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现代控制理论总结
第一章：控制系统的状态空间表达式
1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念:
在描述系统运动的所有变量中,必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……Xn为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间)称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式:
状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式.
3、实现问题:
由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式,这样的问题称为实现问题
单入单出系统传函：W（s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统
最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现(约旦型）
4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）
传函无零点

系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值,其余元素为0，A为友矩阵。控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……。。
5、建立空间状态表达式的方法：
①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）
6、子系统在各种连接时的传函矩阵:
设子系统1为 子系统2为
1） 并联：
另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式
所以系统的传递函数矩阵为:
2） 串联：
由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：
W（S)=W2(S)W1（S)
注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律
3） 反馈：
系统状态空间表达式：
第二章：状态空间表达式的解：
1、状态方程解的结构特征:
线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。其中为系统的零输入响应，它代表由系统的初始状态所引起的系统的自由运动。为系统的零初值响应,它代表由系统的输入所激励的强制运动。
2、具有初始状态和输入作用的线性连续定常系统的解：
求解的方法：①直接定义计算②变换为约旦标准型计算③利用拉氏反变换④利用凯莱哈密顿定理。
第三章：线性控制系统的能控性和能观性：
1、能控性与能观性的定义：
线性连续定常系统的状态方程为:x=Ax+Bu；如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间［t0,tf］内,使系统由某一初始状态x（t0)转移到指定的任一终端状态x（tf），则称次状态是能控的；
如果对任意给定的输入u（t），在有限的观测时间t〉t0内，使得根据［t0，tf］期间的输出y（t)能唯一的确定系统在初始时刻的状态x（t0），则称状态x(t0)是能观测的，若系统的每一个状态都是能观测的则称此系统是状态完全能观测的。
2、能控性能观性的判别：
1)能控性：常用的有格拉姆矩阵判据,秩判据，约旦标准型判据，pbh判据
约旦判据：
若线性定常系统的系统矩阵A为对角标准型，则系统状态完全能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行元素全部为零。
若线性定常系统的系统矩阵A为约当标准型，则系统状态完全能控的充要条件是①输入矩阵B中对应于每个约当块最后一行的元素不全为零②输入矩阵B中对应于互异特征根的各行元素不全为零
一般系统的能控性判据:
若系统矩阵A的特征值互异,A可变化为对角标准型，此时系统完全能控的充要条件是的各行元素没有全为零的行。
若系统矩阵A的特征值有重根,A可变化为约旦标准型，此时系统完全能控的充要条件是①输入矩阵中对应于每个约当块最后一行的元素不全为零②输入矩阵中对应于互异特征根的各行元素中,没有一行元素全部为零
秩判据：
线性定常系统的状态方程为x=Ax+bu其状态完全能控的充要条件是由A，b构成的能控性矩阵M=[b Ab A2b …。。 An—1b]满秩，即rankM=n,否则当rankM 若线性定常系统的系统矩阵A为约旦标准型，则系统完全能观的充要条件是①输出矩阵C中对应于每个约旦块第一列的一列元素不全为零②输出矩阵C中对应于互异特征值的各列元素中，没有一列元素全部为零.
秩判据：
由A，C构成的能观性矩阵
满秩，即rankN=n。
3、对偶关系：
4、对偶特性：
5、对偶原理:
6、能控能观转换及线性系统的结构分解：
见书上吧…..不好打…
第四章：系统运动稳定性与李雅普诺夫方法
1、第一法与第二法的基本思想及判断稳定性步骤:
第一法：又称为间接法，它通过求解系统状态方程,根据解的性质来判定系统的稳定性；
基本思想：对非线性系统在平衡状态进行小偏差线性化处理，之后领用线性系统特征值判定系统稳定性。
线性定常系统平衡状态=0渐进稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征根均具有负实部。
如果系统对于有界输入u引起的输出y是有界的，则称系统是输出稳定（BI—BO稳定)
,其稳定的充要条件是其传递函数W(s）=c的极点全部位于S平面的左半面.
线性定常系统状态稳定与输出稳定的关系：
① 态稳定一定是输出稳定,但输出稳定不一定是状态稳定
② 状态稳定与输出稳定等价的条件是系统的传函W(s)不出现零极点对消，即系统状态完全能控且能观。
第一法的局限性:
① 为局部稳定,不是全剧稳定②f(x）必须是连续光滑的
第二法:又称直接法,是通过一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性.
基本思想:基于能量思想,定义一个正定的标量函数V(x)作为虚构的广义能量函数，然后根据正定的标量函数沿状态轨线对时间的一阶导数的正负定性质来判断稳定性。