第12章整式的乘除知识点总结.doc

第12章 整式的乘除12。1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：amanap=am+n+p+（m、n、p均为正整数) 文字:同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项:（1）a可以是实数,也可以是代数式等。 如：234=2+3+4=9； (-2）2(2）3=(2)2+3=（2)5=25； （）3（）4=（）3+4=(）7； (a+b)3（a+b）4（a+b）= （a+b)3+4+1=（a+b）8（2）一定要“同底数幂”“相乘时,才能把指数相加。（3)如果是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号。二、幂的乘方 1、法则:(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：（am)nps=amn p s 文字：幂的乘方,底数不变,指数相乘。2、注意事项：(1）a可以是实数，也可以是代数式等。如:(2）3=23=6；（)34=（)34=（）12；(a-b）24= （ab)24=（a-b）8（2）运用时注意符号的变化.(3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am）n， 如：a15= (a3）5= （a5）3三、积的乘方1、法则：（ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘.2、注意事项:（1)a、b可以是实数,也可以是代数式等。如：(2）3=222=42；()2=（)2（）2=23=6; （2abc）3=(2)3a3b3c3=-8a3b3c3； （a+b）（ab)2=（a+b)2（ab)2（2）运用时注意符号的变化。（3)注意该法则的逆应用,即：anbn =(ab)n； 如:2333= （23)3=63， （x+y)2(x-y)2=（x+y)（xy）2四、同底数幂的除法1、法则：aman=amn（m、n均为正整数,mn，a0） 文字：同底数幂相除,底数不变，指数相减.2、注意事项：(1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：43=43=；（-2)5(-2)3=（2）53=（-2)2=4； （)6()4=(）64=（)2=2； （a+b）16(a+b)14= (a+b)1614=(a+b）2=a2+2ab +b2（2）注意a0这个条件。（3)注意该法则的逆应用,即:am-n = aman； 如:a x-y= axay， （x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)312.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则:单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。如：（-5a2b2）（4 b2c）（-ab) =（-5）(-4）(-）（a2a）(b2b2)c =30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如： =（-3x2)(x2)+（3x2)2 x一(3x2)1 =三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加.如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb (2）把其中一个多项式看成一个整体(单项式）,去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加.如:(m+n）(a+b） = （m+ n)a+( m +n)b = ma+ na+mb+nb12。3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式:(a+b）(a-b）=a2b2;名称：平方差公式。2、注意事项：(1）a、b可以是实数,也可以是代数式等.如：(10+9)（109）=102-92=10081=19；(2xy+a）(2xya）=(2xy）2a2=4 x2y2-a2；(a+b+）（ a+b )=(2xy)2-a2=4 x2y2a2；（2)注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式.（3)注意公式的来源还是“多项式多项式。二、完全平方公式1、公式:(ab）2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)2 =（）2+23+32 =2+6+9 =11+6；（mna) 2=（mn)2-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；（ a+b ）2=( a+b)22（ a+b）+2= a2+2a b+b22a-b +2;（2)注意公式运用时的对位“套用”;（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”.3、补充公式：（a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算。12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除,只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如:21a2b3c3ab=（213)a21b3-1c =-7ab2c（2x2y）3(-7xy2）14x4y3 =8x6y3（7xy2)14x4y3=8(-7)x6+1y3+214x4y3 =（5614）x7-4y53=4x3y25(2a+b）4(2a+b）2=(51）（2a+b）42=5(2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律)只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：（21x4y3-35x3y2+7x2y2）（-7x2y） =21x4y3(-7x2y）-35x3y2(7x2y)+ 7x2y2（7x2y） =-3x2y2+5xyy4y（2xy)2x（2x-y）(2xy)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y）（2x-y）=4y-2x整式的运算顺序:先乘方（开方）,再乘除，最后加减，括号优先。12。5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：(1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来,使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=（b-a) 2n(n为正整数)；（a-b) 2n+1=-（b-a） 2n+1(n为正整数)；如:8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a（4ab-2b+1）;5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a（a+5）(注意：凡给出的多项式的“首项为负时，要连同“-”号与公因式一并提出来。）三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。1、平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b）;名称：平方差公式。注意事项：(1）a、b可以是实数,也可以是代数式等。如：10292 =(10+9)（10-9)=191=19；4 x2y2-a2=（2xy）2-a2=(2xy+a)(2xya)；(2)注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况,才能用平方差公式。(3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(ab）2=a22a b+b2;名称：完全平方公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如:m2n22mna+ a2=(mn)22mna+ a2=（mna)2；x2+4xy+y2=x2+2x2y+(2y)2=（ x+2 y)2（2）注意公式运用时的对位“套用”；(3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法：1、公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（ x+b）。如：x2+5x+6 = x2+（2+3)x+23=(x+2）（ x+3)；x2+5x6=x2+6+(-1)x+6（1)=(x+6)（ x1)2、“十字相乘法”如:=(x+2）( x+7) =（x+2）（ x-4) 1 2 1 2 1 7 1 4 2 + 7=9 2 + (4)= -2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：(1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式,若有公因式,应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：(1）注意(a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2)因式分解要彻底,不要只提出公因式就完,还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3)现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；(4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型因式分解，不要乱用此法.