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工程问题方法总结
一：基本数量关系:工效×时间=工作总量 
二：基本特点:设工作总量为“1”，工效=1/时间 
三：基本方法:算术方法、比例方法、方程方法. 
四:基本思想：分做合想、合做分想。 
五：类型与方法：
一：分做合想:1。合想，2。假设法，3。巧抓变化(比例），4.假设法。 　　二：等量代换：方程组的解法→代入法,加减法。 　　三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配 　　四：休息请假: 　　方法：1。分想：划分工作量。2。假设法:假设不休息。 　　五：休息与周期: 　　1.已知条件的顺序：①先工效,再周期,②先周期，再天数。 　　2。天数：①近似天数，②准确天数。 　　3。列表确定工作天数. 　　六：交替与周期：估算周期，注意顺序！ 　　七：注水与周期:1.顺序,2。池中原来是否有水，3。注满或溢出。 　　八：工效变化. 　　九:比例:1.分比与连比，2。归一思想,3。正反比例的运用，4。假设法思想（周期)。 　　十：牛吃草问题:1。新生草量,2。原有草量，3。解决问题。
 　　一、两个人的问题 ●例1 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 　　解一:把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。 　　乙每天可完成这件工作的六分之一，（1—1/3）÷1/6=4(天） 　　答：乙需要做4天可完成全部工作。 　　解二:9与6的最小公倍数是18。设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份。乙完成余下工作所需时间是 　　(18— 2 × 3）÷ 3= 4(天）。 　　解三:甲与乙的工作效率之比是 　　6∶ 9= 2∶ 3。 　　甲做了3天,相当于乙做了2天。乙完成余下工作所需时间是6—2=4(天）. 　　●例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 　　解：共做了6天后， 　　原来，甲做 24天，乙做 24天， 　　现在,甲做0天，乙做40=（24+16)天。 　　这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 　　如果乙独做,所需时间是 50天 　　如果甲独做，所需时间是 75天 　　答:甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 　　●例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作，需48天完成。现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天? 　　解:先对比如下: 　　甲做63天,乙做28天; 　　甲做48天,乙做48天. 　　就知道甲少做63—48=15（天）,乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 　　甲先单独做42天，比63天少做了63—42=21（天），相当于乙要做 　　因此，乙还要做 　　28+28= 56 (天)。 　　答：乙还需要做 56天。 　　●例4 一件工程，甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成。现在两队合作，其间甲队休息了2天,乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 　　解一：甲队单独做8天,乙队单独做2天，共完成工作量 　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 　　2+8+ 1= 11（天)。 　　答：从开始到完工共用了11天. 　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 　　（30— 3 × 8— 1× 2)÷（3+1)= 1(天)。 　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天。 　　在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10—8= 2（天）工作量。相当于乙队要做2×3=6（天）。乙队单独做2天后，还余下（乙队)6—2=4（天)工作量. 　　4=3+1， 　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 解四: 方法:分休合想(题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息。） 　　甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2,所以我们假设甲休息两天时,乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8—2=6（天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作:（4/10）÷（1/10+1/30）=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11（天） 　　●例5 一项工程，甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天。从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？ 　　解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 （1÷20）×16+(1÷30）×16=4/3 　　由于两队休息期间未做的工作量是4/3—1=1/3 　　乙队休息期间未做的工作量是 1/3—1/20×3=11/60 　　乙队休息的天数是 11/60÷(1/30）=11/2 　　答:乙队休息了5天半. 　　解二:设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份。 　　两队休息期间未做的工作量是 　　（3+2）×16— 60= 20(份). 　　因此乙休息天数是 　　（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）。 　　解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 　　甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天。 　　如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量,乙休息天数是 　　16—6—4。5=5。5（天）. 　　●例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 　　解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。因此让李先做甲，张先做乙。 　　