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五、平面向量
1．向量的概念
①向量 既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
②零向量[ 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）
③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。(与共线的单位向量是)；
④平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。
⑥相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2．向量的运算
（1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。设，则+==。[
规定：
（1）；
（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
②三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。
（2）向量的减法
①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。
记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。
②向量减法 向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。

如（1）化简：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；
（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；
（3）实数与向量的积
①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3．两个向量共线定理：
向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。
4．平面向量的基本定理
如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
如（1）若，则______（答：）；
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（答：B）；
A. B.
C. D.
（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（答：）；
（4）已知中，点在边上，且，，则的值是_0__
5．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
规定：
①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。
（2）平面向量的坐标运算：
①若，则；
②若，则；
③若=(x,y)，则=(x, y)；
④若，则。
6．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；
说明：①当θ＝０时，与同向；
②当θ＝π时，与反向；

③当θ＝时，与垂直，记⊥；
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。
C

（2）数量积的概念
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；
向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
（4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：。
②乘法公式成立
；
；[来源:学科网ZXXK]
③平面向量数量积的运算律
交换律成立：；[来源:学。科。网]
对实数的结合律成立：；
分配律成立：。[来源学科网]
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？
④向量的夹角：cos==。
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。[来源:学,科,网Z,X,X,K]
(5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·=。
(6)向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；
(7)两个向量垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，
如(1)已知，若，则 （答：）；
（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知向量，且，则的坐标是________ （答：）
(8)两个向量平行(共线)的充要条件：＝0。
如(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；
（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；
（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线（答：－2或11）
(9)平面内两点间的距离公式 设，则或。
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。
7.常见题型
题型1：平面向量的概念
例1．给出下列命题：
①若||＝||，则=；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤ 若//，//，则//；
其中正确的序号是 。
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；[来源:Zxxk.Com]
②正确；∵ ，∴ 且，
又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。
③正确；∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；
又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，∴ ，的长度相等且方向相同，故＝。
④不正确；当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤不正确；考虑=这种特殊情况；
综上所述，正确命题的序号是②③。
题型2：平面向量的运算法则
例2．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。

（2）（06上海理，13）如图，在平行四边形ABCD中下列结论中错误的是（ ）
A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝
（3）（06广东，4）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（ ）
A． B． C． D．
（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，=＋，= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－。
点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。
（2）C．
（3），故选A。
例3．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①，②，③。[来源:学科网ZXXK]
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
题型3：平面向量的坐标及运算
例4．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。
解析：设D(x,y)，则
∵得所以。
例5．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。
解析：设，则
因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。
即得，由点得，。
得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。
题型4：平面向量的性质
例6．平面内给定三个向量，回答下列问题：
（1）求满足的实数m,n；
（2）若，求实数k；
（3）若满足，且，求。
解析：（1）由题意得，所以，得。
（2），
；
（3）[来源:学.科.网]
由题意得，得或。
例7．已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？
解析：（1）因为所以则
（2），因为与平行，所以即得。此时，，则，即此时向量与方向相反。
点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。
题型5：共线向量定理及平面向量基本定理
例8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5
C．2x－y=0 D．x+2y－5=0
解法一：设，则。
由得，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
于是，先消去，由得。
再消去得，所以选取D。
解法二：由平面向量共线定理，
当，时，A、B、C共线。
因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D。
点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。
题型6：数量积的概念
例9．判断下列各命题正确与否：
（1）； （2）； （3）若，则；
（4）若，则当且仅当时成立；
（5）对任意向量都成立； （6）对任意向量，有。
解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。
例10．（1）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C．m（）=m+m D．
（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则[来源:学,科,网Z,X,X,K]
①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）[来源:学*科*网Z*X*X*K]
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。
（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。
题型7：向量的夹角
例11．
（1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是
（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角
（4）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：（1）C；（2）；
（3）由题意，，且与的夹角为，所以，，
，，同理可得。
而，
设为与的夹角，则。
（4）C；设所求两向量的夹角为

　　即： 所以
点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。
例12．（1）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）
A．－++= B．-+=
C．+-= D．++=
（2）已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：（1）D；（2）B；
点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。
题型8：向量的模
例13．（1）已知向量与的夹角为，则等于（ ）
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1
（2）设向量满足,,则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
解析：（1）B；（2）D；
点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。
题型9：向量垂直、平行的判定
例14．已知向量，，且，则 。
解析：∵，∴，∴，∴。
例15．已知，，，按下列条件求实数的值。
（1）；（2）；。
解析：[来源:学,科,网]
（1）；
（2）；

。
点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。
9.练习题：
1．化简得（ D ）
A． B． C． D．
2、已知向量则的坐标是（ B ）
A． B． C． D．
3、已知向量（ D ）
A． B． C． D．
4、若，与的夹角是，则等于（C ）
A．12 B． C． D．
5．已知平面向量，，且，则（ C ）
A． B． C． D．
6、下列向量中，与垂直的向量是（ C ）
A． B． C． D．
7、已知且∥，则x等于（ C ）
A．3 B． C． D．
8、若则与的夹角的余弦值为（ B）
A． B． C． D．
9、设，，且，则锐角为（ D ）
A． B． C． D．
10、已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ C ）
A． B． C． D．
11．已知下列命题中：
（1）若，且，则或，（2）若，则或
（3）若不平行的两个非零向量，满足，则
（4）若与平行，则其中真命题的个数是（ C ）
A． B． C． D．
12．若=，=，则=___(-3,-2)______
13．若,，且与的夹角为，则 。
14、已知等边三角形ABC的边长为1，则
15、设是两个单位向量，它们的夹角是，则
16．若，且，则向量与的夹角为　　　　　　．
17．若,，与的夹角为，若，则的值为　　　　 ．
18．若试判断则△ABC的形状___直角三角形____．

19.已知,,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？
（1） （2）

20．已知，，（）．求证： 与互相垂直；

21．已知与，问当实数的值为多少时最小。

22．已知向量，向量，则的最大值是 4 ．

10、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2），特别地，当同向或有
；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).
（3）在中，①若，则其重心的坐标为。如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：）；
②为的重心，特别地为的重心；
③为的垂心；
④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；
⑤的内心；
（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；
（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足,其中且,则点的轨迹是_______（答：直线AB）

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