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用心 爱心 专心1七年级乘法公式培优七年级乘法公式培优【知识精读知识精读】1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推广：多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推广可知：当 n 为正整数时anbn能被 ab 整除,a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除,a2nb2n能被 a+b 及 ab 整除。【分类解析分类解析】用心 爱心 专心2例 1.己知 x+y=a xy=b 求x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5解：x2+y2(x+y)22xya22bx3+y3(x+y)33xy（x+y）a33abx4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4)=(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2=aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例 2.求证：四个連续整数的积加上 1 的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为 a,a+1,a+2,a+3(a 为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数a2+3a+1 是整数证毕例 3.求证：22223111能被 7 整除证明：22223111（22）111311141113111根据a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除，（见内容提要 4）41113111能被43 整除22223111能被 7 整除例 4.由完全平方公式推导“个位数字为 5 的两位数的平方数”的计算规律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字 5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大 1 的数的积。如：152=225 幂的百位上的数字 2=12)，252=625 (6=23)，352=1225 (12=34)452=2025 (20=45)【实战模拟实战模拟】1 填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_)a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4(x+y)(_)=x5+y5（xy）(_)=x5y53.计算：552=652=752=852=952=4.计算下列各题，你发现什么规律1119=2228=3436=4347=7674=用心 爱心 专心35.已知 x+=3,求x2+x3+x4+的值x121x31x41x6.化简：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2)(ab)(a+b)32ab(a2b2)(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.己知 a+b=1,求证：a3+b33ab=18.己知 a2=a+1，求代数式 a55a+2 的值9.求证：2331 能被 9 整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是 a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。练习4.十位上的数字相同，个位数的和为 10 的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大 1 的数的积8.n(n+1)+(n+1)=(n+1)29.可证明 3 个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于 0(ab+ac+bc)2a ab bc c