上海市浦东新区2018届高三数学一模试卷(有答案).doc

上海市浦东新区2018届高三一模数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 集合，，则
2. 不等式的解集为
3. 已知函数的反函数是，则
4. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为
5. 已知是虚数单位，复数满足，则
6. 在的二项展开式中，的系数是
7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好
有1个二等品的概率为
8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是
9. 已知等比数列前项和为，则使得的的最小值为
10. 圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为

11. 已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的
图像，令，如果存在实数，使得对任意的实数，都有
成立，则的最小值为
12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动
点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、
，使得为定值，则该定值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13 若实数，则命题甲“”是命题乙“”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 既非充分又非必要
14. 已知中，，，点是边上的动点，点是边上的
动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系
（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小
时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时
A. 22 B. 23 C. 24 D. 33
16. 关于的方程恰有3个实数根、、，则
（ ）
A. 1 B. 2 C. D.

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体中，，，.
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积.

18. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，

，且.
（1）求；
（2）若，且，求的值.

19. 已知等差数列的公差为2，其前项和（，）.
（1）求的值及的通项公式；
（2）在等比数列中，，，令（），
求数列的前项和.

20. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，
在中，，周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为
，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的
不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.

21. 已知函数的定义域为，值域为，即，
若，则称在上封闭.
（1）分别判断函数，在上是否封闭，说明理由；
（2）函数的定义域为，且存在反函数，若函数
在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，对任意，若，有恒成立，
则称在上是单射，已知函数在上封闭且单射，并且满足Ü，其中
（），，证明：存在的真子集， ÜÜÜ
ÜÜÜ，使得在所有（）上封闭.

参考答案

一. 填空题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10 10. 11. 12.

二. 选择题
13. B 14.B 15. C 16. B

三. 解答题
17.（1） 是异面直线与所成的角或其补角.2分
在等腰中，
易得……………………4分
即：异面直线与所成的角……………………1分
（2）……………………4分
……………………3分
18. （1）由，∴，……………………2分
由正弦定理得：，……2分
∴；
；
由，∴，……………………2分
∴；……………………1分
（2）由，∴，
∴，∴；……………………4分
由知，，∴，……………2分
∴.……………………1分
19. （1）

……………………3分

， ……………………3分
（2）∵，
∴，，……………………2分
当时，

……………………3分
当时，是偶数，

……………………3分
20. （1）由得： ，所以………①
又周长为，所以………②
解①②方程组，得
所以椭圆方程为………………………4分
（2）设直线方程：，交点
………………………1分
…………………………1分
………………………………………1分
依题：即：…………………………1分

……………………………………………………………1分
过定点…………………………………………1分
（3），………………………1分
设直线与椭圆相切，
……………………1分
得两切线到的距离分别为

………………………1分
当时，个数为0个
当时，个数为1个
当时，个数为2个
当时，个数为3个
当时，个数为4个……………………3分
21. （1）因为函数的定义域为，值域为，（取一个具体例子也可），
所以在上不封闭.…………………………（结论和理由各1分）

在上封闭……………………（结论和理由各1分）
（2）函数在D上封闭，则.函数在上封闭，则，
得到：.…………………………………………（2分）
在单调递增.
则在两不等实根．…………（1分）
，
故，解得． …………（3分）
另解：在两不等实根．令
在有两个不等根，画图，由数形结合可知，
解得．
（3）如果，则，与题干矛盾.
因此，取，则.…………………………（2分）
接下来证明，因为是单射，因此取一个，
则是唯一的使得的根，换句话说.……………（2分）
考虑到，即，
因为是单射，则
这样就有了.………………………………………………（3分）
接着令，并重复上述论证证明.…………（1分）