Mathematica函数及使用方法.doc

Mathematica函数及使用方法
(来源：  北峰数模)
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注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大
功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。
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一、运算符及特殊符号

Line1; 执行Line，不显示结果
Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果
?name 关于系统变量name的信息
??name 关于系统变量name的全部信息
!command 执行Dos命令
n! N的阶乘

!!filename 显示文件内容
< Expr>> filename 打开文件写
Expr>>>filename 打开文件从文件末写

() 结合率
[] 函数
{} 一个表
<*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数
(*Note*) 程序的注释

#n 第n个参数
## 所有参数
rule& 把rule作用于后面的式子
% 前一次的输出
%% 倒数第二次的输出
%n 第n个输出
var::note 变量var的注释
"Astring " 字符串
Context ` 上下文

a+b 加
a-b 减
a*b或a b 乘
a/b 除
a^b 乘方
base^^num 以base为进位的数
lhs&&rhs 且
lhs||rhs 或
!lha 非
++,-- 自加1，自减1
+=,-=,*=,/= 同C语言
>,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）
lhs=rhs 立即赋值
lhs:=rhs 建立动态赋值
lhs:>rhs 建立替换规则
lhs->rhs 建立替换规则
expr//funname 相当于filename[expr]
expr/.rule 将规则rule应用于expr
expr//.rule 将规则rule不断应用于expr知道不变为止
param_ 名为param的一个任意表达式（形式变量）
param__ 名为param的任意多个任意表达式（形式变量）

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二、系统常数
Pi 3.1415....的无限精度数值
E 2.17828...的无限精度数值
Catalan 0.915966..卡塔兰常数
EulerGamma 0.5772....高斯常数
GoldenRatio 1.61803...黄金分割数
Degree Pi/180角度弧度换算
I 复数单位
Infinity 无穷大
-Infinity 负无穷大
ComplexInfinity 复无穷大
Indeterminate 不定式

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三、代数计算
Expand[expr] 展开表达式
Factor[expr] 展开表达式
Simplify[expr] 化简表达式
FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简
PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式
ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开
FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数
Collect[expr, x] 合并同次项
Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项
Together[expr] 通分
Apart[expr] 部分分式展开
Apart[expr, var] 对var的部分分式展开
Cancel[expr] 约分
ExpandAll[expr] 展开表达式
ExpandAll[expr, patt] 展开表达式
FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子
FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子
FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子
Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数
Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数
Exponent[expr, form] 表达式expr中form的最高指数
Numerator[expr] 表达式expr的分子
Denominator[expr] 表达式expr的分母
ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分
ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分

TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数
TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子
TrigFactorList[expr] 给出表达式中的三角函数因子的表
TrigReduce[expr] 对表达式中的三角函数化简
TrigToExp[expr] 三角到指数的转化
ExpToTrig[expr] 指数到三角的转化

RootReduce[expr]
ToRadicals[expr]

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四、解方程
Solve[eqns, vars] 从方程组eqns中解出vars
Solve[eqns, vars, elims] 从方程组eqns中削去变量elims,解出vars
DSolve[eqn, y, x] 解微分方程，其中y是x的函数
DSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2...},x]解微分方程组，其中yi是x的函数
DSolve[eqn, y, {x1,x2...}] 解偏微分方程
Eliminate[eqns, vars] 把方程组eqns中变量vars约去
SolveAlways[eqns, vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件
Reduce[eqns, vars] 化简并给出所有可能解的条件
LogicalExpand[expr] 用&&和||将逻辑表达式展开
InverseFunction[f] 求函数f的逆函数
Root[f, k] 求多项式函数的第k个根
Roots[lhs==rhs, var] 得到多项式方程的所有根

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五、微积分函数
D[f, x] 求f[x]的微分
D[f, {x, n}] 求f[x]的n阶微分
D[f,x1,x2..] 求f[x]对x1,x2...偏微分
Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dx
Dt[f] 求f[x]的全微分df
Dt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^n
Dt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分
Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分
Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分
Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分
Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限
Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数
Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开
Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开，再对x
Normal[expr] 化简并给出最常见的表达式
SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数
SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}]
'或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数
InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数
ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合
SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数，其中ai为系数
O[x]^n n阶小量x^n
O[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^n