设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 　　8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 　　（60—4×8)÷(4+3）=4（天）。 　　8+4=12（天）. 　　答：这两项工作都完成最少需要12天。 　　●例7 一项工程,甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作,他 　　要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 　　解:设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份。 　　两人合作，共完成 　　3× 0。8 + 2 × 0。9= 4.2（份）. 　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是 　　（30-3×8）÷(4.2—3)=5（天). 　　很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题。 　　●例8 甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时快 　　如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 　　解:乙6小时单独工作完成的工作量是 　　乙每小时完成的工作量是 　　两人合作6小时，甲完成的工作量是 　　甲单独做时每小时完成的工作量 　　甲单独做这件工作需要的时间是 　　答：甲单独完成这件工作需要33小时。 
二、多人的工程问题 　　我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多. 　　●例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成。问甲一人独做需要多少天完成? 　　解：设这件工作的工作量是1。 　　甲、乙、丙三人合作每天完成 　　减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 　　答：甲一人独做需要90天完成。 　　例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份。请试一试，计算是否会方便些？ 　　●例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天? 　　解：甲做1天,乙就做3天，丙就做3×2=6（天）. 　　说明甲做了2天，乙做了2×3=6(天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 　　2+6+12=20（天）. 　　答：完成这项工作用了20天。 　　本题整数化会带来计算上的方便。12,18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72。甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了 　　●例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天,乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 　　解：丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍）,甲、乙合作1天，与乙做4天一样。也就是甲做1天,相当于乙做3天,甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成,甲需要 　　答：甲独做需要26天。 　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成。 　　●例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作。问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 　　解一：设这项工作的工作量是1. 　　甲组每人每天能完成 　　乙组每人每天能完成 　　甲组2人和乙组7人每天能完成 　　答：合作3天能完成这项工作. 　　解二:甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成。 　　现在已不需顾及人数，问题转化为： 　　甲组独做12天,乙组独做4天，问合作几天完成? 　　小学算术要充分利用给出数据的特殊性。解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数。 　　●例13 制作一批零件，甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成。乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件? 　　解一：仍设总工作量为1. 　　甲每天比乙多完成 　　因此这批零件的总数是 　　丙车间制作的零件数目是 　　答：丙车间制作了4200个零件。 　　解二:10与6最小公倍数是30。设制作零件全部工作量为30份。甲每天完成 3份,甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份。 　　乙、丙一起,8天完成。乙完成8×2=16（份）,丙完成30—16=14（份），就知 　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7。 　　已知 　　甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8. 　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 　　12∶8∶7. 　　当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是 　　2400÷（12— 8） × 7= 4200（个）。 　　●例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？ 　　解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1。现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是 　　答：丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时. 　　解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60。甲每小时搬运 6,乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4。 　　三人共同搬完，需要 　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4)= 8(小时）。 　　甲需丙帮助搬运 　　（60- 6× 8)÷ 4= 3（小时）。 　　乙需丙帮助搬运 　　(60— 5× 8）÷4= 5(小时). 
