲型（抛物型或（抛物型或椭圆椭圆型），型），则则称方程在区域内也是双称方程在区域内也是双曲型（抛物型或曲型（抛物型或椭圆椭圆型）。型）。10/10/30第30页