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八、数值函数
N[expr] 表达式的机器精度近似值
N[expr, n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数
NSolve[lhs==rhs, var] 求方程数值解
NSolve[eqn, var, n] 求方程数值解，结果精度到n位
NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]微分方程数值解
NDSolve[eqns, {y1,y2,...}, {x, xmin, xmax}]

微分方程组数值解
FindRoot[lhs==rhs, {x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解
FindRoot[lhs==rhs, {x, xstart, xmin, xmax}]
NSum[f, {i,imin,imax,di}] 数值求和，di为步长
NSum[f, {i,imin,imax,di}, {j,..},..] 多维函数求和
NProduct[f, {i, imin, imax, di}]函数求积
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] 函数数值积分

优化函数：
FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值
FindMinimum[f, {x, xstart, xmin, xmax}]
ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,..}]
inequ为线性不等式组，f为x,y..之线性函数，得到最小值及此时的x,y..取值
ConstrainedMax[f, {inequ}, {x, y,..}]同上
LinearProgramming[c,m,b] 解线性组合c.x在m.x>=b&&x>=0约束下的
最小值，x,b,c为向量,m为矩阵
LatticeReduce[{v1,v2...}] 向量组vi的极小无关组

数据处理：
Fit[data,funs,vars]用指定函数组对数据进行最小二乘拟和
data可以为{{x1,y1,..f1},{x2y2,..f2}..}多维的情况
emp: Fit[{10.22,12,3.2,9.9}, {1, x, x^2,Sin[x]}, x]
Interpolation[data]对数据进行差值,
data同上，另外还可以为{{x1,{f1,df11,df12}},{x2,{f2,.}..}指定各阶导数
InterpolationOrder默认为3次，可修改
ListInterpolation[array]对离散数据插值，array可为n维
ListInterpolation[array,{{xmin,xmax},{ymin,ymax},..}]
FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},..]
以对应expr[xi,yi]的为数据进行插值
Fourier[list] 对复数数据进行付氏变换
InverseFourier[list] 对复数数据进行付氏逆变换
Min[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值
Max[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最大值
Select[list, crit] 将表中使得crit为True的元素选择出来
Count[list, pattern] 将表中匹配模式pattern的元素的个数
Sort[list] 将表中元素按升序排列
Sort[list,p] 将表中元素按p[e1,e2]为True的顺序比较list
的任两个元素e1,e2,实际上Sort[list]中默认p=Greater

集合论：
Union[list1,list2..] 表listi的并集并排序
Intersection[list1,list2..] 表listi的交集并排序
Complement[listall,list1,list2...]从全集listall中对listi的差集

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九、虚数函数
Re[expr] 复数表达式的实部
Im[expr] 复数表达式的虚部
Abs[expr] 复数表达式的模
Arg[expr] 复数表达式的辐角
Conjugate[expr] 复数表达式的共轭

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十、数的头及模式及其他操作
Integer _Integer 整数
Real _Real 实数
Complex _Complex 复数
Rational_Rational 有理数
(*注：模式用在函数参数传递中，如MyFun[Para1_Integer,Para2_Real]
规定传入参数的类型，另外也可用来判断If[Head[a]==Real,...]*)
IntegerDigits[n,b,len] 数字n以b近制的前len个码元
RealDigits[x,b,len] 类上
FromDigits[list] IntegerDigits的反函数
Rationalize[x,dx] 把实数x有理化成有理数，误差小于dx
Chop[expr, delta] 将expr中小于delta的部分去掉,dx默认为10^-10
Accuracy[x] 给出x小数部分位数,对于Pi,E等为无限大
Precision[x] 给出x有效数字位数,对于Pi,E等为无限大
SetAccuracy[expr, n] 设置expr显示时的小数部分位数
SetPrecision[expr, n] 设置expr显示时的有效数字位数

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十一、区间函数
Interval[{min, max}] 区间[min, max](* Solve[3 x+2==Interval[{-2,5}],x]*)
IntervalMemberQ[interval, x] x在区间内吗？
IntervalMemberQ[interval1,interval2] 区间2在区间1内吗？
IntervalUnion[intv1,intv2...] 区间的并
IntervalIntersection[intv1,intv2...] 区间的交

