长沙理工大学大一高数期末考试题.doc

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 高等数学I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. 当时，都是无穷小，则当时（ D ）不一定是无穷小. (A)(B) (C)(D) 2. 极限的值是（ C ）.（A） 1（B） e （C） （D） 3. 在处连续，则a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 4. 设在点处可导，那么（ A ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 极限的值是 .6. 由确定函数y(x)，则导函数 .7. 直线过点且与两平面都平行，则直线的方程为 .8. 求函数的单调递增区间为 （，0）和（1，+ ） .三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）9. 计算极限.解：10. 已知：，求。解： ，11. 设在a，b上连续，且，试求出。解：12. 求 解：四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）13. 求 . 14. 求函数 的极值与拐点.解：函数的定义域（，+） 令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是极大值点，x 2 = -1是极小值点极大值，极小值令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-,-)(-,0)(0, )(,+)+故拐点（-，-），（0，0）（，）15. 求由曲线与所围成的平面图形的面积. 16. 设抛物线上有两点，在弧A B上，求一点使的面积最大.解：六、证明题（本大题4分）17. 设，试证.证明：设，因此在（0，+）内递减。在（0，+）内，在（0，+）内递减，在（0，+）内，即亦即当 x0时， 。高等数学I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)18. 函数 的全体连续点的集合是 （ ）(A) (-,+)(B) (-,1) (1,+ )(C) (-,0) (0,+)(D) (-,0) (0,1) (1,+ )19. 设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为（ ）（A） （1，0） （B） （0，1） （C） （1，1） （D） （1，-1）20. 设在0，1上二阶可导且，则（ ）（A）(B) (C) （D）21. 则（ ）（A） M N P（B） P N M（C） P M N（D） N M 0,故驻点为极小值点。5设f (x) = x lnx在x0处可导，且f(x0)=2,则 f (x0)= 。解：则f(x)在x=0取得（填极大值或极小值）。解：二、是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。解：当x0及x0F(1)=f(1)-1=0-12)，并求。证：七 七 （10分）确定常数a、b,使极限存在，并求出其值。解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3八 八 （10分）设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,证明：对。证明：构造函数F(x)=e-lx f (x) 则F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理即有 证毕。