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知识点串讲

必修四
第一章：三角函数
1.1．1 任意角
1、角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
始边
终边
顶点
A
O
B
②角的名称：

③角的分类：
零角：射线没有任何旋转形成的角
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角

2、象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α + k·360 ° ，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z ⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
3、写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．
4已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？
解：角属于第三象限， k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)
即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．
又k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z) ．
当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜＜n·360°+135°(n∈Z) ，
当k为奇数时，令k=2n+1 (n∈Z)，则n·360°+270°＜＜n·360°+315°(n∈Z) ，
因此属于第二或第四象限角．
1.1.2弧度制
1、弧度制
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
2、弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
3、弧长公式
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．

证法一:∵圆的面积为∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R,
∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积．
证法二:设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为，又此时弧长，∴．
可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．

1.2.1任意角的三角函数
1、三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
4）比值叫做α的余切，记作，即；

2．三角函数的定义域、值域

函 数
定 义 域
值 域

3、求函数的值域
解： 定义域：cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………, |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0
4、诱导公式

5、三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，

过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅳ）
（Ⅲ）

由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1° 与 2° 与
解： 如图可知：
tan tan

1.2.2同角三角函数的基本关系
1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
1. （1）商数关系： （2）平方关系：
2、已知，并且是第二象限角，求．
解：， ∴
又∵是第二象限角， ∴，即有，从而
，
3、已知，求
4、求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知所以．
，
∴．

1．3诱导公式
1、诱导公式（一）

诱导公式（二）

诱导公式（三）

诱导公式（四）
sin(p－a)=sina cos(p －a)=－cosa tan (p－a)=－tana
诱导公式(五)

诱导公式（六）

2、化简：
3、

4、化简:

5、

1.4.1正弦、余弦函数的图象
1、

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函数y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

1.4.2 正弦、余弦函数的性质
1、奇偶性： y=cosx是偶函数 y=sinx是奇函数。

2、单调性
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；
在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3、有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x= k∈Z y=cosx的对称轴为x= k∈Z
4、判断下列函数的奇偶性
(1) (2)

1.4.3正切函数的性质与图象
1、正切函数的定义域是什么？
2、，且的图象，称“正切曲线”。

y

0
x

3、正切函数的性质（1）定义域：；
（2）值域：R 观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
4、求下列函数的周期：
（1） 答：。 （2） 答：。
说明：函数的周期．
5、求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
解：1、由得，所求定义域为
2、值域为R，周期 3、在区间上是增函数。
1.5函数y=Asin(wx+j)(A>0，w>0)的图象
1、函数y = Asin(wx+j)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(j>0)或向右(j＜0)平移|j|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(01)或缩短(0
⑶函数y = 2loga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式
⑷函数y = 2tan(2x+)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为

3、函数y = Asin(wx+j)表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T：
f ：
称为“相位” .
x=0时的相位，称为“初相”.
4、
解析：由图象可知A=2，

1.6三角函数模型的简单应用
1、画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.

第二章：平面向量
2.1.1-2.1.2 向量的物理背景与概念及向量的几何表示
A(起点)
B
（终点）
a
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2、向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.
3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.1.3 相等向量与共线向量
1、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3、判断：
（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（2）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（3）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（4）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
4、下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
5、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
1、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 规定： a + 0-= 0 +a
a
a
2、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.

2.2.2向量的减法运算及其几何意义
1、作法：在平面内取一点O，
作= a， = b 则= a - b
即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1°表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
O
A
B
a
B’
b
-b
b
B
a+ (-b)
a
b
2°用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b)

2.2.3 向量的数乘运算及几何意义

1、实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2、实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．

3、计算：（1）； （2）；
（3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．

4、

5、

2.3.1-2平面向量基本定理、平面向量的正交分解
和坐标表示
1、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
2、(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
O
A
B
P
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
3、

本题实质是

4、向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=0°，、同向，当=180°，、反向，当=90°，与垂直，记作⊥。
6、正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
7、在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作…………

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．3．3平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标运算
（1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
（3） 若，，则
=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)
2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
3、思考：你能标出坐标为(x2- x1， y2- y1)的P点吗？
向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。
4、已知三个力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0)
即： ∴ ∴(-5，1)
5、若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
1、设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中¹.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
∥ (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0
2、若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
1、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cosq叫ａ与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c
如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA|
Þ a×b = b×c 但a ¹ c
(5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2、“投影”的概念：作图

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0；
当q = 0°时投影为 |b|； 当q = 180°时投影为 -|b|.
3、向量的数量积的几何意义：
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、a^b Û a×b = 0
2、当a与b同向时，a×b = |a||b|； 当a与b反向时，a×b = -|a||b|.
特别的a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq =
4、平面向量数量积的运算律
1．交换律：a × b = b × a
证：设a，b夹角为q，则a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a
2．数乘结合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)
证：若> 0，(a)×b =|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，
若< 0，(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，
a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.
3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2
∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
5、已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。
6、已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|与|a-b|.
（ 利用 ）
7、已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2、平面内两点间的距离公式
（1）设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么(平面内两点间的距离公式)
3、 向量垂直的判定
设，，则
4、 两向量夹角的余弦（）
cosq =
5、已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
6、在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值.
解：当A = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)
∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k =
当C = 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k =

2.5.1平面几何中的向量方法
例1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.
证明：设

2.5.2向量在物理中的应用举例
1、如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||＝10 km/h，水流速度||＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？

第三章：三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式
1、两角和差的余弦公式：
2、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.

3、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）
1、 ．

2、．

3、已知求的值．（）
4、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
解：（1）、；
（2）、；
（3）、．

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）
1、化简
解：

2、归纳：
3、已知：函数
（1） 求的最值。（2）求的周期、单调性。
4、已知A、B、C为△ABC的三內角，向量，，且，
（1） 求角A。（2）若，求tanC的值。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
1、；
；
．
．
注意：
2、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
3、在△ABC中，，
4、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
5、已知

3.2简单的三角恒等变换
1、试以表示．
解：我们可以通过二倍角和来做此题．
因为，可以得到；
因为，可以得到．
又因为．
2、已知，且在第二象限，求的值。
3、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
4、 ；．
解：（1）由得

（2）
5、
解：

.
6、已知函数
（1） 求的最小正周期，（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合．
θ
7、把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）
解：（1）如图，设矩形长为l，则面积，
所以当且仅当
即时，取得最大值，此时S取得最大值，矩形的宽为
即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.
（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为，矩形长与宽分别为
、，所以面积.
而，所以，当且仅当时，S取最大值，所以当且仅当即时， S取最大值，此时矩形为内接正方形.
P
Q
R
S
O
8、已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
解：设则
故S四边形PQRS
故为时，

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