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十二、矩阵操作
a.b.c 或 Dot[a, b, c] 矩阵、向量、张量的点积
Inverse[m] 矩阵的逆
Transpose[list] 矩阵的转置
Transpose[list,{n1,n2..}]将矩阵list 第k行与第nk列交换
Det[m] 矩阵的行列式
Eigenvalues[m] 特征值
Eigenvectors[m] 特征向量
Eigensystem[m] 特征系统，返回{eigvalues,eigvectors}
LinearSolve[m, b] 解线性方程组m.x==b
NullSpace[m] 矩阵m的零空间，即m.NullSpace[m]==零向量
RowReduce[m] m化简为阶梯矩阵
Minors[m, k] m的所有k*k阶子矩阵的行列式的值(伴随阵，好像是)
MatrixPower[mat, n] 阵mat自乘n次
Outer[f,list1,list2..] listi中各个元之间相互组合，并作为f的参数的到的矩阵
Outer[Times,list1,list2]给出矩阵的外积
SingularValues[m] m的奇异值，结果为{u,w,v},
m=Conjugate[Transpose[u]].DiagonalMatrix[w].v
PseudoInverse[m] m的广义逆
QRDecomposition[m] QR分解
SchurDecomposition[m] Schur分解
LUDecomposition[m] LU分解

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十三、表函数

(*“表”，我认为是Mathematica中最灵活的一种数据类型 *)
(*实际上表就是表达式，表达式也就是表，所以下面list==expr *)
(*一个表中元素的位置可以用于一个表来表示 *)

表的生成
{e1,e2,...} 一个表，元素可以为任意表达式，无穷嵌套
Table[expr,{imax}] 生成一个表，共imax个元素
Table[expr,{i, imax}] 生成一个表，共imax个元素expr[i]
Table[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},..] 多维表
Range[imax] 简单数表{12,..,imax}
Range[imin, imax, di] 以di为步长的数表
Array[f, n] 一维表，元素为f[i] (i从1到n)
Array[f,{n1,n2..}] 多维表，元素为f[i,j..] (各自从1到ni)
IdentityMatrix[n] n阶单位阵
DiagonalMatrix[list] 对角阵

元素操作
Part[expr, i]或expr[[i]]第i个元
expr[[-i]] 倒数第i个元
expr[[i,j,..]] 多维表的元
expr[[{i1,i2,..}] 返回由第i(n)的元素组成的子表
First[expr] 第一个元
Last[expr] 最后一个元
Head[expr] 函数头，等于expr[[0]]
Extract[expr, list] 取出由表list制定位置上expr的元素值
Take[list, n] 取出表list前n个元组成的表
Take[list,{m,n}] 取出表list从m到n的元素组成的表
Drop[list, n] 去掉表list前n个元剩下的表，其他参数同上
Rest[expr] 去掉表list第一个元剩下的表
Select[list, crit] 把crit作用到每一个list的元上，
为True的所有元组成的表
表的属性
Length[expr] expr第一曾元素的个数
Dimensions[expr] 表的维数返回{n1,n2..},expr为一个n1*n2...的阵
TensorRank[expr] 秩
Depth[expr] expr最大深度
Level[expr,n] 给出expr中第n层子表达式的列表
Count[list, pattern] 满足模式的list中元的个数
MemberQ[list, form] list中是否有匹配form的元
FreeQ[expr, form] MemberQ的反函数
Position[expr, pattern] 表中匹配模式pattern的元素的位置列表
Cases[{e1,e2...},pattern]匹配模式pattern的所有元素ei的表
表的操作
Append[expr, elem] 返回 在表expr的最后追加elem元后的表
Prepend[expr, elem] 返回 在表expr的最前添加elem元后的表
Insert[list, elem, n] 在第n元前插入elem
Insert[expr,elem,{i,j,..}]在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elem
 Delete[expr, {i, j,..}] 删除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下的表
DeleteCases[expr,pattern]删除匹配pattern的所有元后剩下的表
ReplacePart[expr,new,n] 将expr的第n元替换为new

