2017年河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案.doc

2017年河北省普通高等学校对口招生考试
数 学
说明：
一、本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分。其中第一道大题（15个小题）为选择题
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。
四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1.设集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2.设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）
A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为
C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为
5.在△中，若，则△的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6.已知向量，，，，且，∥，则（ ）
A． B．
C． D．
7.设为第三象限角，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8.设为等差数列，，是方程的两个根，则前项的和为（ ）
A． B．
C． D．
9.若函数在内为增函数，且函数为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10.设函数是一次函数，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
11.直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交且过圆心
C．相离 D．相交且不过圆心
12.设方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13.二项式的展开式中，各项系数的和为（ ）
A． B．
C． D．
14.从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种

15.设直线∥平面，直线平面，则下列说法正确的是（ ）
A．∥ B． C．且异面 D．且相交
二、填空题（本大题有15个小题，每小题２分，共30分。）

16.已知函数，则 .
17.已知函数的定义域是 .
18.计算： .
19.如果不等式的解集为，则 .
20.已知，，，，则 .
21.在等比数列中，如果，那么 .
22.已知向量，，则 .
23.已知，且，则 .
24.已知，，则线段的垂直平分线的方程为 .
25.若，则的最小值为 .
26.已知抛物线顶点在坐标原点，对称轴为轴，点在抛物线上，且点到焦点的距离为，则该抛物线的方程为 .
27.设函数，若，则 .
28.将等腰直角三角形沿斜边上的高折成直二面角后，边与的夹角为 .
29.取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为 .
30.已知二面角的度数为，点是二面角内的一点，过作于，于，则 （填度数）.

三、解答题（本大题共7个小题，共45分。要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
31.（5分）已知集合，若，且求的所有值组成的集合.

32.（7分）某物业管理公司有套公寓对外出租，经市场调查发现，每套公寓租价为2500元时，可以全部租出. 租价每上涨100元，就会少租出一套公寓，问每套公寓租价为多少元时，租金总收入最大？最大收入为多少元？

33.（6分）记等比数列的前项和为，已知，. 求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前项的和.
34.（6分）已知函数，. 求：
（1）函数的值域；
（2）函数的最小正周期；
（3）函数取得最大值时的集合.

35.（6分）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人. 问：

（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？
（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？
（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？

36.（7分）如图已知， ∥.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角为，，，
求与面所成的角的正弦值.
37.（8分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点， 过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点. 求：
（1）直线的方程和椭圆的方程；
（2）△的面积.

2017河北省普通高考学校对口招生考试
数学试题参考答案
一、选择题
1、C 2、D 3、C 4、A 5、B
6、D 7、B 8、C 9、B 10、D
11、A 12、B 13、A 14、C 15、B
二、填空题
16、 17、 18、 19、 20、
21、 22、 23、 24、 25、
26、 27、 28、 （或） 29、 30、
三、解答题
31、解1）当时，
（2）当时，欲使，须使方程有两个相等的实根或两个不等的实根，
即，解得.
又，且，故，，.
综上所述，的取值集合为.
32、解法一：
设每套公寓租价为元，总收入为元.
则依题意得

显然当时最大，的最大值为.
答：当每套公寓租价为元时收入最大，最大收入为元.
解法二：
设每套公寓租价为元，总收入为元.
则依题意得

当时，最大，

答：当每套公寓租价为元时收入最大，最大收入为元.

解法三：
设每套公寓租价上涨了个元，则每套租价为元，共租出套.
依题意得，租金总收入为

.
当时，最大，最大值为.
答：当每套公寓租价为元时收入最大，最大收入为元.

33、解：（1）设的公比为，由条件得
解之得.
故该数列的通项公式为.
（2）前10项的和为
.
34、解：

（1）函数的值域为.
（2）函数的最小正周期为.
（3）当时，即时，函数取得最大值，
此时的取值集合为
35、解：（1）甲、乙必须去，但丙不去的选派方案的种数为
（2）甲去，乙、丙不去的选派方案的种数为
（3）甲、乙、丙都不去的选派方案的种数为
36、（1）证明：∵ ∴，.
又∵∥，∴.
∴平面.
而平面 ∴平面平面.
（2）解：由（1）知：平面 ∴，.
∴是二面角的平面角，即.
在平面内作于，因平面平面
∴平面.
连结，即为与平面所成的角.
在直角三角形中，.
在直角三角形中，，.
37、解：（1）依题意得抛物线的焦点为，所以椭圆的左焦点为，
直线的斜率，故直线的方程为，即.
由题意知椭圆焦点在轴，且，所以，因此椭圆的标准方程为.
（2）解法一：
由（1）知直线的方程为，点到直线的距离为
.
设、的坐标分别为，
由解得，，
，
∴
解法二：
由（1）知直线的方程为，点到直线的距离为
.
设、的坐标分别为，
由可得，由韦达定理得，
因此
故由弦长公式可得
∴

解法三：
设、的坐标分别为，
由解得，，
所以.

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