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全国通用高中数学必修二第八章立体几何初步(三十六)

1

单选题
1、已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（    ）
A．6B．12C．24D．48
答案：D
分析：首先由勾股定理求出斜高，即可求出侧面积；
解：正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其斜高h'=52-622=4，所以正四棱锥的侧面积S=12×4×6×4=48
故选：D
2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为3时，线段AP的长为（    ）
A．2B．1C．3D．32
答案：A
分析：过点P作DB，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，BD，即可得到△PQR为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出PQ的长度，即可求出AP；
解：如图，过点P作DB，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，BD，因为BD//B1D1，所以PQ//B1D1，B1D1⊂面B1D1C，PQ⊄面B1D1C，所以PQ//面B1D1C
因为A1D//B1C，所以PR//B1C，B1C⊂面B1D1C，PR⊄面B1D1C，所以PR//面B1D1C
又PQ∩PR=P，PQ,PR⊂面PQR，所以面 PQR//面B1D1C，则PQR为截面，
易知△PQR是等边三角形，则12PQ2⋅32=3，解得PQ=2，∴AP=22PQ=2.
故选：A.

3、如图，某圆锥的轴截面ABC是等边三角形，点D是线段AB的中点，点E在底面圆的圆周上，且BE的长度等于CE的长度，则异面直线DE与BC所成角的余弦值是（    ）

A．24B．64C．104D．144
答案：A
分析：过点A作AO⊥BC于点O，过点A作DG⊥BC于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与BC所成的角，设圆锥的底面半径为2，解三角形可求得答案.
解：过点A作AO⊥BC于点O，过点A作DG⊥BC于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF
则DF//BC，且DF=12BC，所以∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与BC所成的角，
设圆锥的底面半径为2，则DF=1，OE=2，AO=23，所以DG=OF=3，
在Rt△GOE中，GO=1，OE=2，所以GE=GO2+OE2=5，
在Rt△GDE中，GE=5，DG=3，所以DE=GD2+GE2=22，
在Rt△FOE中，FO=3，OE=2，FE=FO2+OE2=7，
所以在△DFE中，满足DF2+FE2=DE2，所以∠DFE=90∘，
所以cos∠DEF=DFDE=122=24，
故选：A.

4、已知一个圆锥的体积为3π，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为    ）
A．23B．3C．3D．33
答案：C
分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.
设底面半径为r，高为h，母线为l，如图所示：

则圆锥的体积V=13πr2h=3π，所以r2h=9，即h=9r2，
S侧=12⋅2πrl=2πr2，则l=2r，
又h=l2-r2=3r，所以3r3=9，故r=3．
故选：C．
5、下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是（    ）
A．直线m与平面α内的所有直线平行
B．直线m与平面α内的无数条直线平行
C．直线m与平面α没有公共点
D．直线m与平面α内的一条直线平行
答案：C
分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.
对A，直线m与平面α内的所有直线平行不可能，故A错误； 
对B，当直线m在平面α内时，满足直线m与平面α内的无数条直线平行，但m与α不平行；
对C，能推出m与α平行；
对D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.
故选：C.
6、若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（    ）
A．2a2B．22a2C．23a2D．32a2
答案：A
分析：设正方体的棱长为x，求出正方体的棱长即得解.
解：设正方体的棱长为x，则3x=a，即x2=13a2，
所以正方体的全面积为6x2=6×13a2=2a2．
故选：A
7、下列说法正确的有（    ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：A
解析：根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质，分析判断，即可得答案.
①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱延长线会交于一点，所以①不正确；
②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；
③中底面不一定是正方形，所以③不正确；
④中圆锥的母线长相等，所以轴截面是等腰三角形，所以④是正确的.
故选：A
8、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（    ）

A．B．C．D．
答案：B
分析：根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.
解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.
故选：B.

多选题
9、（多选）四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法正确的是（    ）
A．MN与PD是异面直线B．MN//平面PBC

C．MN//ACD．MN⊥PB
答案：ABD
分析：画出图形，利用直线与平面平行的判定及性质判逐项判断即可

由题意可知四棱锥P-ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN与PD是异面直线，正确；
取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN//HC，所以MN//平面PBC，正确；MN//AC，不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB正确；
故选：ABD
10、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1D,BD1的中点，则（    ）

A．四点A，M，N，C共面
B．MN ∥ CD
C．A1D ∥平面BCD1
D．若MN=1，则正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积为12π
答案：BD
分析：连接AD1和BC1，由此可知点A，M，N在平面ABC1D1中，而点C不在平面ABC1D1中，即可判断选项A；由已知得MN为△ABD1的中位线，利用中位线的性质即可判断选项B；由已知得点B,C,D1都在平面A1BCD1,A1D与平面A1BCD1相交，即可判断选项C；由MN=1即可求得正方体的棱长为2，则可以求出正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径，即可判断选项D.
对于选项A，连接AD1和BC1，由此可知点A，M，N在平面ABC1D1中，
点C∉平面ABC1D1，则四点A，M，N，C不共面，即选项A不正确；
对于选项B，由正方体的性质结合条件可知M，N分别是AD1,BD1的中点，所以MN ∥ AB,
又因为CD ∥ AB, 所以MN ∥ CD，即选项B正确；
对于选项C，点B,C,D1都在平面A1BCD1,所以A1D与平面BCD1相交，即选项C不正确；
对于选项D，因为MN为△ABD1的中位线，且MN=1，所以正方体的棱长为2，
设正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R,则2R=D1A12+AA12+AB2=23,
即R=3，则外接球的表面积为S=4πR2=12π,即选项D正确；
故选：BD .

