上海黄浦区2013年高三数学二模试卷以及答案(理科).doc

黄浦区2013年高考二模模拟考
数学试卷以及答案(理科)
2013年4月11日
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟.
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．若复数满足，则的值为___________.
2．函数的定义域为___________.
开始

是
输出
否
结束
3．若直线过点，且与直线垂直，则直线的方
程为___________.
4．等差数列的前10项和为30，则___________.
5．执行右边的程序框图，则输出的值是___________.
6．设为常数，函数，若在上是增函
数，则的取值范围是___________.
7．在极坐标系中，直线被圆所截得的线段长
为___________.
8．已知点是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等
于4，则该双曲线方程是___________.
9．在平行四边形中，若，则___________.
10．已知是球面上三点，且，若球心到平面
的距离为，则该球的表面积为_____
11．在中，，则的值为___________.
12．已知
且，则___________.
13．一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检
以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要
检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，
按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________.
14．已知，若存在区间，使得
，则实数的取值范围是___________.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知，且，则的值为
A． B. C. D.
16．函数的反函数是
A． B.
C． D.
17．下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”
是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对
一切恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是
A．③ B. ②③ C. ①② D. ①③
18．如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数
的取值范围是
A． B. C. D.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
A
B
C
D
A1
B1
E
D1
C1
已知正四棱柱的底面边长为2，.
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若为线段的中点，求与平面所成角的大小.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知复数(为虚数单位)
（1）若，且，求与的值；
（2）设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和单调递减区间.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
某医药研究所开发一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药
后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间满足，
达峰时间
y
x
药量峰值
其对应曲线（如图所示）过点.
（1）试求药量峰值（的最大值）与达峰时间（取最大值
时对应的值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，
那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时
间？（精确到0.01小时）

22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设抛物线的焦点为，经过点的动直线交抛物线于点
，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若(为坐标原点)，且点在抛物线上，求直线倾斜角；
（3）若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为.求证：
当为定值时，也为定值.

23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

1. 2. 3. 4. 12 5. 121 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
15. C 16. D 17. B 18. A
【题目19】
【解析】⑴根据题意可得：在中，高
∴

⑵过作，垂足为，连结，则平面，
∵平面，∴
∴在中，就是与平面所成的角
∵，∴，
又是的中点，∴是的中位线，
∴
在中
∴
∴

【题目20】
【解析】⑴∵，∴
∴，
∵，∴或
∴或
⑵根据题意可知：
∵，∴
∴
∴，
∴
∴最小正周期：
∵在上单调减
∴根据复合函数的单调性：

∴
∴在上单调减

【题目21】
【解析】将代入函数可得：，∴
⑴当时，
∵，∴
当时，
∵
∴，∴
∴当时，有最大值为
⑵∵在上单调增，在上单调减，最大值为
∴在和各有一解
当时，，解得：
当时，，解得：
∴当时，为有效时间区间
∴有效的持续时间为：小时

【题目22】设抛物线：的焦点为，经过点的动直线交抛物线与
，两点，且；
⑴求抛物线的方程；
⑵若（为坐标原点），且点在抛物线上，求直线的倾斜
角；
⑶若点是抛物线的准线上的一点，直线的斜率分别为，
求证：当为定值时，也为定值。
【解析】⑴根据题意可知：，设直线的方程为：，则：
联立方程：，消去可得：（*），
根据韦达定理可得：，∴，∴：
⑵设，则：，由（*）式可得：
∴，
又，∴
∴
∵，∴，∴，∴
∴直线的斜率，∴倾斜角为或
⑶可以验证该定值为，证明如下：
设，则：，，
∵，∴
∴

∴为定值
【题目23】已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，；
⑴若为偶数，且成等差数列，求的值；
⑵设（且），数列的前项和为，
求证：；
⑶若为正整数，求证：当时，都有；
【解析】⑴设，，则：，
分两种情况： 是奇数，则，，
若是偶数，则，，
⑵当时，

∴
⑶∵，∴，∴
由定义可知：
∴
∴
∴
∵，∴，
综上可知：当时，都有
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