高中数学《空间向量与立体几何》教案新课标人教A版选修2-1.doc

3.1.2空间向量的数乘运算（一）
教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．
教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．
教学过程：
一、复习引入
1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量与非零向量是否共线？
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ.称平面向量共线定理，
二、新课讲授
1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作//．
2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠0），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）.
⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量.
3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 ．
其中向量叫做直线l的方向向量.
推论证明如下：
∵　l//a ，∴　对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得．(*)
又∵　对于空间任意一点O，有，
　∴　 ， ． ①
若在l上取，则有．(**)
又∵ ∴ ．②
　当时，．③
理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．
O
A
B
C
D
⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．
⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．
空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，
是平面向量相关知识的推广．
4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形
是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）
5. 出示例2：如图O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用、表示、.
三、巩固练习： 作业：

3.1.2空间向量的数乘运算（二）
教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．
教学重点：点在已知平面内的充要条件．
教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．
教学过程：
一、复习引入
1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．
2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
二、新课讲授
1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．
向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．
结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，、、这三个向量就不是共面向量．
4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？
5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ．
证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．
∵ 向量p与向量a、b共面
∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．
充分性：如图，∵　xa，yb分别与a、b共线， ∴　xa，yb都在a、b确定的平面内．
又∵　xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，
∴　 p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．
说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．
6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，① 或对于空间任意一定点O，有 ．②
分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由得：， ∴ ③
公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．
7. 例题：课本P88例1 ，解略．
小结：向量方法证明四点共面
三、巩固练习

向量的数量积（2）
一、教学目标：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
二、教学重点：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法
四、教学过程：
考点一：向量的数量积运算
（一）、知识要点：
1）定义：① 设<>=,则 （的范围为 ）
②设，则 。
注：①不能写成，或 ②的结果为一个数值。
2）投影：在方向上的投影为 。
3）向量数量积运算律：
① ② ③
注：①没有结合律
(二）例题讲练
1、下列命题：①若，则，中至少一个为②若且，则
③④
中正确有个数为 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2、已知中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则= 。
3、若，，满足，且，则= 。
4、已知，且与的夹角为，则在上的投影为 。
考点二：向量数量积性质应用
(一)、知识要点：
①（用于判定垂直问题）
②（用于求模运算问题）
③（用于求角运算问题）
(二)例题讲练
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
3、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
4、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
巩固练习
1、已知和是两个单位向量，夹角为，则（）等于（ ）
A.-8 B. C. D.8
2、已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
3、在中，设，，，若，则（ ）
直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 无法判定
4、已知和是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。
5、已知、、是非零的单位向量，且++=，求证：
为正三角形。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．
教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．
教学难点：理解空间向量基本定理．
教学过程：
一、新课引入
1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，
2. 复习：平面向量基本定理.
二、讲授新课
1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.
推广到空间向量，结论会如何呢？
(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底（base），都叫做基向量.
2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．
单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．
选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，
3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使a＝i＋j＋k．
空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A，B，则＝－＝－＝．
4. 向量的直角坐标运算：设a＝，b＝则
⑴a＋b＝；　　⑵a－b＝；
⑶λa＝； 　　⑷a·b＝
证明方法：与平面向量一样，将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可．
5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝，b＝，则
⑴a//ba＝λb，；
⑵a⊥ba·b=0．
6. 练习：已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．
7. 出示例：
三、巩固练习 作业

3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）
教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．
教学重点夹角公式、距离公式．
教学难点：夹角公式、距离公式的应用．
教学过程：
一、复习引入
1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝；　　⑵a－b＝；
⑶λa＝；　　　⑷a·b＝
上述运算法则怎样证明呢？（将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可）
2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）
二、新课讲授
⒈ 向量的模：设a＝，b＝，求这两个向量的模.
｜a｜＝，｜b｜＝．这两个式子我们称为向量的长度公式．
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．
2. 夹角公式推导：∵　　a·b＝|a||b|cos＜a,b＞
　　　∴　　＝··cos＜a,b＞
由此可以得出：cos＜a,b＞＝
这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：
当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；
当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．
3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则
，其中表示A与B两点间的距离．
3. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．
（答案：(2,,3)；；）
说明：⑴中点坐标公式：＝；
⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．
4. 出示例5：如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．
分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P96、例6
5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．
三.巩固练习
作业：课本P97练习 3题.

3.2立体几何中的向量方法（一）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程：
一、复习引入
1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示；　⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；　⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？
2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？
⑴利用定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求两个向量的数量积或夹角问题；
⑵利用性质a⊥ba·b＝０可以解决线段或直线的垂直问题；
　⑶利用性质a·a＝｜a｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题．
二、例题讲解
1. 出示例1：已知空间四边形OABC中，，．求证：．
证明：＝ ＝－．
∵，， ∴，，
　，．
∴，．
∴＝，＝0． ∴
练习：教材P105 例1及P106思考题
分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？
2. 出示例2：如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．
解：由，可知．
由可知，＜＞＝，
∴＝＝＋＋＋2(＋＋)
＝＝．
∴．
练习：教材P106 例2及其107思考题
分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？
说明:此方法也是用向量法求二面角的一种有效方法，应引起注意。
3. 出示例3：如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角．
解：∵＝，＝，
∴＝·＝(＋＋＋)．
　∵，，，∴，，，
　∴＝＝． …求得 cos＜＞，∴＜＞＝.
4. 小结：．
（1）向量法解题“三步曲”：①化为向量问题 →②进行向量运算 →③回到图形问题.
（2）利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明
三、巩固练习 作业：课本P107 练习 1、2题.