Sort[list] 返回list按顺序排列的表
Reverse[expr] 把表expr倒过来
RotateLeft[expr, n] 把表expr循环左移n次
RotateRight[expr, n] 把表expr循环右移n次
Partition[list, n] 把list按每n各元为一个子表分割后再组成的大表
Flatten[list] 抹平所有子表后得到的一维大表
Flatten[list,n] 抹平到第n层
Split[list] 把相同的元组成一个子表，再合成的大表
FlattenAt[list, n] 把list[[n]]处的子表抹平
Permutations[list] 由list的元素组成的所有全排列的列表
Order[expr1,expr2] 如果expr1在expr2之前返回1,如果expr1在
expr2之后返回-1,如果expr1与expr2全等返回0
Signature[list] 把list通过两两交换得到标准顺序所需的
交换次数(排列数)

以上函数均为仅返回所需表而不改变原表
AppendTo[list,elem] 相当于list=Append[list,elem];
PrependTo[list,elem] 相当于list=Prepend[list,elem];

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十四、绘图函数

二维作图

Plot[f,{x,xmin,xmax}] 一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲线
Plot[{f1,f2..},{x,xmin,xmax}] 在一张图上画几条曲线
ListPlot[{y1,y2,..}] 绘出由离散点对(n,yn)组成的图
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},..}] 绘出由离散点对(xn,yn)组成的图
ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] 由参数方程在参数变化范围内的曲线
ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,tmin,tmax}]
在一张图上画多条参数曲线
选项：
PlotRange->{0,1} 作图显示的值域范围
AspectRatio->1/GoldenRatio生成图形的纵横比
PlotLabel ->label 标题文字
Axes ->{False,True} 分别制定是否画x,y轴
AxesLabel->{xlabel,ylabel}x,y轴上的说明文字
Ticks->None,Automatic,fun用什么方式画轴的刻度
AxesOrigin ->{x,y} 坐标轴原点位置
AxesStyle->{{xstyle}, {ystyle}}设置轴线的线性颜色等属性
Frame ->True,False 是否画边框
FrameLabel ->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel}
边框四边上的文字
FrameTicks同Ticks 边框上是否画刻度
GridLines 同Ticks 图上是否画栅格线
FrameStyle ->{{xmstyle},{ymstyle}设置边框线的线性颜色等属性
ListPlot[data,PlotJoined->True] 把离散点按顺序连线
PlotSytle->{{style1},{style2},..}曲线的线性颜色等属性
PlotPoints->15 曲线取样点，越大越细致

三维作图
Plot3D[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]
二维函数f[x,y]的空间曲面
Plot3D[{f,s}, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]
同上，曲面的染色由s[x,y]值决定
ListPlot3D[array] 二维数据阵array的立体高度图
ListPlot3D[array,shades]同上，曲面的染色由shades[数据]值决定
ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}]
二元数方程在参数变化范围内的曲线
ParametricPlot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},...},{t,tmin,tmax}]
多条空间参数曲线
选项：
ViewPoint ->{x,y,z} 三维视点，默认为{1.3,-2.4,2}
Boxed -> True,False 是否画三维长方体边框
BoxRatios->{sx,sy,sz} 三轴比例
BoxStyle 三维长方体边框线性颜色等属性
Lighting ->True 是否染色
LightSources->{s1,s2..} si为某一个光源si={{dx,dy,dz},color}
color为灯色，向dx,dy,dz方向照射
AmbientLight->颜色函数 慢散射光的光源
Mesh->True,False 是否画曲面上与x,y轴平行的截面的截线
MeshStyle 截线线性颜色等属性
MeshRange->{{xmin,xmax}, {ymin,ymax}}网格范围
ClipFill->Automatic,None,color,{bottom,top}
指定图形顶部、底部超界后所画的颜色
Shading ->False,True 是否染色
HiddenSurface->True,False 略去被遮住不显示部分的信息

等高线
ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
二维函数f[x,y]在指定区间上的等高线图
ListContourPlot[array] 根据二维数组array数值画等高线
选项：
Contours->n 画n条等高线
Contours->{z1,z2,..} 在zi处画等高线
ContourShading -> False 是否用深浅染色
ContourLines -> True 是否画等高线
ContourStyle -> {{style1},{style2},..}等高线线性颜色等属性
FrameTicks 同上

密度图
DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]
二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图
ListDensityPlot[array] 同上

