导数各类题型方法总结.doc

导数题型总结（解析版）题型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1）对称轴(重视单调区间）与定义域的关系 （2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令得到两个根;第二步：画两图或列表;第三步：由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种:分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0，0）第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数）(已知谁的范围就把谁作为主元）;例1：设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数,（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值。解:由函数 得(1）在区间上为“凸函数”，则 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：当时, 恒成立， 当时， 恒成立等价于的最大值()恒成立，而(）是增函数,则(2)当时在区间上都为“凸函数则等价于当时 恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题)-22例2:设函数 （)求函数f（x）的单调区间和极值； ()若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围。（二次函数区间最值的例子)解:（）3aaa3a令得的单调递增区间为（a，3a）令得的单调递减区间为(，a）和(3a,+)当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b。 （）由a，得:对任意的恒成立则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法)即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数. （9分)于是，对任意，不等式恒成立，等价于 又点评:重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种:构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，(）求的值;（)当时,求的值域；（）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解:(), 解得（)由（）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又的值域是（）令思路1:要使恒成立，只需，即分离变量思路2:二次函数区间最值二、参数问题题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在(m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是(a，b）”,要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4:已知,函数(）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；()如果函数是上的单调函数，求的取值范围解:。 （）是偶函数，. 此时， 令，解得:。 列表如下：（，2）2（2,2)2（2,+）+00+递增极大值递减极小值递增可知:的极大值为，的极小值为。 （）函数是上的单调函数,，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：。 综上，的取值范围是。 例5、已知函数 (I）求的单调区间； （II）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。子集思想(I) 1、 当且仅当时取“=”号,单调递增。 2、a-1-1单调增区间: 单调增区间：（II）当 则是上述增区间的子集:1、时,单调递增 符合题意2、，综上，a的取值范围是0,1。 三、题型二：根的个数问题题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图（即解导数不等式）和“趋势图即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数,，且在区间上为增函数（1） 求实数的取值范围;（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围解:（1）由题意在区间上为增函数,在区间上恒成立(分离变量法)即恒成立,又,，故的取值范围为（2)设，令得或由（1）知，当时，在R上递增，显然不合题意当时,随的变化情况如下表：极大值极小值由于,欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需,即，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点,求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。解：（1)的图像过原点,则，又是的极值点,则-1（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根（计算难点来了:）有含的根，则必可分解为,故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根.题2：切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值范围为,求：（1）的解析式；(2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围（1）由题意得：在上；在上;在上因此在处取得极小值，,由联立得:，（2)设切点Q，过令,求得：，方程有三个根.需：故:；因此所求实数的范围为:题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为（)当m4时,f （x） x3x210x,x27x10,令 ， 解得或。令 , 解得可知函数f（x）的单调递增区间为和（5，），单调递减区间为（)x2（m3)xm6， 1要使函数yf （x）在（1,）有两个极值点，x2（m3)xm6=0的根在（1,）根分布问题：则， 解得m3例9、已知函数，（1）求的单调区间；(2）令x4f(x）(xR)有且仅有3个极值点，求a的取值范围解：（1）当时,令解得，令解得，所以的递增区间为，递减区间为。当时,同理可得的递增区间为，递减区间为。（2)有且仅有3个极值点=0有3个根，则或，方程有两个非零实根,所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题:1、(最值问题与主元变更法的例子）。已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是11.（）求函数的解析式；（）若时，恒成立，求实数的取值范围.解：（） 令=0，得因为，所以可得下表：0+0-极大因此必为最大值，因此， ， 即,，（）,等价于, 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即, 解得，所以所求实数的取值范围是0，1。2、(根分布与线性规划例子）（1）已知函数（) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行，求的解析式;() 当在取得极大值且在取得极小值时， 设点所在平面区域为S， 经过原点的直线L将S分为面积比为1：3的两部分, 求直线L的方程.解:(）.由, 函数在时有极值 ,又在处的切线与直线平行, 故 . 7分 (） 解法一： 由及在取得极大值且在取得极小值， 即 令， 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , ， ， ， 同时DE为ABC的中位线， 所求一条直线L的方程为：另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G， 则 , 由 得点F的横坐标为:由 得点G的横坐标为：即 解得： 或 （舍去） 故这时直线方程为：综上,所求直线方程为：或 。.12分(） 解法二: 由及在取得极大值且在取得极小值， 即 令， 则 故点所在平面区域S为如图ABC，易得， , ， ， , 同时DE为ABC的中位线， 所求一条直线L的方程为：另一种情况由于直线BO方程为:， 设直线BO与AC交于H ， 由 得直线L与AC交点为:， ， 所求直线方程为： 或3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。()求的值;（）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x ）的解析式；（）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：（）由图可知函数f ( x ）的图像过点( 0 , 3 ），且= 0得（）依题意= 3 且f ( 2 ） = 5解得a = 1 ， b = 6 所以f （ x ） = x3 6x2 + 9x + 3（)依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 （ a0 ）= 3ax2 + 2bx 3a 2b由= 0b = 9a若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 ）8af （ 1 ） 由得 25a + 38a7a + 3a3 所以当a3时,方程f ( x ） = 8a有三个不同的根. 12分4、（根的个数问题）已知函数 （1）若函数在处取得极值,且，求的值及的单调区间； (2)若，讨论曲线与的交点个数 解：（1）2分令得令得的单调递增区间为，,单调递减区间为5分（2）由题得即令6分令得或7分当即时此时，有一个交点;9分当即时，,当即时，有一个交点；当即时,有两个交点； 当时，有一个交点13分综上可知，当或时,有一个交点; 当时，有两个交点14分5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数（） 若函数在处有极值，求的解析式；（) 若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立，求实数的取值范围