高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的).doc

数
学
知
识
点
总
结

高中数学 必修1知识点
第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有 确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
表示 自然数集，或表示 正整数集，表示 整数集，表示 有理数集，表示 实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.
②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(). 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

【1.1.2】集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作.
2、 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.
5、子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集

（或
A中的任一元素都属于B
(1)AA
(2)
(3)若且，则
(4)若且，则
或
真子集
AB
（或BA）
，且B中至少有一元素不属于A
（1）（A为非空子集）
(2)若且，则

集合
相等

A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA

6、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：.
2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：.
3、全集、补集
名称
记号
意义
性质
示意图
交集

且
（1）
（2）
（3）

并集

或
（1）
（2）
（3）

补集

1 2

【1.2.1】函数的概念
1、函数的概念
 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：.
‚函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
ƒ如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等

【1.2.2】函数的表示法
2、函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
‚列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
ƒ图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
3、映射的概念
①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
图象
判定方法
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象上升为增）
（4）利用复合函数
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．
y
x
o
（2）打“√”函数的图象与性质
分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．
②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．

【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
图象
判定方法
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于原点对称）
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于y轴对称）
②若函数为奇函数，且在处有定义，则．
③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
1、根式的概念
（1） 一般地，如果，那么叫做 的次方根。其中.
（2） 当为奇数时，；
（3）当为偶数时，
（4） 我们规定：
；
　　 ‚；
（5） 运算性质：
① ② ③
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
0
1
0
1
函数且叫做指数函数
图象

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1） 对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
（2）几个重要的对数恒等式
，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质 如果，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
⑦倒数关系：.

【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象

0
1

0
1

定义域

值域

过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况

变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
(6)反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
（7）反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；
③将改写成，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数
（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： ②顶点式：
③两根式：
（2）二次函数图象的性质
①对称轴方程为顶点坐标是．
②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．
③二次函数当时，图象与轴有两个交点
（3）一元二次方程根的分布
设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号．
（4）二次函数在闭区间上的最值
设在区间上的最大值为，最小值为，令．
（Ⅰ）当时（开口向上）
①若，则 ②若，则 ③若，则
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)

x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
①若，则 ②，则
x
y
0
>
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)

(Ⅱ)当时(开口向下)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
①若，则 ②若，则 ③若，则
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)

x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
x
y
0
<
a
O
a
b
x
2
-
=
p
q
f(p)
f(q)
①若，则 ②，则．

高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．
5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．
6、弧度制与角度制的换算公式：，，．
Pv
x
y
A
O
M
T
7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．
8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是它与原点的距离是，则，，．
9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：，，．
11、角三角函数的基本关系：
；

（3） 倒数关系：
12、函数的诱导公式：
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
，．，．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
②数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
14、函数的性质：
①振幅：； ②周期：； ③频率：； ④相位：； ⑤初相：．
函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

y=cotx
图象

定义域

值域

R
R
最值
当时，；
当时，．
当时；
当时，．
既无最大值也无最小值
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在上是减函数．
在
上是增函数．

对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
对称中心
无对称轴

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；
②结合律：；③．
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当
23、平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或． 设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.

（如图）

1、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
　即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，
　　则
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角
的余角.即有：

◆如果是锐角，则，即；
◆ 如果是钝角，则, 即.
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷；
⑸ （）；
⑹ （）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴．
⑵
升幂公式
降幂公式，．
26、

．
27、

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；
②；问： ； ；
③；④；
⑤；等等

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