图形显示
Show[graphics,options] 显示一组图形对象，options为选项设置
Show[g1,g2...] 在一个图上叠加显示一组图形对象
GraphicsArray[{g1,g2,...}]在一个图上分块显示一组图形对象
SelectionAnimate[notebook,t]把选中的notebook中的图画循环放映

选项：(此处选项适用于全部图形函数)
Background->颜色函数 指定绘图的背景颜色
RotateLabel -> True 竖着写文字
TextStyle 此后输出文字的字体，颜色大小等
ColorFunction->Hue等 把其作用于某点的函数值上决定某点的颜色
RenderAll->False 是否对遮挡部分也染色
MaxBend 曲线、曲面最大弯曲度

绘图函数（续）

图元函数
Graphics[prim, options]
prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象
Graphics3D[prim, options]
prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象
SurfaceGraphics[array, shades]表示一个由array和shade决定的曲面对象
ContourGraphics[array]表示一个由array决定的等高线图对象
DensityGraphics[array]表示一个由array决定的密度图对象

以上定义图形对象，可以进行对变量赋值，合并显示等操作，也可以存盘

Point[p] p={x,y}或{x,y,z}，在指定位置画点
Line[{p1,p2,..}]经由pi点连线
Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] 画矩形
Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmax,ymax,zmax}]由对角线指定的长方体
Polygon[{p1,p2,..}] 封闭多边形
Circle[{x,y},r] 画圆
Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴
Circle[{x,y},r,{a1,a2}] 从角度a1～a2的圆弧
Disk[{x, y}, r] 填充的园、椭圆、圆弧等参数同上
Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格
Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式
PostScript["string"] 直接用PostScript图元语言写
Scaled[{x,y,..}] 返回点的坐标，且均大于0小于1

颜色函数(指定其后绘图的颜色)
GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数
RGBColor[red, green, blue] RGB颜色，均为0~1间的实数
Hue[h, s, b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数
CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] CMYK颜色

其他函数(指定其后绘图的方式)
Thickness[r] 设置线宽为r
PointSize[d] 设置绘点的大小
Dashing[{r1,r2,..}] 虚线一个单元的间隔长度
ImageSize->{x, y} 显示图形大小(像素为单位)
ImageResolution>r 图形解析度r个dpi
ImageMargins->{{left,right},{bottom,top}}四边的空白
ImageRotated->False 是否旋转90度显示

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十五、流程控制
分支
If[condition, t, f] 如果condition为True,执行t段，否则f段
If[condition, t, f, u] 同上，即非True又非False，则执行u段
Which[test1,block1,test2,block2..] 执行第一为True的testi对应的blocki
Switch[expr,form1,block1,form2,block2..]
执行第一个expr所匹配的formi所对应的blocki段
循环
Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次
Do[expr,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},...]多重循环
While[test, body] 循环执行body直到test为False
For[start,test,incr,body]类似于C语言中的for，注意"，"与";"的用法相反
examp: For[i=1;t =x,i^2<10,it =t+i;Print[t]]
异常控制
Throw[value] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理
Throw[value, tag] 同上，
Catch[expr] 计算expr,遇到Throw返回的值则停止
Catch[expr, form] 当Throw[value, tag]中Tag匹配form时停止
 其他控制
Return[expr] 从函数返回，返回值为expr
Return[ ] 返回值Null
Break[ ] 结束最近的一重循环
Continue[ ] 停止本次循环，进行下一次循环
Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处
Label[tag] 设置一个断点
Check[expr,failexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值
Check[expr,failexpr,s1::t1,s2::t2,...]当特定信息产生时则返回failexpr
CheckAbort[expr,failexpr]当产生abort信息时放回failexpr
Interrupt[ ] 中断运行
Abort[ ] 中断运行
TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止
MemoryConstrained[expr,b]计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算
交互式控制
Print[expr1,expr2,...] 顺次输出expri的值
examp: Print[ "X=" , X//N , " " ,f[x+1]];
Input[ ] 产生一个输入对话框，返回所输入任意表达式
Input["prompt"] 同上，prompt为对话框的提示
Pause[n] 运行暂停n秒

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十六、函数编程
(*函数编程是Mathematica中很有特色也是最灵活的一部分，它充分体现了