11、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是棱CC1上一动点(与C.C1不重合)，点E为点C在平面AB1C1D上的正投影，点P在平面AB1C1D上的正投影为点Q，点Q在直线CD上的正投影为点F，下列结论中正确的是（    ）

A．BC⊥平面PQFB．CE与BD所成角为30°
C．线段PE长度的取值范围是12,22D．存在点P使得PF//平面AB1C1D
答案：ACD
解析：对于A，易知平面PQF即为平面CC1D1D判断；对于B，由CE∥A1B，则∠A1BD为所求判断；对于C，由PE⊥CC1时，线段PE最短，点P与C､C1重合最长判断；对于D， C1P=x，由比例DFDC=DQC1D=C1PC1C求解判断.
如图所示：

对于A，由题意，点E为C1D的中点，过点P作直线垂直于C1D，则垂足为Q，过Q作直线垂直于CD，则垂足为F，故平面PQF即平面CC1D1D，又BC⊥平面CC1D1D，即BC⊥平面PQF.故正确.
对于B，CE∥A1B，∠A1BD为所求，又△A1BD为等边三角形，故CE与BD所成角为60°，故错误.
对于C，当PE⊥CC1时，线段PE最短为12CD=12；当点P与C､C1重合时，PE为22，又点P与C､C1不重合，故线段PE长度的取值范围是12,22，故正确.
对于D，若PF//平面AB1C1D，又平面AB1C1D∩平面CC1D1D=C1D，PF⊂平面CC1D1D，则PF∥C1D，设C1P=x，PQ∥CE，Q在线段C1D上.，C1QC1E=C1PC1C=x1，∴C1QC1D=C1Q2C1E=x2，∴DQC1D=C1D-C1QC1D=1-x2，又QF∥CC1，∴DFDC=DQC1D=C1PC1C，∴1-x2=x1，∴x=23，∴点P为棱CC1上靠近C的三等分点，故正确.
故选：ACD
12、用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1:2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（    ）
A．侧面积之比为1:4B．侧面积之比为1:8
C．体积之比为1:27D．体积之比为1:26
答案：BD
分析：计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果.
依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1:3，高之比为1:3，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1:9，体积之比为1:27，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为1:8，体积之比为1:26.
故选：BD.
解答题
13、（1）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②MC//AB；③EF与MN是异面直线；④MN//CD；
以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）
（2）如图，四面体ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AB和MN所成角的大小.

答案：（1）①②③；（2）π3或π6.
分析：（1）将展开图还原成立体图，由立体图结合正方体性质可直观作出判断；
（2）可结合中位线性质，作AC的中点P，连接PM、PN，则将异面直线AB与CD转化为共面，再分类讨论∠MPN大小结合三角形性质即可求解
（1）我们以正方形ACFN为底面，将展开面还原为正方体ACFN-DEMB，如图，易见①②③正确；

（2）如图-3所示，取AC的中点P，连接PM、PN，则PM//AB，且PM=12AB，PN//CD，且PN=12CD，所以∠MPN为异面直线AB与CD所成角（或其补角），由题设，则∠MPN=π3，或∠MPN=2π3；

若∠MPN=π3，∵PM//AB，
所以∠PMN是AB与MN所成角（或其补角），
又AB=CD，所以PM=PN，
则△PMN是等边三角形，所以∠PMN=π3，
即AB与MN所成角为π3；
若∠MPN=2π3，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN=π6，即AB与MN所成角为π6；
综上所述，AB与MN所成角为π3或π6
小提示：本题考查由展开图到立体图的还原，线线关系的判断，异面直线夹角的求法，属于中档题
14、用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)

答案：答案见解析﹒
分析：根据斜二测画法作图即可.

①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；
②如图(2)，作坐标系x'O'y'，x'轴和y'轴夹角为45°，在x'轴上取点，使得：A'与O'重合，A'F'=AF，A'B'=AB，A'H'=AH；
③如图(2)，在y'轴上取点，使得：A'I'=12AI，A'E'=12AE，A'G'=12AG；
④如图(2)，过H'作y'轴平行线，过I'作x'轴平行线，两平行线交于C'；过F'作y'轴平行线，过G'作x'轴平行线，两平行线交于D'；
⑤如图(2)，依次连接B'、C'、D'、E'即可完成作图．
15、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点.

(1)求证：直线BD1 //平面PAC；
(2)求异面直线BD1与AP所成角的大小.
答案：(1)证明见解析
(2)30°
分析：（1）设AC和BD交于点O，可得PO∥BD1，根据线面平行的判定定理即可得证．
（2）由PO//BD1，得∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.
（1）设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，
∵P是DD1的中点，
∴PO//BD1，
又∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
∴直线BD1 //平面PAC；

（2）由(1)知，PO//BD1，
∴∠APO即为异面直线BD1与AP所成的角，
∵PA=PC=CD2+PD2=2，AO=12AC=22，且PO⊥AO，
∴sin∠APO=AOAP=222=12．
又∠APO∈(0°，90°]，
∴∠APO=30°
故异面直线BD1与AP所成角的大小为30°．

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