构造法在导数中的应用.doc

导数常用方法-构造法关系式为“加”型（1） 构造（2） 构造（3） 构造（注意对的符号进行讨论）关系式为“减”型（1） 构造（2） 构造（3） 构造经典例题例1、已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B变式、【2015课标2理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A B C D 【答案】A例2、已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】A试题分析：因为函数是偶函数，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数.因为，所以.设，所以所以在上是单调递减，不等式等价于即，所以.所以不等式的解集为，故答案选.变式、设函数f（x）在R上存在导数，有，在上，若，则实数m的取值范围为（ ）A B C-3，3 D 【答案】B令，函数g（x）为奇函数，时，函数g（x）在上为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，即，例3、设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】k为正数，对任意，不等式恒成立，由得，.同理，故选B.变式、4、若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，选项A,B无法判断，故选C练习1已知是定义域，值域都为的函数， 满足，则下列不等式正确的是（ ）A来源:Z_xx_B C. D. 来源:学科网ZXXK【答案】C【解析】构造函数，所以在单调递增，所以，结合不等式性质. 故C正确.2、已知函数对任意的满足 (其中是函数 的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，由对任意的满足可得，所以函数在上为增函数，所以，即，所以，故选A3、设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是 （ ）（A）在单调递增 （B）在单调递减 （C）在上有极大值 （D）在上有极小值 【答案】B4、已知函数，若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ） A B C D 【答案】B构造法在导数大题中的应用例1、证明对任意的正整数，不等式都成立。例2、已知函数，此函数在处的切线为轴（1） 求的单调区间；（2）当时，证明：；（3） 已知，求证：变式1已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对于任意正整数，不等式恒成立（2）由于，显然当时，此时不是恒成立的，当时，函数在区间的极小值，也就是最小值即是，此时只需 即可解得，故得实数的取值范围是8分（3）当时，等号当且仅当成立这个不等式即，当时，可以变凑为，在上面不等式中分别令，所以12分变式2、已知函数（）若曲线在点处的切线方程为求实数的值；（）求在上的最小值；（）证明：. （）由（）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 故，即，令，则， . . 14分作业1已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 . 【答案】2、【2015新课标1理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1） 【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.3. 曲线与有两条公切线，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】D源:学设是的切点，是的切点，则直线切线为，即，由题意这两条直线重合，因此，消法得，由题意此方程有两个不等实根，记，则，时，时，因此时，所以，解得故选D4、.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是(）ABCD 【答案】B5、函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数的取值范围是（ )A B C D0，1 【答案】B【解析】要函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则能取遍内所有的数，因为当时，恒有函数的值域是实数集R，故排除C、D.当时，令，则，当，函数为增函数；当，函数为减函数；所以的极小值（最小值）为.故有成立，当时，时，所以排除A,C， 故选B.6、设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A7、【2014新课标，理12】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C8、已知函数，则，的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D9、若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】C根据题意，函数与函数在上有公共点，令得：设 则由 得： 当 时，函数在区间 上是减函数，当 时，函数在区间 上是增函数，所以当时，函数在上有最小值所以 ，故选C.10、设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 ，令，即，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.11、已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C由题意得，因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又因为，当且仅当是取等号，所以，故选C12、设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（ ）A（，1） B（1，+） C（） D【答案】A 因为函数为偶函数，且在时，的导数为，既有函数在单调递增，所以等价于，即，平方得，解得，故选A13、已知函数=，若|，则的取值范围是（ ）A. B. C.-2,1 D.-2,0【答案】D【解析】如图，作出函数的图象，当时，因此当时，不能满足 时，不等式显然成立，当时，记，即在切线斜率为2，因此当时，直线与函数在时有两个交点，不合题意，当时满足题意，所以14、已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为( ) 【答案】C15、已知定义在R上的可导函数满足，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为16、若对区间D上的任意都有成立，则称为到在区间D上的“任性函数”，已知 ，若是到在上的“任性函数”，则的取值范围是 【答案】试题分析：由题意，对区间D上的任意都有成立，即对上的任，都有.由，设，因此在上单调递增，由，设，因此在上单调递减，在上单调递增，即是的极小值点，也是最小值点，故. 综上，.17、已知函数. (1)若x=2是函数f(x)的极值点，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在上为单调增函数，求a的取值范围；(3)设m，n为正实数，且mn，求证：. (3)要证，只需证，即证，只需证，设.由（2）知在上是单调增函数，又.所以，即成立，所以. .12分学科网