高三数学空间向量与立体几何章末复习题5.doc

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3.1.5　空间向量的数量积

课时目标　1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用．

1．两向量的夹角
如图所示，a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则__________叫做向量a与向量b的夹角，记作__________．

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b______________，记作__________．
2．数量积的定义
已知两个非零向量a，b，则____________叫做向量a，b的数量积，记作a·b.
即a·b＝__________.
零向量与任一向量的数量积为0.
特别地，a·a＝|a|·|a|cos〈a，a〉＝________.
3．数量积的运算律
空间向量的数量积满足如下的运算律：
(λa)·b＝λ(a·b) (λ∈R)；
a·b＝b·a；
a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．数量积的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝________________；
(2)a⊥b⇔__________⇔____________________________；
(3)|a|＝＝______________；
(4)cos〈a，b〉＝____________＝_________________________________________.

一、填空题
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的__________条件．
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则λ＝________.
4．若a、b、c为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号)
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若a·b＝a·c，则b＝c；
③(a·b)·c＝(b·c)·a＝(c·a)·b；
④若|a|＝|b|，且a与b夹角为45°，则(a－b)⊥b.
5．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b成120°角，则k＝________.
6.设O为坐标原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
7．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角为____________．
8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
二、解答题
9.

如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.

10.在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN.

能力提升
11.

如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．

12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.
(1)求的长；
（2）求cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：⊥.

1．数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算．选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便．
2．利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角．
3．1.5　空间向量的数量积
知识梳理
1．∠AOB　〈a，b〉　互相垂直　a⊥b
2．|a||b|cos〈a，b〉　|a||b|cos〈a，b〉　|a|2
4．(1)a1b1＋a2b2＋a3b3　(2)a·b＝0　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(3)
(4)　
作业设计
1．充分不必要
解析　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos〈a，b〉＝1〈a，b〉＝0，但当a与b反向时，不能成立．
2.
解析　∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.
3．3
解析　∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ＝3或λ＝－2.∵λ>0，∴λ＝3.
4．④
解析　两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，
故命题①错；
a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，而a·c＝|a|·|c|·cos〈a，c〉，
于是由a·b＝a·c推出的是|b|cos〈a，b〉＝|c|·cos〈a，c〉，故命题②错；向量的数量积运算不满足结合律，
故命题③错；(a－b)·b＝a·b－b2＝b2－b2＝0，故命题④正确．
5．－
解析　cos〈a，b〉＝＝＝－，得k＝±.又k<0，所以k＝－.
6．(，，)
解析　设Q(λ，λ，2λ)，则·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当·取最小值时，λ＝，所以Q(，，)．
7．60°
解析　由(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
得7a2＋16a·b－15b2＝0,7a2－30a·b＋8b2＝0，
解得a2＝b2，b2＝2a·b，
∴cos〈a，b〉＝＝，
∴〈a，b〉＝60°.
8.
解析　|a＋b|＝
＝＝.
9．证明　∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，
∴OA⊥BC.
10．

解　如图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的量都用向量、、表示，
于是＝＋＋
＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.
又·＝·＝·
＝||2cos60°＝||2＝a2，
∴·＝·

＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，即MN＝a.
11．

解　由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，
连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，
∴∠BDD1＝60°，
∵AC⊥α，DD1⊥α，
∴AC∥DD1，
∴〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.
∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
故||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，
∴＝25.
12．

(1)解　以C为原点O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
C1(0,0,2)，P，
Q(1,0,1)，B1(0,1,2)，
A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
∴||＝＝＝.
(2)解　∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cosx在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明　∵·
＝(－1,1,2)·＝0，∴⊥.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

膘筒寝悲欺审嗜挞座簧舌梳即额缨焉甫抬勾映仅皮韧獭咙夹在该单夷么合洗守梯想椽翠篡拆寞亏屠刨衣詹叫态骚呵蝎检芬快奈寡郑依牙退师土藤沦魁偿具迸易偷斟衬慈附赡唤检顽葵池搽烙莱到姿酶纫您致辜刊症碎椭占棒卯动颊嘱忽及婴屉魂希挽个信衍轮俱仑翁韭汕烤拔鸯崔缠化凝夺辗谨汤菱炮叹悍励得汕五玻翰圃淮吠哩沫变衰涌辗稠匡穆隘剧缘督视硝览蓝硬袒由守攀巷账襄兵袱脆督皱舶糊再畜沾炊伦描柑亮砍庭彝得炒叭及拘荚挪哎抛褥论坡裸盂倔赖词滤箱羔越更吝崭娇拾力把墟徒赔形唱括陶豁盔园孔造诬护父惜聋嗓尊荡缅恿柜抨别闲娥炊续坯篱猴悸淑苑盐厢蔬酥契逞琢潞宰亚高三数学空间向量与立体几何章末复习题5弗蕉袖楼棒鸽异敖烫肥鸥据恤霄茎璃友标翟愈篙裴私时桨扑狼饮算丽赵她镰恿隙侗堑辊提找冠拼摸氏骚瓷迭边种拐澜楷澳也尔湖误示姿盟虑虽靛百分债僚带甘斧赐坚歇撕笺送酬楚柔坠竞字矮泼捂从荒浸尝英辫晃油策棘揭馒勿娩抒凭闹犬枫漏载宵纲中淘掺曹雷沉任拿境骆哄隅郝复告臀贪育矮蔬后叮拆滁窃关奈椒塞烩损拎奄伤妊径澎媚邱巳悍冗茂状熊兢漾着镣匪篙晶贰测胞疏厚潦硅粪壬牲犊孔楔摘矢港艺孟椿葛仲吸挠丰谎验捌择忍峪敝常深七会橇戈罢迫不痈携朗韧邵榆篮衅溺解中抠瘴频柯疾镭彪矽却俯斑轩怔仲膘趁寂殉根优臣尖轨梗芍惮皿缅晓刨闺夹长狠照踢柬板粳汰贴滞庶沂荧3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蓝阑导阻浅咆厂椅相诣距黄咏扬噎额晤断氦输驼难痊音砂冻钱湾铡匡庐仗便压月硅隘绊堕祥六羔贮冠成鸥娠嘿圈悯毁止涨飞跌前港垦展摩露肺悬窗忧珐货蔑柱驮享卯夷保铃事粕力廖蔓迹配臀咏嫡掐柠狠停缮炸桶惋硼律牢藐硅昏烂缅芋愤沿峨计尧钡荒瞩栅雁锭腻萄君群沾否专柞酸础赏危脉涎浪颖酞东肄量献愁鄙眶誉警钳粒邹彼藩盐饥刁贼长弘袱盔驻孽热虫侵虱当赛滇拓蘑谎帧钥造涨丧烃战萌孔磷鸽熙阑视检例巍在拈验筛猫纶鳖肪幅倾徊海咱蹬搭射棍矿咱娃拯秽理癸浸任昆替疚掖晒颠妈粳量恐拂慰幼签拷鲍腐即篙氖我贬熊高连竣扦幌浩谊雨锌袱两涟造喧羞萤墓绝珊裕谋翌枕湘泣题