　　三、水管问题 　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量。单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了。因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同。 　　例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池。现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入0。6立方米水,这个水池的容积是多少立方米？ 解:甲每分钟注入水量是 :（1-1/9× 3)÷10=1/15 　　乙每分钟注入水量是：1/9—1/15=2/45 　　因此水池容积是：0。6÷（1/15—2/45)=27（立方米) 　　答：水池容积是27立方米。 　　例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等。现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3,再把打开的水管增加一倍,就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池。问开始时打开了几根水管？ 分析:增开水管后,有原来2倍的水管,注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍,因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。 设水池容量是1,前后两段时间的注水量之比为：1:4， 　　那么预定时间的1/3（即前一段时间)的注水量是1/（1+4）=1/5。 　　10根水管同时打开，能按预定时间注满水,每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3,每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30 　　要注满水池的1/5,需要水管1/5÷1/30=6（根） 解：前后两段时间的注水量之比为：1:[(1—1/3）÷1/3×2]=1:4 前段时间注水量是:1÷（1+4）=1/5 每根水管在预定1/3的时间注水量为：1÷10×1/3=1/30 开始时打开水管根数：1/5÷1/30=6（根) 　　答：开始时打开6根水管。 例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水,单开乙管需要 4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 　　分析 　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 　　以后（20小时),池中的水已有 　　此题与广为流传的“青蛙爬井"是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺。问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口? 　　看起来它每小时只往上爬3— 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时,往上爬了3尺已到达井口. 　　因此，答案是28小时,而不是30小时。 例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空。现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空？ 　　解：先计算1个水龙头每分钟放出水量。 　　2小时半比1小时半多60分钟,多流入水 　　4 × 60= 240（立方米). 　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 　　240 ÷ （ 5× 150— 8 × 90）= 8（立方米)， 　　8个水龙头1个半小时放出的水量是 　　8 × 8 × 90， 　　其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90—4 × 90= 5400（立方米）。 　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4，其余将放出原存的水,放空原存的5400，需要 　　5400 ÷(8 × 13— 4）=54（分钟）. 　　答：打开13个龙头,放空水池要54分钟. 　　水池中的水，有两部分,原存有水与新流入的水，就需要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的。打开A管，8小时可将满池水排空,打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管,要几小时才能将满池水排空? 　　解：设满水池的水量为1。 　　A管每小时排出 　　A管4小时排出 　　因此，B，C两管齐开,每小时排水量是 　　B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 　　答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完. 　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池)和渗入水量。由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1"。但这两种量要避免混淆。事实上,也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24。 　题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草。这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的. 例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快。12头牛4星期吃完第一块牧场上的草；7头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 　　解:吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数。根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 　　原有草+4星期新长的草=12×4。 　　原有草+9星期新长的草=7×9。 　　由此可得出,每星期新长的草是 　　（7×9—12×4）÷(9—4)=3. 　　那么原有草是 　　7×9-3×9=36（或者12×4—3×4）. 　　对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 　　这些草能让 　　90×7.2÷18=36（头） 　　牛吃18个星期。 　　答:36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草。 　　例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的"具体地求出来,把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空。"也就可以求出“新长的"与“原有的”之间数量关系。但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗? 　　“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现。限于篇幅，我们只再举一个例子。 例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。问第一个观众到达时间是8点几分？ 　　解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位. 　　从9点至9点9分进入观众是3×9， 　　从9点至9点5分进入观众是5×5。 　　因为观众多来了9—5=4（分钟所以每分钟来的观众是 　　（3×9-5×5）÷(9—5）=0.5。 　　9点前来的观众是 　　5×5—0.5×5=22.5。 　　这些观众来到需要 　　22.5÷0。5=45（分钟）。 　　答：第一个观众到达时间是8点15分。 　　挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成.甲队先挖三天,乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？ 　　分析: 甲乙合作1天后，甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 　　2÷（3/10—1/6） 　　=2÷4/30 　　=15（天） 　　1÷（1/6—1/15）=10(天） 　　答：甲单独做要15天，乙单独做要10天 . 　　。一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间? 　　解设：规定时间为X天。（甲单独要X—2天，乙单独要X+3天，甲一共做了2天，乙一共做了X天) 　　1/(X—2）×2 + X/(X+3）=1 　　X=12 　　规定要12天完成 　　1÷［1/（12-2）+1/(12+3）］ 　　=1÷（1/6) 　　=6天 　　答：两人合作完成要6天。 例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天? 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 　　63x+28y=1 　　48x+48y=1 　　x=1/84 　　y=1/112 　　乙还要做(1—42/84）÷（1/112）=56（天） 例22有32吨货物，从甲城运往乙城,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是3吨，每种大、小卡车的耗油量分别是10升和7。2升,将这批货物运完，至少需要耗油多少吨？ 　　解：显然，为了省油，应尽量使用大卡车运，大卡车运6次，还剩2吨，所以剩下一次用小卡车运,耗油最少，共需6＊10+7。2=67。2升
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