上海市崇明区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).doc

崇明区2018学年第一次高考模拟考试试卷
数　 学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．计算： ▲ ．
2．已知集合，，则 ▲ ．
3．若复数z满足，其中i为虚数单位，则 ▲ ．
4．的展开式中含项的系数为 ▲ （用数字作答）．
5．角的终边经过点，且，则 ▲ ．
6．在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横
坐标是 ▲ ．
7．圆的圆心到直线的距离等于 ▲ ．
8．设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于 ▲ ．
9．若函数的反函数的图像过点，则 ▲ ．
10．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么
不同的录取方法有 ▲ 种．
11．设是定义在上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，
，则不等式组的解集为 ▲ ．
12．已知数列满足：①，②对任意的都有成立．
函数，满足：对于任意的实数，总有
两个不同的根，则的通项公式是 ▲ ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．若，则下列不等式恒成立的是
(A) (B) (C) (D)
14．“”是“关于x的实系数方程有虚数根”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
15．已知向量满足，且，则、、中最小的值是
(A) (B) (C) (D)不能确定的
16．函数，．若存在，使得
，则n的最大值是
(A) 11 (B) 13 (C) 14 (D) 18
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
　　如图，设长方体中，，直线与平面所成的角为．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．

18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
　　已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，
求的面积．

19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1)小题满分5分，第(2)小题满分9分）
　　某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元～1600万元的投资收益．
现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
　　（即：设奖励方案函数模型为时，则公司对函数模型的基本要求是：当
时，①是增函数；②恒成立；③恒成立．）
（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围．

20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）
已知椭圆，、分别是椭圆短轴的上下两个端点；是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．
（1）写出椭圆的标准方程；
（2）当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
（3）设点R满足：，．求证：与的面积之比为定值．

21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
　　已知数列,均为各项都不相等的数列，为的前n项和，．
（1）若，求的值；
（2）若是公比为q的等比数列，求证：数列为等比数列；
（3）若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：成等差数列
的充要条件是．
崇明区2018学年第一次高考模拟考试数学学科参考答案与评分标准
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.2； 8.； 9.； 10.； 11.； 12..

二、 选择题
13. ； 14.； 15.； 16.

三、 解答题
17. 解：（1）联结，
因为，
所以就是直线与平面所成的角，……………………………………2分
所以，所以……………………………………4分
所以……………………………………7分
（2）联结，
因为，所以
所以就是异面直线与所成的角或其补角………………………3分
在中，
所以……………………………………6分
所以异面直线与所成角的大小是……………………………………7分
18. 解：（1）
……………………………………3分
由，得：
所以函数的单调递增区间是…………………………6分
（2）
因为，所以
所以，……………………………………2分
由，得：……………………………………5分
因为是锐角三角形，所以……………………………………6分
所以的面积是……………………………………8分

19. 解：（1）因为，
即函数不符合条件③
所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求……………………………………5分
（2）因为，所以函数满足条件①，……………………………………2分
结合函数满足条件①，由函数满足条件②，得：，所以
………………………………………………………………4分
由函数满足条件③，得：对恒成立
即对恒成立
因为，当且仅当时等号成立……………………………………7分
所以………………………………………………………………8分
综上所述，实数的取值范围是……………………………………9分

20. 解：（1）………………………………………4分

（2）由题意，得：直线的方程为…………………………………1分
由，得：…………………………………3分
故所求圆的圆心为，半径为………………………………………4分
所以所求圆的方程为：………………………………………5分
（3） 设直线的斜率分别为，则直线的方程为．
由直线的方程为．
将代入，得，
因为是椭圆上异于点的点，所以．……………3分
所以 …………………………………4分
由，所以直线的方程为．
由 ，得． …………………………………6分
所以． …………………………………7分

21.解：（1）由，知.………………………4分
（2）因为①，
所以当时，②，
①-②得，当时，③，
所以，………………………3分
所以，………………………5分
又因为（否则为常数数列与题意不符），
所以 为等比数列。………………………6分

（3）因为为公差为的等差数列，所以由③得，当时，,
即，因为，各项均不相等，所以,
所以当时，④,
当时，⑤,
由④-⑤，得当时⑥,………………………3分
先证充分性：即由证明成等差数列,
因为，由⑥得,
所以当时，,
又，所以
即成等差数列.………………………5分
再证必要性：即由成等差数列证明.
因为成等差数列，所以当时，,
所以由⑥得，
所以，………………………7分
所以成等差数列的充要条件是.…………………8分

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