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计算技巧及方法总结
一、 一般来说,对于二阶、三阶行列式,可以根据定义来做
1、二阶行列式
2、三阶行列式
=
例1计算三阶行列式
解
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
计算上三角形行列式
下三角形行列式
对角行列式
二、用行列式的性质计算
1、记住性质，这是计算行列式的前提
将行列式的行与列互换后得到的行列式，称为的转置行列式,记为或,即若
则 .
性质1 行
2、列式与它的转置行列式相等， 即
注 由性质1知道,行列式中的行与列具有相同的地位,行列式的行具有的性质，它的列也同样具有.
性质2 交换行列式的两行（列）,行列式变号.
推论 若行列式中有两行（列)的对应元素相同，则此行列式为零.
性质3 用数乘行列式的某一行(列）， 等于用数乘此行列式, 即
第行(列)乘以,记为(或）.
推论1 行列式的某一行（列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
推论2 行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质4 若行列式的某一行（列)的元素都是两数之和， 例如,
。
则
.
性质5 将行
3、列式的某一行（列)的所有元素都乘以数后加到另一行（列）对应位置的元素上， 行列式不变.
注： 以数乘第行加到第行上，记作； 以数乘第列加到第列上，记作.
2、利用“三角化"计算行列式
计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;
再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
4、
例2若， 则
例3（1）（第一、二行互换）.
（2)(第二、三列互换）
（3)(第一、二两行相等)
（4）（第二、三列相等）
例4（1）因为第三行是第一行的倍.
（2）因为第一列与第二列成比例，即第二列是第一列的4倍。
例5若, 则
又 。
例6 设 求
解 利用行列式性质，有
例7（1）
（2).
例8 因为而。
因此.
注： 一般来说下式是不成立的
。
例9（1）,上式表示第一行乘以—1后加第二行上去, 其值不变。
（2），上式表示第一列乘以1后加到第三列上去， 其值不变.
例10计算行列式。
解 先将第一行的公因子3提出来:
5、再计算
例11 计算
解
例12计算
解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式。
注:仿照上述方法可得到更一般的结果：
例13 计算
解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列,目的是使中的零元素增多。
例14 计算
解 从第4行开始，后一行减前一行:
三、 行列式按行（列）展开（降阶法）
1、行列式按一行(列)展开
定义1 在阶行列式中,去掉元素所
6、在的第行和第列后,余下的阶行列式，称为中元素的余子式， 记为, 再记
称为元素的代数余子式.
引理（常用） 一个n阶行列式D ， 若其中第i行所有元素除外都为零,则该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即
定理1 行列式等于它的任一行（列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即
或
推论 行列式某一行（列)的元素与另一行（列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
或
2、用降价法计算行列式(常用）
直接应用按行(列)展开法则计算行列式， 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此， 计算行列式时，一般可先用
7、行列式的性质将行列式中某一行(列）化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开，化为低一阶的行列式， 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
3、拉普拉斯定理（一般少用）
定义2 在阶行列式中，任意选定行列, 位于这些行和列交叉处的个元素，按原来顺序构成一个阶行列式, 称为的一个阶子式,划去这行列， 余下的元素按原来的顺序构成阶行列式，在其前面冠以符号,称为的代数余子式,其中为阶子式在中的行标,为在中的列标。
注:行列式的阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列)展开的性质。
定理2 (拉普拉斯定理） 在阶行列式中, 任意取定行(列），由这行(列）组成的所有阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式。
例15求下列行列式的值:
（1） （2）
解 (1)
(2）
例16计算行列式
解
例17计算行列式
解
例18求证 .
证
例19设 D中元素的余子式和代数余子式依次记作和，求及。
解 注意到等于用代替的第1行所得的行列式,即
又按定义知,
例20 用拉普拉斯定理求行列式 的值.
解 按第一行和第二行展开
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