3.2立体几何中的向量方法（二）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程：
一、复习引入
讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？
（1）通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；
（2）通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问题.

二、例题讲解
1. 出示例1： 如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：平面ADE．
证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设＝i，＝j，＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则
∵＝(-1,0,0)，＝(0,,-1)，∴·＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，
∴AD．
　又 ＝(0,1,)，∴·＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，　　∴ AE．
　又　，　　∴平面ADE．
说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．
2. 出示例2：课本P107 例3
分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？
3. 出示例3：课本P109 例4
分析：如何转化为向量问题？进行怎样的向量运算？
4. 出示例4：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．
改写为：已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．
证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设＝．
∵BD⊥α，　∴⊥i，⊥j，　
∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,
∴＝(0,0,z)．∴＝zk．即//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．
5. 法向量定义：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
6. 小结：
向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）回到图形问题.
三、巩固练习 作业：课本P111、 习题A组 1、2题.

3.2立体几何中的向量方法（三）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程：
一、复习引入
1. 法向量定义：如果直线, 取直线l的方向向量为，则向量叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.
2. 讨论：如何利用法向量求线面角？ → 面面角？
直线AB与平面α所成的角，可看成是向量所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公式：
.
3. 讨论：如何利用向量求空间距离？
两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.
点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.
二、例题讲解：
1. 出示例1：长方体中，AD==2，AB=4，E、F分别是、AB的中点，O是的交点. 求直线OF与平面DEF所成角的正弦.
解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA、DC、为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则
.
设平面DEF的法向量为 ，
则 ， 而， .
∴ ，即, 解得， ∴ .
∵ ， 而.
∴
所以，直线OF与平面DEF所成角的正弦为.
2. 变式： 用向量法求：二面角余弦；OF与DE的距离；O点到平面DEF的距离.
三、巩固练习
作业：课本P112、 习题A组 5、6题.

法向量在立体几何中的应用
向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

一、平面的法向量的定义
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，
记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量
二、平面的法向量的求法
1、在几何体中找平面的垂线对应的有向线段作为平面的法向量；
2、在空间直角坐标系中利用向量的坐标运算来求法向量。

B
A
y
A
P
C
A
图1

练习：在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
∠BAC=90°，AB=2，AC=PA=1，
求平面PBC的一个法向量。

写出平面ABC的一个法向量 。

α
A
P
θ
H
P
图2
三、利用平面的法向量求空间角
1、求直线和平面所成的角。
如图（图2）所示，设PA与平面的
法向量所在直线所成的角为θ，则PA与所成的角为，
（其中）
所以：

例2．如图（图3）所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
图3
F
E

y

D
C
B
A
P
PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF//CD，PA=3AB，
求直线AC与平面AEFB所成角的正弦值。

2.直线与直线所成的角：

3.求二面角的大小。
设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量

的夹角为，则有（图4）或 （图5）

图4 图5

图6
F
E
A
D
C
B
D1
C1
A1
B1

z
x
y
例3．如图（图6）所示，在棱长为1的正方体
ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，C1B与
CB1交于点F。1）求证：A1C⊥平面DBC1
（2）求二面角B－EF－C的大小。

四、利用法向量求距离
1．求点到平面的距离A
P
θ
H
P
图7

利用法向量求点面距离的基本思路是：如图7，点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为，过点P作平面的垂线PH，记PA和所成的角为θ，则P到平面的距离公式为：

S

图8
N
M
O
C
B
A
例4．如图8所示，在三棱锥S－ABC中，ΔABC是
边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，
SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点，
（1）证明：AC⊥SB ；
（2）求二面角N－CM－B的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离。

B
图7
a/
b
a
Q
P
A
2．求异面直线的距离
两异面直线间的距离可先求得两直线的公
共“法向量”（即与两直线都垂直的向量），然后
在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在
法向量上的射影长就是两异面直线间的距离。
如图7，设A、B分别为异面直线、上的
两点，为与、都垂直的向量，PQ为两异面
直线、的距离，则
例5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是2，M、N分别为A1B1、BB1的中点，求（1）异面直线AM与CN所成的角 （2）求异面直线AM与CN的距离。
图9
A
D
C
B
D1
C1
A1
B1

z
x
y
N
M

应用平面的法向量解决立体几何问题的一般步骤是：
　　(1)建立空间直角坐标系并写出相应的点与向量的坐标；
　　(2)由法向量的定义求出平面的法向量；
　　(3)由向量代数的有关知识判定平面的法向量与对应向量的关系(共线、垂直、夹角及距离等)；
　　(4)根据题目的要求得出问题的结果。

小结：通过建立适当直角坐标系，借助平面的法向量，省去了找点面距、线面角、二面角的平面角、异面直线的公垂线的过程，减少了辅助线的添加，避开了一些较复杂的空间想象，从而降低了解题难度，并且思路明确，过程程序化，效果显著。

E
D1
C
D
B1
A1
C1
B
A
练习：1．如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。(1)证明：D1E⊥A1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(3)AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为。

B
G
D
C
A
F
E
2.如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面FEG的距离。

已知点P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q是线段PA的中点，AB=3，BC=4，PA=6，求点P到平面BQD的距离
ｚ

P

Q

A
Ｂ
ｙ

Ｄ
C

ｘ